Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Les suites géométriques : cours de Première

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, la raison : $u_{n+1}=q\,u_n$ .
Terme général : $u_n=u_0\,q^n$ , et plus généralement $u_n=u_p\,q^{\,n-p}$ .
Pour reconnaître une suite géométrique, on calcule le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et on montre qu'il ne dépend pas de $n$ .
Pour des termes positifs, $u_n^2=u_{n-1}\,u_{n+1}$ : chaque terme est la moyenne géométrique de ses voisins.
Les suites géométriques modélisent les croissances et décroissances à pourcentage constant, comme les intérêts composés.

Introduction : multiplier encore et encore

Tu connais déjà les suites arithmétiques : on y ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant. Que se passe-t-il quand, à la place d'ajouter, on multiplie toujours par le même nombre ? On obtient une suite géométrique.

Prends un exemple très simple. Tu pars de 3 et tu doubles à chaque étape : 3, 6, 12, 24, 48… Les écarts entre termes ne sont pas constants (3, 6, 12, 24…), mais le rapport entre un terme et le précédent, lui, ne bouge pas : il vaut toujours 2.

Une suite géométrique est donc une liste de nombres où chaque terme découle du précédent grâce à une multiplication par un facteur qui ne change jamais ; ce facteur porte le nom de raison. ³ Les suites arithmétiques et géométriques sont d'ailleurs présentées ensemble dans l'enseignement de spécialité mathématiques en classe de Première. ²

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

reconnaître une suite géométrique et identifier sa raison ;
écrire la relation de récurrence et le terme général ;
calculer un terme lointain sans calculer tous les précédents ;
utiliser la propriété de la moyenne géométrique ;
modéliser des situations de la vie courante, comme un placement bancaire.

Définition et raison d'une suite géométrique

Cette définition est une relation de récurrence : pour chaque entier naturel $n$ , le terme suivant s'obtient à partir du terme présent et de la raison $q$ . ³ Pour connaître entièrement la suite, il faut donc deux informations : son premier terme (par exemple $u_0$ ) et sa raison $q$ .

Premiers termes de trois suites géométriques
Raison q	u0	u1	u2	u3
3	5	15	45	135
1/2	80	40	20	10
-3	2	-6	18	-54

Premiers termes de trois suites géométriques · Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par la raison.

Reconnaître une suite géométrique

Souvent, on ne te donne pas la raison : on te donne quelques termes, ou une formule, et on te demande si la suite est géométrique. Il faut alors prouver que le passage d'un terme au suivant se fait toujours par la même multiplication.

Le terme général : calculer u_n directement

Calculer $u_{50}$ en enchaînant cinquante multiplications serait pénible. Le terme général est une formule qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$ . ³ Voyons d'où elle vient.

Démonstration · Pourquoi $u_n=u_0\,q^n$

On écrit les premiers termes à partir de la relation $u_{n+1}=q\,u_n$ :

$u_1=q\,u_0,\qquad u_2=q\,u_1=q^2u_0,\qquad u_3=q\,u_2=q^3u_0.$

À chaque pas, on multiplie le terme obtenu par $q$ , donc la puissance de $q$ augmente de 1. Le rang $n$ est atteint après $n$ multiplications par $q$ , d'où $u_n=q^n u_0$ .

Pour la forme générale, partir du rang $p$ et monter jusqu'au rang $n$ demande $n-p$ multiplications par $q$ , d'où $u_n=q^{\,n-p}u_p$ .

RepérerRelever le premier terme connu et la raison q.
CompterCompter les pas entre le terme connu et le terme cherché.
ÉcrirePoser u_n = u_p × q^(n − p).
CalculerRemplacer par les nombres, puis calculer la puissance.

Calculer un terme avec la formule · Une démarche à appliquer à chaque calcul de terme.

Raison, signe des termes et allure de la suite

La valeur de la raison $q$ donne une première idée du comportement de la suite. Pour un premier terme $u_0$ strictement positif, on peut observer les cas suivants à partir du terme général $u_n=u_0q^n$ :

Cette étude plus fine, appelée sens de variation d'une suite, sera approfondie dans un prochain chapitre. Ici, retiens surtout le lien avec la vie courante : pour décrire une croissance ou une décroissance de type exponentiel, la suite géométrique est un outil de choix, car elle joue le rôle d'une fonction exponentielle dont la variable ne prend que des valeurs entières. ³

La moyenne géométrique de trois termes consécutifs

Le mot « géométrique » vient d'une propriété qui relie un terme à ses deux voisins. Quand les termes sont positifs, chaque terme, sauf le tout premier, s'obtient comme la moyenne géométrique de celui qui est juste avant et de celui qui est juste après. ³

Traduisons cela par une égalité que tu peux utiliser dans les calculs.

Démonstration · Démonstration

On a $u_n=q\,u_{n-1}$ et $u_{n+1}=q\,u_n=q^2u_{n-1}$ . Donc

$u_{n-1}\times u_{n+1}=u_{n-1}\times q^2u_{n-1}=\left(q\,u_{n-1}\right)^2=u_n^2.$

Intérêts composés et situations concrètes

On observe des suites géométriques dans la nature : par exemple, les périodes orbitales des planètes du système HD 158259 forment presque une suite géométrique de raison $\frac32$ . ³ On les retrouve aussi dans le système bancaire, avec le calcul des intérêts composés. ³

ExempleUn placement à intérêts composés

On place $1000$ € à $3\ \%$ par an. Chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital, puis rapportent eux-mêmes des intérêts l'année suivante. Le capital est multiplié par $1{,}03$ chaque année.

Notons $C_n$ le capital au bout de $n$ années : $C_0=1000$ et $C_{n+1}=1{,}03\,C_n$ . C'est une suite géométrique de raison $1{,}03$ , donc $C_n=1000\times 1{,}03^n$ .

Au bout de 5 ans : $C_5=1000\times 1{,}03^5\approx 1159{,}27$ €. Le gain total est d'environ $159{,}27$ €, un peu plus que les $150$ € que donneraient des intérêts simples (3 % de 1000 € par an pendant 5 ans).

Méthodes de résolution : problèmes classiques

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme éloigné

★☆☆Environ 5 min

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=3$ . Calcule $u_4$ à l'aide du terme général.

Indice 1

Écris d'abord la formule du terme général.

Indice 2

L'exposant de $q$ est le rang du terme cherché.

Voir la correction pas à pas

On utilise le terme général : $u_n=u_0\times q^n$ .
On remplace par les données : $u_4=5\times 3^4$ .
On calcule la puissance : $3^4=81$ .
On multiplie : $u_4=5\times 81=405$ .

On trouve $u_4=405$ , ce qui correspond bien au calcul pas à pas fait plus haut dans le cours.

Exercice 2 Retrouver la raison et un terme éloigné

★★☆Environ 10 min

Une suite géométrique $(u_n)$ à termes positifs vérifie $u_3=24$ et $u_5=96$ . Détermine sa raison $q$ , puis calcule $u_{10}$ .

Indice 1

Relie $u_5$ à $u_3$ : combien de multiplications par $q$ les séparent ?

Indice 2

Pour revenir de $q^2$ à $q$ , utilise le fait que les termes sont positifs.

Voir la correction pas à pas

De $u_3$ à $u_5$ , il y a deux multiplications par $q$ : $u_5=u_3\,q^2$ .
On en tire $q^2=\dfrac{96}{24}=4$ .
Les termes sont positifs, donc $q=2$ .
On calcule $u_0$ : $u_3=u_0q^3$ donne $u_0=\dfrac{24}{8}=3$ .
On calcule $u_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072$ .

La raison est $q=2$ et $u_{10}=3072$ . On peut aussi partir directement de $u_3$ : $u_{10}=24\times 2^7=3072$ .

Exercice 3 Un capital à intérêts composés

★★☆Environ 10 min

On place $2000$ € à intérêts composés au taux annuel de $2{,}5\ \%$ . On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années.

Justifie que $(C_n)$ est une suite géométrique et donne sa raison.
Calcule le capital au bout de 8 ans, arrondi au centime.

Indice 1

Une hausse de $2{,}5\ \%$ correspond à une multiplication par un coefficient.

Indice 2

Applique le terme général avec $n=8$ .

Voir la correction pas à pas

Une hausse de $2{,}5\ \%$ multiplie le capital par $1+0{,}025=1{,}025$ .
Donc $C_{n+1}=1{,}025\,C_n$ pour tout $n$ : la suite est géométrique de raison $1{,}025$ et de premier terme $C_0=2000$ .
Son terme général est $C_n=2000\times 1{,}025^n$ .
Pour $n=8$ : $C_8=2000\times 1{,}025^8\approx 2000\times 1{,}21840$ .
On arrondit : $C_8\approx 2436{,}81$ €.

Au bout de 8 ans, le capital est d'environ $2436{,}81$ €.

Exercice 4 Décroissance d'une population

★★★Environ 12 min

Une population compte $5000$ individus en 2025 et diminue de $20\ \%$ par an. On note $P_n$ l'effectif $n$ années après 2025.

Exprime $P_n$ en fonction de $n$ .
Calcule l'effectif trois ans plus tard.
Dans combien d'années l'effectif passe-t-il pour la première fois sous la barre de $1000$ ?

Indice 1

Une baisse de $20\ \%$ multiplie par $0{,}8$ .

Indice 2

Pour la question 3, calcule les termes successifs jusqu'à passer sous $1000$ .

Voir la correction pas à pas

Une baisse de $20\ \%$ multiplie l'effectif par $0{,}8$ , donc $P_{n+1}=0{,}8\,P_n$ avec $P_0=5000$ .
La suite est géométrique : $P_n=5000\times 0{,}8^n$ .
Pour $n=3$ : $P_3=5000\times 0{,}512=2560$ .
On cherche le seuil : $P_7=5000\times 0{,}8^7\approx 1048{,}6$ et $P_8=5000\times 0{,}8^8\approx 838{,}9$ .
L'effectif passe sous $1000$ pour la première fois au rang 8.

L'effectif vaut $2560$ individus trois ans plus tard, et il passe sous $1000$ au bout de 8 ans.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Regarde comment on passe d'un terme au suivant. Si l'écart $u_{n+1}-u_n$ est toujours le même, la suite est arithmétique. Si c'est le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ qui est toujours le même (ou si $u_{n+1}=q\,u_n$ ), elle est géométrique. Pour la suite 3, 6, 12, 24 : les écarts valent 3, 6, 12 (non constants), les quotients valent 2, 2, 2. La suite est donc géométrique.

Pourquoi l'exposant est-il $n$ et pas $n+1$ dans $u_n=u_0q^n$ ?

Parce que le premier terme est $u_0$ , qui n'a subi aucune multiplication. Pour atteindre le rang $n$ , on effectue exactement $n$ multiplications par $q$ . Si ta suite commence à $u_1$ , on a $u_n=u_1q^{\,n-1}$ . La règle sûre : l'exposant est le nombre de pas entre le terme connu et le terme cherché.

À quoi servent les suites géométriques ?

Elles servent à modéliser des phénomènes dont le taux de variation est constant d'une période à l'autre : placements à intérêts composés, populations qui doublent ou diminuent de moitié à intervalles réguliers. ³ Tu retrouveras ensuite la fonction exponentielle dans la suite du programme de Première. ¹

Que se passe-t-il si la raison est négative ?

Les termes alternent de signe : si $u_0>0$ et $q<0$ , alors $u_0>0$ , $u_1<0$ , $u_2>0$ , etc. Le terme général s'écrit toujours $u_n=u_0q^n$ , avec $q^n$ qui est positif pour $n$ pair et négatif pour $n$ impair.

Que faire si je ne connais pas le premier terme mais seulement deux termes de la suite ?

Utilise $u_n=u_p\,q^{\,n-p}$ avec $p$ le rang du terme connu. Si tu connais deux termes, divise-les pour obtenir une puissance de $q$ , puis extrais la racine si nécessaire en tenant compte du signe. Ensuite, tu peux remonter jusqu'à $u_0$ si on te le demande.

Qu'est-ce qui peut tomber au contrôle sur ce chapitre ?

Les questions classiques : montrer qu'une suite est géométrique avec $u_{n+1}=q\,u_n$ , calculer un terme avec $u_n=u_0q^n$ , retrouver la raison à partir de deux termes, modéliser une évolution en pourcentage, et utiliser la propriété $u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}$ . La rédaction compte : écris toujours la formule avant de remplacer par des nombres.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - Suites arithmétiques et géométriques, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Suite géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Suite arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Les suites géométriques : cours de Première

L'essentiel

Introduction : multiplier encore et encore

Définition et raison d'une suite géométrique

Reconnaître une suite géométrique

Le terme général : calculer u_n directement

Raison, signe des termes et allure de la suite

La moyenne géométrique de trois termes consécutifs

Intérêts composés et situations concrètes

Méthodes de résolution : problèmes classiques

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer un terme éloigné

Exercice 2 Retrouver la raison et un terme éloigné

Exercice 3 Un capital à intérêts composés

Exercice 4 Décroissance d'une population

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