Sens de variation d'une suite : exercices corrigés de 1re

Pour la question 1, calcule $u_{11}=2\times 11+5=27$ et $u_{10}=2\times 10+5=25$.

Fais la différence : $u_{11}-u_{10}=27-25=2$.

Pour la question 2, écris $u_{n+1}=2(n+1)+5=2n+7$.

Calcule $u_{n+1}-u_n=(2n+7)-(2n+5)=2$.

La différence vaut $2$, nombre strictement positif, pour tout $n$ : la suite est strictement croissante.

Calcule $v_1=v_0+0^2=1+0=1$.

Calcule $v_2=v_1+1^2=1+1=2$.

Calcule $v_3=v_2+2^2=2+4=6$.

Pour la question 2, la relation de récurrence donne directement $v_{n+1}-v_n=n^2$.

Un carré est toujours positif ou nul : $v_{n+1}-v_n \geqslant 0$ pour tout $n$, donc $(v_n)$ est croissante.

Un produit de $8>0$ par une puissance de $\frac{3}{4}>0$ est strictement positif : tous les termes de $(a_n)$ sont strictement positifs.

Écris $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{8\times\left(\frac34\right)^{n+1}}{8\times\left(\frac34\right)^{n}}=\dfrac{3}{4}$.

Comme $\dfrac{3}{4}<1$ et que les termes sont positifs, on a $a_{n+1}<a_n$ : la suite est strictement décroissante.

Pour $a_3$, calcule $8\times\dfrac{27}{64}=\dfrac{27}{8}=3{,}375$.

Calcule $b_0=0$, $b_1=1-4=-3$, $b_2=4-8=-4$, $b_3=9-12=-3$, $b_4=16-16=0$.

Les termes descendent de $0$ à $-4$ puis remontent : la suite n'est pas monotone sur tout $\mathbb{N}$.

Développe : $b_{n+1}=(n+1)^2-4(n+1)=n^2+2n+1-4n-4=n^2-2n-3$.

Soustrais : $b_{n+1}-b_n=(n^2-2n-3)-(n^2-4n)=2n-3$.

Résous $2n-3 \geqslant 0$, soit $n \geqslant \dfrac{3}{2}=1{,}5$.

Le plus petit entier vérifiant cette condition est $2$, donc $N=2$ : la suite est croissante à partir du rang $2$, et décroissante avant (pour $n=0$ et $n=1$ la différence est négative).

Calcule $c_4=\dfrac{4}{5}$ et $c_5=\dfrac{5}{6}$.

Fais la différence : $\dfrac{5}{6}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{25-24}{30}=\dfrac{1}{30}$.

Pour la question 2, écris $c_{n+1}-c_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}$.

Mets au même dénominateur : $\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$.

Le numérateur vaut $n^2+2n+1-n^2-2n=1$, donc $c_{n+1}-c_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.

Pour tout $n \geqslant 0$, ce quotient est strictement positif (dénominateur positif, numérateur égal à $1$) : la suite est strictement croissante.

Chaque mois, on enlève $150$ : $s_{n+1}=s_n-150$.

La suite est donc arithmétique de raison $-150$, et $s_n=2000-150n$.

Calcule $s_{n+1}-s_n=-150$ : cette différence est strictement négative pour tout $n$, donc la suite est strictement décroissante (la raison est négative, on n'est pas dans le cas $r \geqslant 0$ ³).

Pour savoir quand le solde devient négatif, résous $2000-150n<0$, soit $n>\dfrac{2000}{150}=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}33$.

Le plus petit entier strictement supérieur à $13{,}33$ est $14$.

Vérification : $s_{13}=2000-1950=50>0$ et $s_{14}=2000-2100=-100<0$.

Écris $r_{n+1}-r_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ et multiplie en haut et en bas par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ (strictement positif).

Au numérateur, utilise $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ : $(n+1)-n=1$.

On obtient $r_{n+1}-r_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$.

Le dénominateur est strictement positif pour tout $n \geqslant 0$, donc la différence est strictement positive : $(r_n)$ est strictement croissante.

Pour la question 3, choisis un réel $M>0$ quelconque. Pour tout entier $n > M^2$, on a $r_n=\sqrt{n} > \sqrt{M^2}=M$ : un terme dépasse strictement $M$.

Aucun nombre $M$ ne majore donc tous les termes : la suite n'est pas majorée.