Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite géométrique passe d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre q, la raison.
Relation de récurrence : un+1=qun ; terme général : un=u0qn, ou un=upqn−p.
Pour reconnaître une suite géométrique, on montre que le quotientunun+1 est constant.
Une hausse de t% correspond à q=1+100t, une baisse de t% à q=1−100t.
Ne confonds pas avec une suite arithmétique, où l'on ajoute une constante.
Définition et raison
Terme général
Démonstration · Pourquoi cette formule
On part de un+1=qun. Alors u1=qu0, puis u2=qu1=q2u0, puis u3=q3u0. À chaque pas, on ajoute un facteur q : après n pas, il y en a n, d'où un=u0qn.
Reconnaître une suite géométrique
Pourquoi ces suites servent
Les suites géométriques servent à décrire des phénomènes qui croissent ou décroissent d'un même pourcentage à chaque période : elles sont l'équivalent discret de la fonction exponentielle 3. On les retrouve aussi dans le calcul des intérêts composés 3.
Erreurs fréquentes
Questions flash
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u2=u0q2=5×9=45. La réponse 30 vient de 5×3×2 (confusion entre qn et nq). La réponse 15 ne tient compte que d'une multiplication, et 11 de deux additions de 3 (suite arithmétique).
Le coefficient est q=1,05 et u3=2000×1,053=2000×1,157625=2315,25. Ajouter 3×5% de 2000 donnerait 2300 : ce serait oublier que les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts.
Chaque terme est le triple du précédent : 6=3×2, 18=3×6, 54=3×18. Le quotient est constant. Ce n'est pas une suite arithmétique, car les écarts 4,12,36 ne sont pas constants.
Diminuer de 20% revient à multiplier par 1−10020=0,8. La valeur 0,2 est la part retirée, pas la part conservée. Le nombre 1,2 correspondrait à une hausse de 20%.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?
Regarde comment on passe d'un terme au suivant. Si la différenceun+1−un est constante, la suite est arithmétique. Si le quotientunun+1 est constant, elle est géométrique. Teste les deux sur les premiers termes, puis démontre-le pour tout n.
À quoi servent les suites géométriques ?
Elles modélisent les phénomènes qui évoluent d'un pourcentage constant : intérêts composés, populations qui doublent ou diminuent de moitié sur une période constante 3. Elles préparent aussi l'étude de la fonction exponentielle.
Une raison peut-elle être négative ou nulle ?
Oui. Avec q=−2 et u0=1, on obtient 1,−2,4,−8,… : les signes alternent. Pour q=0, tous les termes à partir de u1 valent 0. Dans les problèmes de pourcentage, la raison est en revanche toujours positive.