Mathématiques · Seconde
Équations du premier degré et produit nul : quiz de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une équation du premier degré se ramène à ; si , il y a une seule solution .
- Après réduction, on peut tomber sur une égalité toujours fausse (aucune solution) ou toujours vraie (tout réel est solution).
- Pour une équation produit nul, un second membre égal à 0 est indispensable : on annule chaque facteur séparément.
- Avec un second membre non nul, ou avec un facteur commun, on ramène d'abord à 0 puis on factorise, sans jamais diviser par x.
Avant de commencer
Ce quiz couvre deux grandes familles d'équations de Seconde : celles qui se ramènent à une équation du premier degré, et celles qui se résolvent en annulant les facteurs d'un produit. Tu y croiseras des équations à résoudre, des vrai-faux, des questions où plusieurs réponses sont justes et des calculs à saisir. Les notions à maîtriser avant : développer, factoriser et reconnaître une identité remarquable. Petit clin d'œil historique : au IXe siècle, Al-Khwarizmi a étudié des équations du premier et du second degré dans un ouvrage dont le mot « al-jabr » (la restauration) a donné son nom à l'algèbre 2.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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On soustrait 5 aux deux membres : , puis on divise par 3 : . Vérification : . La valeur vient d'une addition de 5 au lieu d'une soustraction ; la valeur 15 oublie la division finale par 3.
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On regroupe : , donc et . Vérification : et . L'erreur tentante est de trouver en oubliant que se retourne en .
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Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : donne , et donne . L'ensemble vient d'une lecture directe des signes dans les parenthèses, sans résoudre ; oublie le second facteur.
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C'est faux. Prenons , qui vérifie : le produit vaut , pas 3. L'argument « un facteur est nul » n'a de sens que lorsque le produit vaut 0. Pour cette équation, il faudrait d'abord développer et tout passer à gauche.
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Seule la première a la forme « produit de facteurs égal à 0 ». La deuxième et la quatrième ont un second membre différent de 0. La troisième est une somme : elle se résout comme une équation du premier degré, .
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On reconnaît l'identité remarquable : . Les facteurs s'annulent pour et . Le nombre 9 est la valeur de , pas une solution : . Quant à 0, il donne .
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donne et donne . La somme vaut . Une erreur fréquente est de prendre 6 et −4 comme solutions, sans diviser par le coefficient 2 du premier facteur.
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On passe tout à gauche : , soit . Donc ou . Diviser par au départ donne mais supprime la solution 0 : c'est l'erreur tentante. L'équation aurait pour solutions et , ce qui est un autre problème.
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C'est vrai. En développant, . Les termes en s'annulent et il reste , égalité impossible quelle que soit la valeur de . Il ne faut pas conclure : cette valeur ne vérifie pas l'équation, puisque .
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En développant le membre de droite, on obtient , identique au membre de gauche. L'égalité est vraie pour tout réel . Dire « aucune solution » confond ce cas avec celui de la question précédente, où l'égalité finale était fausse.
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donne , donc . L'autre facteur donne , qui est négatif. La seule solution positive est donc 4. Répondre 12 revient à oublier de diviser par 3.
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On reconnaît avec et : l'équation devient , soit . Les deux facteurs sont identiques, ce qui donne une seule solution : . Choisir 3 est une erreur de signe, et choisir ±3 confond avec .
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donne . donne , donc . Les réponses avec 3 ou avec viennent d'une division mal faite ou d'un signe oublié lors du passage du 1 de l'autre côté.
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On multiplie les deux membres par 3 : , donc . Vérification : . La réponse 7 vient d'un produit suivi d'une addition de 1 au lieu d'une soustraction ; vient de la même erreur de signe (), suivie d'une division par 3 qui n'avait plus lieu d'être.
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C'est faux. Si et que n'est pas nul, on divise par et il reste . Au moins un facteur est donc nul. C'est précisément ce qui justifie la méthode du produit nul, et ce qui la rend inutilisable quand le second membre n'est pas 0.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il un second membre égal à 0 pour utiliser le produit nul ?
Parce que 0 est le seul nombre qui impose une information sur les facteurs. Si , l'un des deux vaut forcément 0. Si , il existe une infinité de couples possibles : et , et , et , etc. Dans ce cas, on développe, on passe tout du même côté pour obtenir 0, puis on factorise.
Comment savoir si mon équation a une solution, aucune, ou une infinité ?
Développe et réduis les deux membres. Si subsiste sous la forme avec , il y a une unique solution . Si disparaît, regarde l'égalité restante : fausse comme , il n'y a aucune solution ; vraie comme , tout réel est solution.
Que faire quand $x$ apparaît des deux côtés comme dans $x^2=5x$ ?
Ne divise jamais par : tu perdrais la solution . Fais passer tous les termes à gauche pour obtenir , factorise par le facteur commun et obtiens . Il reste à annuler chaque facteur : ou .
Sources
- Ressources Éduscol - Calcul littéral et équations, Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
- Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
- Équation, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
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