Équations du 1er degré et produit nul : fiche de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation du premier degré ax+b=c se résout en isolant x : on fait la même opération des deux côtés du signe =.
Si a=0, l'équation ax+b=0 a une seule solution : x=−ab.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : A×B=0 équivaut à A=0 ou B=0.
Pour utiliser le produit nul, il faut un second membre égal à 0 et un premier membre factorisé.
Ne divise pas par une expression contenant x si elle peut être nulle : tu risquerais de perdre une solution.
Résoudre une équation du premier degré
La règle du produit nul
Démonstration · Pourquoi ça marche
Si A=0 ou B=0, le produit vaut évidemment 0. Réciproquement, supposons A×B=0 et A=0. On peut alors diviser par A : on obtient B=0. Donc l'un des deux facteurs est nul.
Les pièges à éviter
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
2x−6=0 donne x=3 et x+4=0 donne x=−4. Écrire 4 au lieu de −4 oublie le signe : x+4=0 se résout par soustraction, ce qui donne −4. Et 6 serait le résultat si on ne divisait pas par 2.
C'est faux : x2−3x=0 s'écrit x(x−3)=0, donc x=0 ou x=3. La division par x est interdite car x peut valoir 0, et on y perd une solution.
On regroupe : 4x−2x=9+7, donc 2x=16 et x=8. Vérification : 4×8−7=25 et 2×8+9=25. Trouver x=1 viendrait d'une soustraction faite du mauvais côté.
Un facteur est x, l'autre x−4. Le premier est nul pour x=0, le second pour x=4. Répondre « seulement 4 » revient à avoir divisé par x, ce qui est interdit.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il que le second membre soit égal à 0 ?
Parce que la propriété ne vaut que pour le nombre 0 : un produit ne peut valoir 0 que si l'un de ses facteurs vaut 0, et cela n'a pas d'équivalent pour un autre nombre. Par exemple, a×b=4 peut se réaliser avec a=2 et b=2, ou a=8 et b=0,5, sans qu'aucun facteur ne soit égal à 4. Il faut donc ramener l'équation à la forme « produit =0 ».
Comment savoir si je dois factoriser ou développer ?
Regarde le second membre. S'il vaut 0 et que le premier est déjà un produit, tu appliques la règle directement. Si l'équation contient des termes en x2 des deux côtés, passe tout dans un membre, puis cherche un facteur commun ou une identité remarquable. Une équation qui se simplifie en ax+b=0 se résout par isolement de x.
Une équation peut-elle avoir une seule solution avec un produit nul ?
Oui, quand les deux facteurs s'annulent pour la même valeur. Par exemple (x−2)(2x−4)=0 : x−2=0 donne x=2 et 2x−4=0 donne aussi x=2. L'ensemble des solutions est {2}.