Sens de variation d'une suite : quiz de 1re spécialité
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent, décroissante si chacun est inférieur ou égal, monotone si elle est l'un ou l'autre 2.
Méthode de base : étudier le signe de un+1−un ; positif pour tout n, la suite est croissante 1.
Une suite arithmétique de raison r est croissante si r≥03.
Comparer unun+1 à 1 ne marche que si tous les termes sont strictement positifs 1.
Calculer quelques termes ne prouve rien : il faut une démonstration valable pour tout n.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le sens de variation d'une suite : savoir dire si une suite (un) est croissante, décroissante, ou ni l'une ni l'autre, et surtout savoir le justifier. Tu y croiseras des suites données par une formule explicite, par une relation de récurrence, des suites arithmétiques et des suites géométriques. Tu as vu ces deux dernières juste avant ce chapitre ; elles servent ici d'exemples de référence.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Dire que un+1−un≥0 revient à dire un+1≥un : chaque terme est au moins égal au précédent, donc la suite est croissante 2. Elle n'est pas forcément constante : un=n vérifie l'hypothèse sans être constante. Le signe de la différence ne dit rien sur une éventuelle limite.
On calcule un+1−un=2(n+1)+5−(2n+5)=2. Cette différence est strictement positive pour tout n : la suite est strictement croissante. Le piège est de croire que le « +5 » joue un rôle : il disparaît dans la différence.
C'est une suite arithmétique de raison −3 : vn+1−vn=−3<0. Une suite arithmétique de raison r est croissante si r≥03 ; ici r<0, elle est donc décroissante. Le premier terme 10 n'influence pas le sens de variation, seule la raison compte.
Une suite arithmétique de raison r est croissante dès que r≥03. Avec r=0, tous les termes sont égaux : un+1≥un est vraie (avec égalité). Elle n'est en revanche pas strictement croissante. Elle est aussi décroissante au sens large, ce qui n'est pas contradictoire.
On a u6=36−24=12 et u5=25−20=5, donc u6−u5=7. Plus généralement un+1−un=(n+1)2−4(n+1)−n2+4n=2n−3, ce qui vaut bien 7 pour n=5. Attention à ne pas calculer u6−5 ou u6−5 : il s'agit de la différence de deux termes consécutifs.
La relation donne directement vn+1−vn=n2, qui est positif ou nul pour tout n : la suite est croissante 1. La valeur de v0 ne change pas ce signe. Ajouter une quantité positive fait augmenter le terme, pas diminuer.
Comme un>0, l'inégalité unun+1>1 équivaut à un+1>un : la suite est strictement croissante 1. Le quotient supérieur à 1 n'a de sens pour comparer qu'avec des termes positifs, condition remplie ici.
Ici un+1−un=−2n+1+2n=−2n<0 : la suite est strictement décroissante. Le quotient vaut bien 2, mais il n'est exploitable que pour des termes strictement positifs 1. Avec des termes négatifs, multiplier par 2 rend le nombre plus petit. La dernière proposition est fausse : −1>−2 montre justement que la suite descend.
Pour n2 : (n+1)2−n2=2n+1>0. Pour n : n+1−n=n+1+n1>0, la suite est croissante (cette suite est un exemple d'étude proposé dans 1). La suite −n est arithmétique de raison −1, donc décroissante. La suite n1 vérifie n+11−n1=−n(n+1)1<0 : elle est décroissante.
Ses termes valent 1,−1,1,−1,… Elle descend de u0=1 à u1=−1, donc elle n'est pas croissante ; puis elle remonte de u1=−1 à u2=1, donc elle n'est pas décroissante. Un seul contre-exemple suffit pour réfuter chaque propriété. Il existe donc des suites qui ne sont pas monotones.
2n−5≥0 équivaut à n≥2,5, donc pour les entiers n≥3. On a donc u3≤u4≤u5≤… : la suite est croissante à partir du rang 3. Avant, elle décroît : u0=0, u1=−5, u2=−8, u3=−9. Choisir le rang 2 est l'erreur tentante : pour n=2, la différence vaut −1, donc u3<u2.
On a w10=24 et w9=21, donc la différence vaut 3. C'est normal : wn=3n−6 est une suite arithmétique de raison 3 1, et la différence de deux termes consécutifs d'une telle suite est toujours égale à la raison. Elle est donc croissante.
La relation donne un+1−un=−(n2+1). Comme n2+1≥1, cette différence est strictement négative pour tout n : la suite est strictement décroissante. Le signe du nombre retranché, positif, ne doit pas faire oublier le signe « moins » devant : on retire une quantité positive à chaque étape.
« Croissante » exige un+1≥un pour toutn2. La négation est qu'il existe au moins un n pour lequel un+1<un. Un seul contre-exemple suffit donc pour réfuter. À l'inverse, vérifier la propriété sur quelques valeurs ne suffit jamais pour la prouver.
On calcule n+11−n1=n(n+1)n−(n+1)=−n(n+1)1, négatif pour tout n≥1. La suite n'est définie que pour n=0, d'où la précision n≥13. L'erreur tentante est de dire que le dénominateur qui augmente fait augmenter la fraction : c'est l'inverse, la fraction diminue.
Les questions qu'on se pose
Faut-il toujours étudier le signe de u(n+1) − u(n) ?
C'est la méthode la plus générale, elle marche pour toute suite 1. Pour une suite arithmétique, la différence est la raison, donc la conclusion est immédiate 3. Pour une suite à termes strictement positifs, comparer le quotient à 1 peut être plus rapide. Si tu hésites, reviens à la différence.
Peut-on conclure en calculant seulement les premiers termes ?
Non. Les premiers termes peuvent donner une fausse impression : un=n2−6n commence par 0,−5,−8,−9 puis remonte. Pour conclure qu'une suite est croissante, il faut prouver un+1≥un pour tout n. Pour conclure qu'elle ne l'est pas, un seul contre-exemple suffit.