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Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Suites arithmétiques : cours de Première spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison rr : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r.
  • Elle est entièrement déterminée par son premier terme et sa raison, et un=u0+nru_n=u_0+nr (ou un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r pour deux indices quelconques).
  • Pour prouver qu'une suite est arithmétique, on montre que un+1−unu_{n+1}-u_n est une constante, indépendante de nn.
  • Si r>0r>0 la suite est croissante, si r<0r<0 elle est décroissante, si r=0r=0 elle est constante.
  • Une suite arithmétique est l'équivalent discret d'une fonction affine : ses points sont alignés.

Pourquoi étudier les suites arithmétiques

Tu as déjà rencontré des situations où une quantité augmente du même montant à chaque étape : un abonnement dont le prix monte de 2 € chaque année, une plante qui gagne 3 cm par semaine, une pile de verres où chaque étage ajoute le même nombre d'éléments. Pour décrire ces situations, on utilise des suites, et la plus simple d'entre elles est la suite arithmétique.

Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître une suite arithmétique, à calculer n'importe lequel de ses termes sans calculer tous les précédents, et à résoudre les problèmes types du programme de Première : retrouver la raison, retrouver le premier terme, démontrer qu'une suite est arithmétique, étudier son sens de variation.

Tu as vu avant ce chapitre les modes de génération d'une suite : une suite peut être donnée par une formule explicite un=f(n)u_n=f(n), par une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), ou par un algorithme. Les suites arithmétiques se présentent sous les deux formes à la fois, ce qui en fait un très bon terrain d'entraînement.

Définition et raison

Le mot important est « constante » : le nombre ajouté ne dépend pas de nn. On ajoute le même nombre au premier pas, au deuxième pas, au centième pas.

La définition fonctionne aussi pour une suite qui démarre à un autre indice que 0. On peut commencer à u1u_1, ou à n'importe quel un0u_{n_0} : la propriété « on ajoute toujours la même constante » est la seule chose qui compte.3

Une suite entièrement déterminée

Cette phrase a une conséquence pratique très forte. Imagine que je te dise : « le premier terme est u0=3u_0=3 et la raison est r=4r=4 ». Tu peux alors écrire sans hésiter tous les termes :

u0=3,u1=3+4=7,u2=7+4=11,u3=11+4=15,  …u_0=3,\quad u_1=3+4=7,\quad u_2=7+4=11,\quad u_3=11+4=15,\;\dots

Il n'y a rien d'autre à savoir. C'est très différent d'une suite quelconque, où il faudrait connaître la règle de passage d'un terme au suivant, qui peut être compliquée.

Pour une suite arithmétique, cette règle est toujours la même : « ajoute rr ». C'est pourquoi on donne souvent un énoncé du type : « (un)(u_n) est la suite arithmétique de premier terme u0=3u_0=3 et de raison 44 ».

Construire une suite arithmétiqueQuatre étapes : partir de u0, ajouter la raison, obtenir u1, recommencer.1DépartOn connaît le premier terme, par exemple u0 = 3.2RaisonOn connaît le nombre à ajouter, par exemple r = 4.3Terme suivantu1 = u0 + r = 3 + 4 = 7.4On recommenceu2 = u1 + r = 11, puis u3 = 15, etc.
  1. DépartOn connaît le premier terme, par exemple u0 = 3.
  2. RaisonOn connaît le nombre à ajouter, par exemple r = 4.
  3. Terme suivantu1 = u0 + r = 3 + 4 = 7.
  4. On recommenceu2 = u1 + r = 11, puis u3 = 15, etc.
Construire une suite arithmétique · Premier terme et raison suffisent à tout produire.
Premiers termes pour u0 = 3 et r = 4
n012345
u_n3711151923
Premiers termes pour u0 = 3 et r = 4 · Chaque terme gagne 4 par rapport au précédent.

La formule explicite : calculer un terme lointain

Calculer u100u_{100} en ajoutant rr cent fois serait long. Une suite arithmétique possède heureusement une formule générale pour le calcul des termes.2 Voyons d'où elle vient, puis comment l'utiliser.

Démonstration · Pourquoi cette formule est vraie

Partons de la définition : un+1−un=ru_{n+1}-u_n=r pour tout nn. Écrivons cette égalité pour les premiers indices :

u1−u0=ru2−u1=ru3−u2=r  ⋮un−un−1=r\begin{aligned}u_1-u_0&=r\\u_2-u_1&=r\\u_3-u_2&=r\\&\;\vdots\\u_n-u_{n-1}&=r\end{aligned}

Ajoutons membre à membre ces nn égalités. À gauche, presque tout se simplifie : u1u_1 s'annule avec −u1-u_1, u2u_2 avec −u2-u_2, etc. Il reste un−u0u_n-u_0. À droite, on additionne nn fois rr, soit n rn\,r. Donc

un−u0=n r,d’ouˋun=u0+n r.u_n-u_0=n\,r,\qquad\text{d'où}\qquad u_n=u_0+n\,r.

Retrouver la raison et le premier terme

Démontrer qu'une suite est arithmétique

Souvent, l'énoncé ne dit pas qu'une suite est arithmétique : c'est à toi de le démontrer. Il ne suffit jamais de calculer les trois ou quatre premiers termes : ils pourraient suivre un motif qui se brise plus loin. Il faut une preuve valable pour tout nn.

Sens de variation et lien avec les fonctions affines

Une suite arithmétique est donc toujours monotone. C'est une particularité : une suite quelconque peut monter puis descendre. Ici, le sens de variation se lit directement sur la raison, sans calcul supplémentaire.

Concrètement, si tu places dans un repère les points de coordonnées (n ; un)(n\,;\,u_n), ils sont alignés sur la droite d'équation y=rx+u0y=rx+u_0. Pour un=3+4nu_n=3+4n, les points (0 ;3)(0\,;3), (1 ;7)(1\,;7), (2 ;11)(2\,;11), (3 ;15)(3\,;15) montent de 44 à chaque pas. Seuls les points d'abscisse entière existent, puisque nn est un entier.

Ce lien explique pourquoi les formules se ressemblent et pourquoi tes réflexes sur les fonctions affines (pente, ordonnée à l'origine) se réutilisent ici.

Situations concrètes et pour aller plus loin

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme éloigné

★☆☆Environ 5 min

Soit (un)(u_n) la suite arithmétique de premier terme u0=5u_0=5 et de raison r=3r=3.

  1. Donne u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
  2. Exprime unu_n en fonction de nn.
  3. Calcule u20u_{20}.
Indice 1

Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute la raison.

Indice 2

La formule explicite est un=u0+nru_n=u_0+nr.

Voir la correction pas à pas

  1. On ajoute 33 à chaque fois : u1=5+3=8u_1=5+3=8, u2=8+3=11u_2=8+3=11, u3=11+3=14u_3=11+3=14.

  2. La formule est un=u0+nru_n=u_0+nr, donc un=5+3nu_n=5+3n.

  3. On remplace nn par 2020 : u20=5+3×20=65u_{20}=5+3\times20=65.

  4. Contrôle : la suite croît de 33 à chaque pas, 2020 pas donnent 6060 de plus que 55, soit 6565.

Retiens la chaîne : raison, formule explicite, puis calcul direct du terme voulu. Il n'est pas utile de calculer les 1919 termes intermédiaires.

Exercice 2 Retrouver la raison et le premier terme

★★☆Environ 10 min

Une suite arithmétique (un)(u_n) vérifie u3=11u_3=11 et u7=27u_7=27.

  1. Calcule la raison rr.
  2. Calcule u0u_0.
  3. Calcule u50u_{50}.
Indice 1

Entre les indices 33 et 77, combien y a-t-il de pas ?

Indice 2

Utilise un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r avec p=3p=3.

Voir la correction pas à pas

  1. De l'indice 33 à l'indice 77, il y a 7−3=47-3=4 pas, pour un gain de 27−11=1627-11=16.

  2. La raison est donc r=164=4r=\dfrac{16}{4}=4.

  3. On remonte au premier terme : u3=u0+3ru_3=u_0+3r, donc u0=11−3×4=−1u_0=11-3\times4=-1.

  4. La formule est un=−1+4nu_n=-1+4n.

  5. On calcule u50=−1+4×50=199u_{50}=-1+4\times50=199.

  6. Vérification : u7=−1+28=27u_7=-1+28=27, ce qui correspond à l'énoncé.

La raison se lit comme « gain total divisé par nombre de pas ». Le piège classique est de diviser par 77 ou par 33 au lieu de 7−37-3.

Exercice 3 Démontrer qu'une suite est arithmétique

★★☆Environ 10 min

Soit (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=7−2nu_n=7-2n.

  1. Démontre que (un)(u_n) est arithmétique et donne sa raison.
  2. Étudie son sens de variation.
  3. Calcule u30u_{30}.
Indice 1

Calcule un+1u_{n+1} en remplaçant nn par n+1n+1.

Indice 2

Le résultat de un+1−unu_{n+1}-u_n ne doit plus contenir nn.

Voir la correction pas à pas

  1. On écrit un+1=7−2(n+1)=5−2nu_{n+1}=7-2(n+1)=5-2n.

  2. On calcule la différence : un+1−un=(5−2n)−(7−2n)=−2u_{n+1}-u_n=(5-2n)-(7-2n)=-2.

  3. Cette différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison −2-2.

  4. Comme r=−2<0r=-2<0, la suite est strictement décroissante.

  5. Son premier terme est u0=7u_0=7 ; on calcule u30=7−2×30=−53u_{30}=7-2\times30=-53.

Un nombre qui reste le même quel que soit nn est la signature d'une suite arithmétique. Si nn avait subsisté dans le résultat, la conclusion aurait été différente.

Exercice 4 Un problème de salaire

★★★Environ 12 min

Un salarié gagne 1 5001\,500 € par mois la première année. À la fin de chaque année, son salaire mensuel augmente de 4040 €. On note unu_n son salaire mensuel après nn augmentations, avec u0=1 500u_0=1\,500.

  1. Justifie que (un)(u_n) est arithmétique et précise sa raison.
  2. Calcule son salaire mensuel après 1212 augmentations.
  3. Après combien d'augmentations son salaire dépassera-t-il 2 0002\,000 € ?
Indice 1

Une augmentation d'un même montant correspond à une raison constante.

Indice 2

Pour la question 3, résous l'inéquation 1500+40n>20001500+40n>2000.

Voir la correction pas à pas

  1. Chaque année on ajoute 4040 € : la suite est arithmétique de raison r=40r=40 et de premier terme u0=1500u_0=1500.

  2. La formule est un=1500+40nu_n=1500+40n.

  3. Pour n=12n=12 : u12=1500+40×12=1980u_{12}=1500+40\times12=1980 €.

  4. On résout 1500+40n>20001500+40n>2000, soit 40n>50040n>500 et n>12,5n>12{,}5.

  5. Le plus petit entier convenable est n=13n=13 ; on contrôle u13=1500+520=2020>2000u_{13}=1500+520=2020>2000 et u12=1980<2000u_{12}=1980<2000.

Le travail de modélisation est le plus important : repérer le départ, la quantité ajoutée, puis ce que représente nn. Après cela, tout est un calcul sur la formule explicite.

Quiz

8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Laquelle de ces suites commence comme une suite arithmétique ?

  2. Une suite arithmétique a pour premier terme u0=2u_0=2 et pour raison 55. Quelle est la valeur de u8u_8 ?

  3. Une suite (un)(u_n) vérifie, pour tout nn, un+1−un=−4u_{n+1}-u_n=-4. Que peut-on dire ?

  4. Une suite arithmétique commence à u1u_1, avec u1=4u_1=4 et r=3r=3. Quelle est l'expression de unu_n ?

  5. Une suite arithmétique vérifie u2=9u_2=9 et u6=25u_6=25. Quelle est sa raison ?

  6. Vrai ou faux : la suite définie par un=n2+1u_n=n^2+1 est arithmétique.

  7. Vrai ou faux : toute suite arithmétique de raison strictement positive est strictement croissante.

  8. On pose wn=5un−1w_n=5u_n-1 où (un)(u_n) est arithmétique de raison 33. Quelle est la nature de (wn)(w_n) ?

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite est arithmétique ?

Calcule un+1−unu_{n+1}-u_n et simplifie. Si le résultat est un nombre qui ne dépend pas de nn, la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison. Calculer seulement quelques termes ne démontre rien : cela peut servir à deviner, mais une démonstration doit valoir pour tout nn.

Quelle est la différence entre $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_1+(n-1)r$ ?

Elles disent la même chose, avec un point de départ différent. Il faut compter le nombre de pas entre l'indice de départ et l'indice voulu : nn pas depuis u0u_0, n−1n-1 pas depuis u1u_1. La formule la plus sûre est un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r : pp est l'indice du terme que tu connais.

Une suite arithmétique peut-elle être décroissante ?

Oui, quand sa raison est négative. Par exemple 10,7,4,1,−2,…10,7,4,1,-2,\dots a pour raison −3-3. Enlever 33 revient à ajouter −3-3, donc c'est bien une suite arithmétique.

Quel est le lien avec les fonctions affines ?

La suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine.2 Les formules un=u0+nru_n=u_0+nr et f(x)=rx+u0f(x)=rx+u_0 se ressemblent : la raison correspond au coefficient directeur. La différence est que nn ne prend que des valeurs entières, donc le graphique est un nuage de points alignés, pas une droite pleine.

Comment passer de la relation de récurrence à la formule explicite ?

Si un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r et que tu connais u0u_0, alors un=u0+nru_n=u_0+nr. Il suffit de lire la raison dans la récurrence : c'est le nombre ajouté. Par exemple u0=2u_0=2 et un+1=un+3u_{n+1}=u_n+3 donnent un=2+3nu_n=2+3n.

Est-ce que ce chapitre tombe à l'épreuve de maths ?

Les suites arithmétiques font partie du chapitre sur les suites numériques et servent de base à d'autres notions : suites géométriques, sens de variation, somme de termes. Savoir reconnaître la raison, démontrer qu'une suite est arithmétique et calculer un terme sont des réflexes à maîtriser avant les exercices plus longs.

Sources

  1. Ressources Éduscol - Suites numériques, eduscol.education.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Suite arithmétique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Suite arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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