Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Étudier le sens de variation d'une suite (un), c'est dire si ses termes augmentent, diminuent ou ne suivent aucune règle de ce type quand n grandit.2
Méthode générale : calculer un+1−un et déterminer son signe pour tout n ; positif, la suite est croissante, négatif, elle est décroissante.1
Méthode du quotient : valable seulement si tous les termes sont strictement positifs ; on compare unun+1 à 1.1
Une suite arithmétique de raison r⩾0 est croissante ; sinon elle est décroissante.3
Une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : un exemple ne prouve jamais une propriété valable pour tout n.
Ce qu'il faut savoir
Méthode 1 : le signe de la différence
Méthode 2 : comparer le quotient à 1
Cas particuliers à reconnaître
Pièges et réflexes
Questions flash
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On calcule wn+1−wn=3(n+1)−6−(3n−6)=3, positif pour tout n : la suite est strictement croissante. Le terme −6 décale seulement la suite vers le bas ; il ne fixe pas le sens. Le nombre 3 est la différence constante entre deux termes, pas la valeur de la suite : elle n'est donc pas constante.
Comme un>0, multiplier unun+1<1 par un conserve le sens et donne un+1<un : la suite est décroissante. Croissante serait la réponse pour un quotient supérieur à 1, ce qui est l'erreur tentante en lisant trop vite.
C'est faux sans l'hypothèse « termes strictement positifs ». Contre-exemple : un=−2n a un quotient égal à 2, mais un+1<un ; la suite est décroissante. Multiplier par un terme négatif retourne l'inégalité.
On a un+1−un=2n−3, donc pour n=5 on obtient 7. On peut vérifier : u6=12 et u5=5, donc 12−5=7. Une erreur fréquente est de calculer u6 seulement, sans soustraire u5.
Pour une suite arithmétique, un+1−un=r=−2<0 : la suite est (strictement) décroissante. C'est le signe de r, et non sa valeur absolue, qui compte. Le seul cas constant est r=0 ; ici elle est bien monotone.
Les questions qu'on se pose
Peut-on démontrer qu'une suite est croissante en calculant ses premiers termes ?
Non. Quelques termes permettent de conjecturer un sens de variation, jamais de le démontrer. Pour un=n2−4n, les termes u0=0, u1=−3 puis u2=−4 décroissent, avant de croître à partir de n=2. Seule une preuve valable pour tout n, avec le signe de un+1−un, suffit.
Quand utiliser le quotient plutôt que la différence ?
Le quotient est pratique quand l'expression contient des puissances ou des produits qui se simplifient, à condition que tous les termes soient strictement positifs.1 Dans le doute sur le signe des termes, la différence un+1−un ne coûte rien et reste valable dans tous les cas.
Une suite peut-elle être ni croissante ni décroissante ?
Oui. C'est le cas quand un+1−un change de signe. La suite un=(−1)n alterne entre 1 et −1 : elle monte puis descend, donc elle n'est pas monotone. Dans ce cas, dire « elle n'est pas monotone » est une réponse complète.