Sens de variation d'une suite : cours de Première spécialité
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite est croissante si un+1≥un pour tout n, décroissante si un+1≤un, monotone si elle est l'un ou l'autre.
Méthode de la différence : on étudie le signe de un+1−un ; positif ou nul pour tout n, la suite est croissante ; négatif ou nul, elle est décroissante.
Méthode du quotient : si tous les termes sont strictement positifs, on compare unun+1 à 1.
Suite arithmétique de raison r : croissante si r≥0, décroissante si r≤0 ; suite géométrique : tout dépend du signe de u0 et de la position de q par rapport à 0 et à 1.
Une suite peut ne pas être monotone, ou ne l'être qu'à partir d'un certain rang : il faut alors étudier le signe de la différence selon les valeurs de n.
Pourquoi étudier le sens de variation d'une suite
Une suite est une liste de nombres rangés dans l'ordre : u0,u1,u2,…. Quand tu observes une telle liste, la première question naturelle est : est-ce que les valeurs montent, descendent, ou font un peu des deux ? C'est exactement ce que raconte le sens de variation.
Dans le chapitre sur les suites numériques, les objectifs annoncés par le cours de Première spécialité sont d'étudier le sens de variation, de modéliser des situations à l'aide de suites et de conjecturer la limite éventuelle d'une suite 1. Le sens de variation sert donc de passerelle : il te permet de décrire un phénomène (un capital qui grandit, une population qui diminue), puis de prévoir comment la suite se comporte quand n devient grand.
Dans ce cours, tu vas apprendre à :
définir précisément ce que veulent dire croissante, décroissante, strictement monotone ;
étudier le sens de variation avec le signe de la différenceun+1−un ;
utiliser, quand c'est adapté, le quotientunun+1 ;
traiter directement les suites arithmétiques et géométriques que tu connais déjà ;
rédiger une réponse propre, comme on l'attend à l'épreuve.
Définitions : croissante, décroissante, monotone
Le cours complet sur les suites numériques consacre une définition au sens de variation d'une suite à valeurs réelles 2. Voici cette notion écrite avec les formulations du programme de Première.
Lis bien la définition : elle porte sur tous les entiers n (à partir du premier indice de la suite). Il ne suffit pas de vérifier que u1≥u0 ou que les cinq premiers termes montent. Un nombre fini de calculs permet d'infirmer une propriété (un seul contre-exemple suffit), jamais de la démontrer pour tout n.
Première méthode : le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$
La définition compare un+1 et un. Comparer deux nombres revient à regarder le signe de leur différence : un+1≥un équivaut à un+1−un≥0. On obtient ainsi l'outil de base.
Démonstration · Pourquoi ce critère est vrai
Par définition, (un) est croissante si et seulement si un+1≥un pour tout n. Or, pour deux nombres réels a et b, l'inégalité b≥a équivaut à b−a≥0 (on ajoute −a aux deux membres). Avec b=un+1 et a=un, on obtient : un+1≥un⟺un+1−un≥0. Le raisonnement est identique pour « décroissante » avec le signe ≤.
Deuxième méthode : le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
Quand la formule de la suite contient des puissances, des produits ou des quotients, la différence devient vite pénible à manier. Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer le quotient de deux termes consécutifs à 1.
Démonstration · Pourquoi la positivité est indispensable
Supposons un>0. On a alors unun+1≥1 si et seulement si, en multipliant les deux membres par un>0 (ce qui conserve le sens de l'inégalité), un+1≥un. Si un était négatif, multiplier par un renverserait l'inégalité et on conclurait l'inverse. C'est pourquoi on vérifie toujours le signe des termes avant de comparer le quotient à 1.
Suites arithmétiques et géométriques
Pour les deux familles de suites que tu connais, le sens de variation se lit directement sur les paramètres. C'est un gain de temps considérable, à condition de savoir pourquoi les règles sont vraies.
Démonstration · Démonstration du tableau géométrique
On a un+1−un=u0qn+1−u0qn=u0qn(q−1). Pour q>0, qn>0 : le signe de la différence est celui de u0(q−1).
u0>0 et q>1 : u0(q−1)>0, croissante.
u0>0 et 0<q<1 : u0(q−1)<0, décroissante.
u0<0 : le signe est inversé.
Pour q<0, qn est alternativement positif et négatif, donc un+1−un change de signe selon la parité de n : la suite n'est pas monotone.
Utiliser la fonction associée à la suite
Quand la suite est définie par une formule explicite un=f(n), tu peux utiliser tes connaissances sur les variations des fonctions. L'idée : la suite est la fonction f regardée seulement aux valeurs entières.
Démonstration · Justification
Si f est croissante sur [0;+∞[, alors, comme n≤n+1, on a f(n)≤f(n+1), c'est-à-dire un≤un+1. Cette inégalité est vraie pour tout n : la suite est croissante.
Erreurs fréquentes et rédaction attendue
Une réponse juste mais mal rédigée perd des points. Voici les pièges classiques et la manière de les éviter.
ÉcrireRemplacer n par n+1 pour obtenir u(n+1).
CalculerSimplifier la différence u(n+1) - u(n).
SignerÉtudier le signe pour tout entier n.
ConclureCroissante, décroissante ou non monotone.
Étudier le sens de variation d'une suite · Méthode de la différence.
Exercices corrigés
Exercice 1 Un trinôme : où la suite change-t-elle de sens ?
★☆☆Environ 10 min
Soit la suite (un) définie pour tout entier n par un=n2−6n+2.
Exprime un+1−un en fonction de n.
En déduire à partir de quel rang la suite est croissante. Donne ce rang.
Indice 1
Développe (n+1)2 avec soin et mets des parenthèses autour de un.
Indice 2
Cherche pour quelles valeurs entières de n l'expression 2n−5 est positive.
Voir la correction pas à pas
On calcule un+1=(n+1)2−6(n+1)+2=n2+2n+1−6n−6+2=n2−4n−3.
On soustrait : un+1−un=(n2−4n−3)−(n2−6n+2)=2n−5.
On étudie le signe : 2n−5>0⟺n>2,5, donc pour les entiers, n≥3. Pour n=0,1,2 la différence est négative.
On conclut : la suite est décroissante pour n≤2 (on passe de u0=2 à u1=−3, u2=−6, u3=−7) et croissante à partir du rang 3.
La suite (un) n'est pas monotone sur N ; elle est croissante à partir du rang 3 et son plus petit terme est u3=−7.
Exercice 2 Une suite géométrique qui décroît
★☆☆Environ 8 min
Une machine perd chaque année 10% de sa valeur. Sa valeur initiale est de 200 milliers d'euros, et sa valeur au bout de n années est vn=200×0,9n.
Calcule la variation v1−v0 de la valeur entre la première année et l'année 0 (en milliers d'euros).
Démontre que la suite (vn) est décroissante.
Indice 1
Perdre 10% revient à multiplier par 0,9.
Indice 2
Écris vn+1−vn=v0qn(q−1) et regarde le signe de chaque facteur.
Voir la correction pas à pas
On calcule v1=200×0,9=180, donc v1−v0=180−200=−20.
On écrit vn+1−vn=200×0,9n+1−200×0,9n=200×0,9n×(0,9−1).
On étudie le signe : 200>0, 0,9n>0 et 0,9−1=−0,1<0, donc la différence est strictement négative pour tout n.
On conclut : la suite (vn) est strictement décroissante.
La valeur de la machine diminue de 20 milliers d'euros la première année, et la suite (vn) est strictement décroissante, comme le prévoit la règle u0>0 et 0<q<1.
Exercice 3 Le quotient pour une suite à termes positifs
★★☆Environ 12 min
Soit la suite (un) définie pour tout entier n par un=n+12n ; on admet que tous ses termes sont strictement positifs.
Exprime unun+1 en fonction de n.
Calcule la valeur du quotient u3u4 (c'est-à-dire pour n=3).
Que peux-tu dire du sens de variation de la suite ?
Indice 1
Écris 2n+1=2×2n pour simplifier.
Indice 2
Compare n+22(n+1) à 1 en multipliant par n+2>0.
Voir la correction pas à pas
On écrit unun+1=n+22n+1×2nn+1=n+22(n+1).
Pour n=3 : 52×4=58=1,6. On vérifie : u3=48=2 et u4=516=3,2, donc u3u4=1,6.
On compare à 1 : n+22(n+1)≥1⟺2n+2≥n+2⟺n≥0, vrai pour tout entier n.
On conclut : tous les termes sont strictement positifs et le quotient est supérieur ou égal à 1 : la suite est croissante.
Le quotient unun+1 vaut n+22(n+1), soit 1,6 pour n=3, et la suite (un) est croissante.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On a un+1−un=5−2(n+1)−(5−2n)=−2<0 : la suite est strictement décroissante (suite arithmétique de raison −2). La réponse « croissante » vient d'une lecture du « 5 » en premier terme, alors que c'est le coefficient de n qui décide du sens de variation.
Pour tout entier n, n2+1≥1>0 : la différence est strictement positive, donc la suite est strictement croissante. Dire « on ne peut rien conclure » serait une erreur, car le signe est connu pour tout n ; « décroissante » inverserait le sens du critère.
Comme un>0, multiplier l'inégalité unun+1<1 par un conserve le sens et donne un+1<un : la suite est strictement décroissante. L'erreur tentante serait de croire que le quotient inférieur à 1 donne toujours une suite décroissante même avec des termes négatifs, ce qui est faux.
Les termes valent 1,−1,1,−1,… : la suite descend de u0 à u1, puis remonte de u1 à u2. Elle n'est ni croissante ni décroissante. Le piège est de s'arrêter aux deux premiers termes.
On a u1=1−4=−3 et u2=4−8=−4, donc u2−u1=−1. Avec la formule un+1−un=2n+1−4=2n−3 pour n=1, on retrouve −1. Écrire +1 vient d'une erreur de soustraction dans l'ordre.
On a un+1−un=u0qn(q−1)=−3×2n×1<0 : la suite est strictement décroissante (−3,−6,−12,…). La première réponse oublie le signe de u0, erreur très fréquente.
Pour un=n2−6n, un+1−un=2n−5, négatif pour n≤2 puis positif à partir de n=3. Les suites 3n+1 (arithmétique de raison 3) et −n (raison −1) sont monotones dès le début, et (1/2)n est décroissante dès le début.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre « croissante » et « strictement croissante » ?
Une suite croissante vérifie un+1≥un : deux termes consécutifs peuvent être égaux. Une suite strictement croissante vérifie un+1>un : chaque terme est strictement plus grand que le précédent. Exemple : 1,1,2,3,… est croissante, mais pas strictement.
Quand utiliser la différence et quand utiliser le quotient ?
La différence fonctionne toujours, car elle ne demande aucune hypothèse sur le signe des termes. Le quotient est plus pratique avec des puissances ou des produits, mais seulement si tous les termes sont strictement positifs (ou tous strictement négatifs, en inversant la conclusion). Si tu hésites, calcule un+1−un.
Peut-on démontrer qu'une suite est croissante en calculant les premiers termes ?
Non. Calculer quelques termes permet de conjecturer un sens de variation ou de montrer qu'il est faux (un seul contre-exemple suffit). Pour démontrer la propriété pour tout n, il faut une preuve générale : signe de la différence, du quotient, ou lecture de la raison pour une suite arithmétique ou géométrique.
Que faire si la différence change de signe selon $n$ ?
Étudie le signe en fonction de n et précise les rangs. Par exemple, si un+1−un=2n−6, la différence est négative pour n≤2, nulle pour n=3 et positive ensuite : la suite est décroissante au début, puis croissante à partir du rang 3. Elle n'est alors pas monotone sur tout N, et c'est une conclusion acceptable à écrire.