Suites géométriques : exercices corrigés de 1re spécialité

La relation $u_{n+1}=3\,u_n$ a exactement la forme $u_{n+1}=q\,u_n$ avec $q=3$ : la suite est géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0=5$.

On passe de $u_0$ à $u_1$ en multipliant par $3$ : $u_1=3\times5=15$.

De même, $u_2=3\times15=45$ puis $u_3=3\times45=135$.

Enfin $u_4=3\times135=405$. On peut le vérifier avec le terme général : $u_4=5\times3^4=5\times81=405$.

L'expression $v_n=200\times0{,}5^{\,n}$ est de la forme $u_0\,q^n$ : la suite est géométrique, de premier terme $v_0=200$ et de raison $q=0{,}5$.

On applique la formule au rang $6$ : $v_6=200\times0{,}5^6$.

On calcule la puissance : $0{,}5^6=\frac{1}{64}=0{,}015625$.

On multiplie : $v_6=200\times0{,}015625=3{,}125$.

Deux termes consécutifs vérifient $u_3=q\,u_2$, donc $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{54}{18}=3$.

Le terme général donne $u_2=u_0\,q^2$, soit $18=u_0\times3^2=9\,u_0$.

On isole $u_0$ en divisant par $9$ : $u_0=\frac{18}{9}=2$.

Vérification : $u_0=2$, $u_1=6$, $u_2=18$, $u_3=54$. Les valeurs données sont bien retrouvées.

On écrit le terme suivant : $w_{n+1}=\dfrac{3^{\,n+2}}{4^{\,n+1}}$.

On décompose les puissances : $3^{n+2}=3\times3^{n+1}$ et $4^{n+1}=4\times4^{n}$. Ainsi $w_{n+1}=\dfrac{3\times3^{\,n+1}}{4\times4^{\,n}}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3^{\,n+1}}{4^{\,n}}=\dfrac{3}{4}\,w_n$.

Cette égalité est valable pour tout entier $n$ avec le même facteur $\frac34$ : la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\frac34$, et son premier terme est $w_0=3$.

Pour le calcul : $w_5=3\times\left(\frac34\right)^5=\dfrac{3^6}{4^5}=\dfrac{729}{1024}=0{,}7119140625$.

Une hausse de $10\,\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1+\frac{10}{100}=1{,}1$. Chaque année, le capital est donc multiplié par $1{,}1$ : $C_{n+1}=1{,}1\,C_n$.

La relation est de la forme $C_{n+1}=q\,C_n$ : la suite est géométrique de raison $1{,}1$ et de premier terme $2000$. On retrouve la logique des intérêts composés du système bancaire ³.

Le terme général donne $C_n=2000\times1{,}1^{\,n}$, donc $C_3=2000\times1{,}1^3$.

On calcule $1{,}1^3=1{,}331$, puis $C_3=2000\times1{,}331=2662$. Le capital au bout de $3$ ans est de $2662$ euros.

On passe de $u_2$ à $u_5$ en multipliant trois fois par la raison : $u_5=u_2\times q^{3}$.

On remplace : $96=12\,q^3$, donc $q^3=\dfrac{96}{12}=8$.

Les termes sont positifs, donc $q>0$. Comme $2^3=8$, on obtient $q=2$.

On remonte de $u_2$ à $u_0$ en divisant deux fois par $q$ : $u_0=\dfrac{u_2}{q^2}=\dfrac{12}{4}=3$.

Le terme général est donc $u_n=3\times2^{\,n}$. Vérification : $u_5=3\times32=96$, ce qui correspond à l'énoncé.