Équations du premier degré et produit nul : cours de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation du premier degré se ramène à ax=b : si a=0, il y a une seule solution x=ab.
Pour résoudre, on effectue la même opération des deux côtés du signe égal : on isole l'inconnue sans jamais casser l'égalité.
Cas particuliers : 0x=0 a pour solution tous les réels, 0x=b avec b=0 n'a aucune solution.
Produit nul : A×B=0 si et seulement si A=0 ou B=0.
Pour utiliser le produit nul, il faut d'abord obtenir un second membre égal à 0, puis factoriser, et enfin résoudre chaque facteur.
On ne simplifie jamais par un facteur qui contient x : on perdrait une solution.
Introduction : pourquoi résoudre des équations ?
Résoudre une équation, c'est chercher la ou les valeurs d'un nombre inconnu qui rendent une égalité vraie. Tu l'as déjà fait en collège avec des énoncés simples ; en seconde, on met en place une méthode propre et on l'étend aux équations où l'inconnue apparaît dans un produit de facteurs.
Ce cours suit une progression en deux temps. D'abord les équations du premier degré, que l'on sait toujours résoudre avec la même mécanique. Ensuite le produit nul, un outil très puissant qui permet de résoudre des équations qui ne sont pas du premier degré, à condition de savoir factoriser. C'est pour cela que les notions « Développer et factoriser » et « Identités remarquables » sont des prérequis : sans elles, le produit nul reste inutilisable.
Tu retrouveras ces équations partout : problèmes de géométrie, de prix, de vitesse, d'aires. Elles préparent aussi les inéquations du premier degré et les tableaux de signes que tu verras ensuite.
Vocabulaire : équation, inconnue, solution
Résoudre une équation du premier degré
DévelopperSupprimer les parenthèses et réduire chaque membre
RegrouperLes x d'un côté, les nombres de l'autre
RéduireObtenir une forme ax = b
DiviserSi a n'est pas nul, x = b/a
VérifierRemplacer x dans l'équation de départ
Résoudre une équation du premier degré · La même méthode pour toutes les équations du premier degré.
Cas particuliers : une, aucune ou une infinité de solutions
Démonstration · Pourquoi ces trois cas ?
Si a=0, on peut diviser par a : l'équation ax=b équivaut à x=ab, et ce nombre est bien solution puisque a×ab=b.
Si a=0, le membre de gauche 0×x vaut 0 quelle que soit la valeur de x. Si b=0, l'égalité 0=0 est toujours vraie. Si b=0, l'égalité 0=b est toujours fausse.
Les trois issues de l'équation ax = b
Cas
Équation
Solutions
a différent de 0
ax = b
une seule : b/a
a = 0 et b = 0
0x = 0
tous les réels
a = 0 et b différent de 0
0x = b
aucune
Les trois issues de l'équation ax = b · Le coefficient a décide du nombre de solutions.
Le produit nul : énoncé et idée
Démonstration · Démonstration
Si A=0 ou B=0, alors A×B=0 : multiplier par zéro donne zéro.
Réciproquement, supposons A×B=0 et A=0. On peut alors diviser les deux membres par A : on obtient B=A0=0. Donc, si A n'est pas nul, c'est B qui l'est. Au total, l'un des deux facteurs au moins est nul.
Utiliser le produit nul pour résoudre des équations
Mettre un problème en équation
Exercices corrigés
Exercice 1 Une équation à regrouper
★☆☆Environ 6 min
Résous dans R l'équation 3x+7=2x−5, puis vérifie ta solution.
Indice 1
Regroupe les termes en x à gauche et les nombres à droite.
Indice 2
N'oublie pas de changer le signe d'un terme que tu déplaces.
Voir la correction pas à pas
On retranche 2x aux deux membres : 3x−2x+7=−5, soit x+7=−5.
On retranche 7 aux deux membres : x=−5−7=−12.
Vérification : à gauche 3×(−12)+7=−29 ; à droite 2×(−12)−5=−29. Les deux membres sont égaux.
La solution est donc x=−12.
L'équation a une seule solution, S={−12}.
Exercice 2 Produit nul à deux facteurs
★☆☆Environ 6 min
Résous dans R l'équation (3x−9)(x+5)=0.
Indice 1
Le second membre est déjà 0 et le premier est déjà factorisé.
Voir la correction pas à pas
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc 3x−9=0 ou x+5=0.
Première équation : 3x=9, donc x=3.
Seconde équation : x+5=0, donc x=−5.
Vérification : pour x=3, le facteur 3×3−9 vaut 0 ; pour x=−5, le facteur −5+5 vaut 0.
L'ensemble des solutions est S={−5;3}.
Exercice 3 Factoriser avant de résoudre
★★☆Environ 10 min
Résous dans R l'équation x2−4x=0, puis l'équation (x−2)2=16.
Indice 1
Pour la première, cherche un facteur commun.
Indice 2
Pour la seconde, passe 16 à gauche et reconnais une différence de deux carrés avec 16=42.
Voir la correction pas à pas
Première équation : on factorise par x et on obtient x(x−4)=0.
Donc x=0 ou x−4=0, soit x=0 ou x=4.
Seconde équation : (x−2)2−16=0 s'écrit (x−2)2−42=0.
Avec a2−b2=(a−b)(a+b) : ((x−2)−4)((x−2)+4)=0, soit (x−6)(x+2)=0.
Donc x=6 ou x=−2. Vérification : (6−2)2=16 et (−2−2)2=16.
Première équation : S={0;4}. Seconde équation : S={−2;6}.
Exercice 4 Un problème de périmètre
★★★Environ 12 min
Un terrain rectangulaire a une longueur égale à sa largeur augmentée de 7 m. Son périmètre est de 54 m. Quelle est la largeur du terrain, en mètres ?
Indice 1
Appelle x la largeur et exprime la longueur avec x.
Indice 2
Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur.
Voir la correction pas à pas
Soit x la largeur du terrain en mètres. La longueur est alors x+7.
Le périmètre vaut 2(x+(x+7))=54.
On simplifie : 2(2x+7)=54, donc 4x+14=54.
On retranche 14 : 4x=40, donc x=10.
Vérification : la longueur vaut 17 m et 2×(10+17)=54 m. La valeur est positive, elle convient.
Le terrain mesure 10 m de large et 17 m de long.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On retranche 3x : x−9=2, puis on ajoute 9 : x=11. Vérification : 4×11−9=35 et 3×11+2=35. Une erreur fréquente est de trouver x=−7 en écrivant x=2−9 : on a alors retranché 9 au lieu de l'ajouter.
Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : x−5=0 donne x=5 et 2x+6=0 donne x=−3. La réponse « 5 et 3 » vient d'un oubli du changement de signe : 2x=−6 et non 2x=6.
En développant, 2x+2=2x+3, donc 2=3 après simplification : c'est faux pour tout x. L'équation n'a aucune solution. Il est tentant de répondre « une seule solution » parce que l'équation a l'air ordinaire, mais les x ont disparu.
La démarche est fausse : diviser par x suppose x=0, alors que 0 est solution de x2=7x. En factorisant, x(x−7)=0 donne x=0 ou x=7. La seule solution 7 est incomplète.
Les deux premières sont les deux sens du produit nul. La troisième est fausse : 2×5=10 sans que 2 ni 5 ne valent 10. La quatrième est fausse : un seul facteur nul suffit, comme dans 0×3=0.
On factorise avec l'identité a2−b2=(a−b)(a+b) : (x−5)(x+5)=0, donc x=5 ou x=−5. Répondre {5} oublie la solution négative, et {25} confond x avec x2.
Comme a n'est pas nul, on peut diviser par a et la seule solution est x=ab. Les cas sans solution ou à solutions multiples apparaissent seulement quand a=0.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser la méthode du produit nul ?
Regarde l'équation : si tu vois un x2 (ou une expression plus compliquée) ou un produit de parenthèses qui contiennent x, pense au produit nul. Mets tout dans un membre pour avoir 0 de l'autre côté, puis factorise. Si l'équation ne contient que des x à la puissance 1, la méthode d'isolement de l'inconnue suffit.
Pourquoi ne peut-on pas diviser par $x$ ?
Diviser par x n'est permis que si x=0. Or on ne sait pas encore si 0 est solution. Dans x2=5x, diviser par x donne x=5 et fait disparaître la solution 0. Factoriser en x(x−5)=0 donne les deux solutions.
Que faire quand les $x$ disparaissent pendant la résolution ?
Regarde l'égalité restante. Si elle est vraie (comme 4=4), tout réel est solution. Si elle est fausse (comme 6=5), aucune valeur n'est solution. Dans les deux cas, écris l'ensemble des solutions avec soin : R ou ∅.
Faut-il toujours vérifier ma solution ?
C'est une très bonne habitude : remplace x dans l'équation de départ, pas dans une ligne intermédiaire où se serait glissée une faute. En contrôle, la vérification fait gagner des points, car elle attrape presque toutes les erreurs de signe. Pour un problème, vérifie aussi que la valeur a un sens (une longueur est positive, par exemple).