Équations du premier degré et produit nul : exercices de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une équation du premier degré se résout en isolant $x$ : on regroupe les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x$ .
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$ .
Pour utiliser le produit nul, il faut d'abord mettre un côté de l'équation sous forme de produit et avoir $0$ de l'autre côté.
Ne simplifie jamais par un facteur qui contient $x$ : tu perdrais une solution. Passe tout d'un côté et factorise.
Vérifie toujours tes solutions en les remplaçant dans l'équation de départ.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Les trois premiers entraînent la résolution d'une équation du premier degré, les suivants introduisent le produit nul, les derniers mélangent factorisation, identités remarquables et problèmes. Cherche d'abord seul(e), sur papier, avant d'ouvrir les indices, puis compare avec la correction étape par étape.

Repères pour bien réussir ces exercices

Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée $x$ . Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Pour une équation du premier degré, il y a en général une seule solution. Avec le produit nul, il peut y en avoir deux, ou davantage si le produit contient plusieurs facteurs. Dans tous les cas, ton travail se termine par une phrase qui donne l'ensemble des solutions, par exemple $\{-2\;;\;3\}$ .

Les exercices

Exercice 1 Une première équation

★☆☆Environ 4 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x+7=22$ .

Indice 1

Commence par faire passer le $7$ de l'autre côté du signe égal.

Voir la correction pas à pas

On soustrait $7$ aux deux membres : $3x=22-7$ , soit $3x=15$ .
On divise les deux membres par $3$ : $x=\dfrac{15}{3}=5$ .
Vérification : $3\times5+7=15+7=22$ . C'est bien le second membre.

La solution est $x=5$ . L'ensemble des solutions est $\{5\}$ .

Exercice 2 Des $x$ des deux côtés

★☆☆Environ 5 min

Résous l'équation $7x-4=3x+12$ .

Indice 1

Regroupe les termes en $x$ dans le membre de gauche.

Indice 2

Regroupe ensuite les nombres dans le membre de droite.

Voir la correction pas à pas

On retranche $3x$ aux deux membres : $7x-3x-4=12$ , soit $4x-4=12$ .
On ajoute $4$ aux deux membres : $4x=16$ .
On divise par $4$ : $x=4$ .
Vérification : à gauche $7\times4-4=24$ ; à droite $3\times4+12=24$ .

La solution est $x=4$ .

Exercice 3 Une équation avec des fractions

★☆☆Environ 7 min

Résous l'équation $\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{x+4}{2}$ .

Indice 1

Multiplie les deux membres par $6$ , multiple commun de $3$ et $2$ .

Indice 2

Attention aux parenthèses quand tu développes.

Voir la correction pas à pas

On multiplie les deux membres par $6$ : $2(2x-1)=3(x+4)$ .
On développe : $4x-2=3x+12$ .
On retranche $3x$ : $x-2=12$ .
On ajoute $2$ : $x=14$ .
Vérification : à gauche $\dfrac{28-1}{3}=9$ ; à droite $\dfrac{14+4}{2}=9$ .

La solution est $x=14$ .

Exercice 4 Premier produit nul

★★☆Environ 6 min

On considère l'équation $(x-3)(2x+8)=0$ .

Résous-la.
Donne la somme de ses solutions.

Indice 1

Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est.

Voir la correction pas à pas

Le produit est nul si et seulement si $x-3=0$ ou $2x+8=0$ .
Première équation : $x-3=0$ donne $x=3$ .
Seconde équation : $2x+8=0$ donne $2x=-8$ , donc $x=-4$ .
L'ensemble des solutions est $\{-4\;;\;3\}$ .
Somme : $3+(-4)=-1$ .

Les solutions sont $-4$ et $3$ ; leur somme vaut $-1$ .

Exercice 5 Identité remarquable et produit nul

★★☆Environ 8 min

Résous l'équation $4x^2-9=0$ en la factorisant, puis donne le produit de ses solutions.

Indice 1

Reconnais la forme $a^2-b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ .

Indice 2

Rappel : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$ .
L'équation devient $(2x-3)(2x+3)=0$ .
Produit nul : $2x-3=0$ ou $2x+3=0$ .
On obtient $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$ .
Produit des solutions : $\dfrac{3}{2}\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25$ .

Les solutions sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$ ; leur produit vaut $-2{,}25$ .

Exercice 6 Ne pas simplifier par un facteur

★★☆Environ 9 min

Résous l'équation $(x+2)(3x-1)=(x+2)(x+5)$ , puis donne sa plus grande solution.

Indice 1

Ne divise pas par $(x+2)$ .

Indice 2

Passe tout dans le membre de gauche et factorise par $(x+2)$ .

Voir la correction pas à pas

On passe tout à gauche : $(x+2)(3x-1)-(x+2)(x+5)=0$ .
On factorise par $(x+2)$ : $(x+2)\big[(3x-1)-(x+5)\big]=0$ .
On réduit le crochet : $3x-1-x-5=2x-6$ . L'équation s'écrit $(x+2)(2x-6)=0$ .
Produit nul : $x+2=0$ donne $x=-2$ ; $2x-6=0$ donne $x=3$ .
La plus grande des deux solutions est $3$ .

Les solutions sont $-2$ et $3$ . En simplifiant par $(x+2)$ , on aurait perdu $-2$ .

Exercice 7 Différence de deux carrés

★★★Environ 12 min

Résous l'équation $(2x+1)^2-(x-4)^2=0$ et donne la somme de ses solutions.

Indice 1

Pense à $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ avec $A=2x+1$ et $B=x-4$ .

Indice 2

Réduis soigneusement chaque parenthèse : $A-B$ et $A+B$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $A=2x+1$ et $B=x-4$ . Alors $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ .
$A-B=(2x+1)-(x-4)=x+5$ .
$A+B=(2x+1)+(x-4)=3x-3$ .
L'équation s'écrit $(x+5)(3x-3)=0$ .
Produit nul : $x=-5$ ou $3x-3=0$ , c'est-à-dire $x=1$ .
Somme : $-5+1=-4$ .
Contrôle : développée, l'expression vaut $3x^2+12x-15$ ; pour $x=1$ on trouve $3+12-15=0$ .

Les solutions sont $-5$ et $1$ ; leur somme vaut $-4$ .

Exercice 8 Comparer deux tarifs

★★★Environ 8 min

Une salle de sport propose deux formules. La formule A coûte $12$ euros d'inscription plus $3$ euros par séance. La formule B coûte $5$ euros par séance, sans inscription.

On note $x$ le nombre de séances. Pour quelle valeur de $x$ les deux formules coûtent-elles le même prix ?

Indice 1

Exprime le prix de chaque formule en fonction de $x$ .

Indice 2

Écris l'égalité des deux prix.

Voir la correction pas à pas

Prix de la formule A : $12+3x$ (en euros).
Prix de la formule B : $5x$ (en euros).
On cherche $x$ tel que $12+3x=5x$ .
On retranche $3x$ : $12=2x$ , donc $x=6$ .
Vérification : A coûte $12+18=30$ euros, B coûte $30$ euros.

Les deux formules coûtent le même prix pour $6$ séances : $30$ euros. Au-delà, la formule B devient plus chère.

Exercice 9 Trouver l'erreur de raisonnement

★★★Environ 10 min

Camille résout $x^2=3x$ ainsi : « je divise par $x$ , j'obtiens $x=3$ . Donc la seule solution est $3$ . »

Montre que ce raisonnement est faux en donnant un contre-exemple.
Résous correctement l'équation avec le produit nul et donne le nombre de solutions.

Indice 1

Teste la valeur $x=0$ dans l'équation de départ.

Indice 2

Passe $3x$ à gauche et factorise par $x$ .

Voir la correction pas à pas

Contre-exemple : pour $x=0$ , on a $0^2=0$ et $3\times0=0$ . Donc $0$ est solution, ce que Camille a oublié.
Diviser par $x$ n'est permis que si $x\neq0$ ; ici on a supprimé justement une solution possible.
Méthode correcte : $x^2-3x=0$ , donc $x(x-3)=0$ .
Produit nul : $x=0$ ou $x-3=0$ , soit $x=3$ .
L'ensemble des solutions est $\{0\;;\;3\}$ : il y a deux solutions.

L'équation a deux solutions, $0$ et $3$ . Un seul contre-exemple suffit pour réfuter une affirmation générale.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser le produit nul ?

Regarde si l'équation peut s'écrire sous la forme (facteur) × (facteur) = 0. Si tu as $x^2$ dans l'équation, ou un produit de parenthèses contenant $x$ des deux côtés, passe tout à gauche et factorise. Si $x$ n'apparaît qu'à la puissance 1, une résolution classique suffit.

Pourquoi faut-il avoir $0$ à droite pour utiliser le produit nul ?

Parce que la règle ne concerne que le zéro : si $A\times B=6$ , on ne peut rien dire de $A$ ni de $B$ , car beaucoup de couples ont pour produit $6$ . Il faut donc d'abord ramener l'équation à $A\times B=0$ .

Comment vérifier mes solutions rapidement ?

Remplace $x$ par chaque solution dans l'équation de départ, pas dans une ligne intermédiaire où tu aurais pu te tromper. Calcule les deux membres séparément : s'ils sont égaux, la solution est bonne.

Sources

Ressources Éduscol - Calcul littéral et équations, Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Équation, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Exercice 2 Des $x$ des deux côtés

Exercice 3 Une équation avec des fractions

Exercice 4 Premier produit nul

Exercice 5 Identité remarquable et produit nul

Exercice 6 Ne pas simplifier par un facteur

Exercice 7 Différence de deux carrés

Exercice 8 Comparer deux tarifs

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Les questions qu'on se pose

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