Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une inéquation du premier degré se résout en isolant l'inconnue, comme une équation, avec les mêmes opérations sur les deux membres.2
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, ou les multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens de l'inégalité ne change pas.
Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif : on change le sens de l'inégalité (< devient >, ≤ devient ≥).
L'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle ; le crochet est ouvert si l'inégalité est stricte, fermé sinon, et toujours ouvert en ±∞.
Pour un système de deux inéquations, on cherche les réels qui vérifient les deux à la fois : on prend l'intersection des deux intervalles solutions.2
Pourquoi des inéquations ?
Une équation te dit : « trouve les nombres pour lesquels deux expressions sont égales ». Mais dans la vie courante, on cherche très souvent autre chose : combien d'heures puis-je louer un vélo sans dépasser mon budget ? À partir de quelle quantité un tarif devient-il avantageux ? Combien de gâteaux dois-je vendre pour couvrir mes frais ? Ici, on ne cherche pas une égalité exacte, mais une condition : « au plus », « au moins », « moins de », « plus de ».
C'est le rôle des inéquations. Elles sont construites comme les équations que tu connais déjà, mais le signe = est remplacé par un des signes <, >, ≤ ou ≥. Au lieu d'une ou deux valeurs isolées, la réponse est le plus souvent tout un ensemble de nombres, un intervalle.
Les règles qui permettent de transformer une inéquation
Pour résoudre une inéquation du premier degré, on isole l'inconnue dans l'un des deux membres, en appliquant des règles élémentaires.2 Ces règles ressemblent à celles des équations, avec une seule différence importante, que tu vas comprendre grâce à la droite des nombres.
Pourquoi ce renversement ? Regarde un exemple concret. On sait que 2<5. Multiplions par −1 : on obtient −2 et −5. Sur la droite graduée, −5 est situé à gauche de −2, donc −5<−2, c'est-à-dire −2>−5. Multiplier par un nombre négatif retourne la droite des nombres, comme un miroir placé en 0 : ce qui était à gauche passe à droite.
Démonstration · Démonstration de la règle 3
Supposons a<b et c<0. Alors b−a>0 (puisque b est plus grand que a, la différence b−a est positive).
Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif, donc (b−a)×c<0. En développant : bc−ac<0. On ajoute ac aux deux membres (règle 1) : bc<ac, soit ac>bc.
Le sens de l'inégalité s'est bien inversé.
Démonstration · Démonstration de la règle 2
Supposons a<b et c>0. Alors b−a>0. Le produit de deux nombres positifs est positif, donc (b−a)×c>0, soit bc−ac>0. En ajoutant ac aux deux membres : bc>ac, c'est-à-dire ac<bc. Le sens est conservé.
Opérations autorisées sur une inégalité
Opération sur les deux membres
Sens de l'inégalité
Ajouter ou soustraire un même nombre
Conservé
Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif
Conservé
Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif
Inversé
Opérations autorisées sur une inégalité · Seul le facteur négatif retourne le signe.
La méthode de résolution pas à pas
La stratégie est celle des équations : on veut obtenir « x [signe] un nombre ». Une inéquation du premier degré se ramène toujours à l'un des cas ax+b<0, ax+b≤0, ax+b>0 ou ax+b≥0, avec a non nul, ou bien à une condition qui ne dépend plus de x.2
DévelopperSupprimer parenthèses et fractions, réduire.
RegrouperLes x d'un côté, les nombres de l'autre.
Isoler xDiviser ; si négatif, changer le sens.
ÉcrireDonner les solutions en intervalle.
VérifierTester une valeur dedans et une dehors.
Les étapes de résolution · Cinq gestes dans cet ordre.
Écrire les solutions : intervalles et droite graduée
Une fois l'inéquation résolue, il faut présenter la réponse proprement. En Seconde, on utilise les intervalles de R (l'ensemble des nombres réels) et, pour s'aider, une représentation sur la droite graduée.
Inégalités et intervalles
Inégalité
Intervalle
Valeur frontière
x < a
]-∞ ; a[
Exclue
x ≤ a
]-∞ ; a]
Incluse
x > a
]a ; +∞[
Exclue
x ≥ a
[a ; +∞[
Incluse
Inégalités et intervalles · Le crochet en l'infini est toujours ouvert.
Des inéquations plus variées
Dans les exemples précédents, x n'apparaissait qu'une fois. En pratique, tu rencontreras des inéquations avec des termes en x des deux côtés, des parenthèses ou des fractions. La méthode reste la même : le but de la première étape est de se débarrasser de ces complications.
Il arrive aussi que l'inconnue disparaisse. Prenons 2(x+1)>2x+5. En développant : 2x+2>2x+5. En retranchant 2x : 2>5. Cette affirmation est fausse quel que soitx : l'inéquation n'a aucune solution, l'ensemble des solutions est vide, noté ∅. Si l'on avait obtenu une affirmation toujours vraie (par exemple 2<5), tous les réels seraient solutions : R.
Systèmes de deux inéquations
On rencontre parfois deux conditions à respecter en même temps : « le nombre doit être plus grand que 2 et plus petit que 4 ». On parle alors d'un système de deux inéquations du premier degré.2
Traduire un problème par une inéquation
Les inéquations servent surtout à répondre à des questions de la vie réelle. La difficulté est dans la traduction. Voici un tableau de correspondance entre les mots du texte et les signes mathématiques.
Des mots aux signes
Dans le texte
Signe
Moins de, strictement inférieur à
<
Au plus, au maximum, ne dépasse pas
≤
Plus de, strictement supérieur à
>
Au moins, au minimum, ne descend pas sous
≥
Des mots aux signes · Repère les mots « au plus » et « au moins » : ils donnent des signes larges.
Les erreurs à éviter et comment se vérifier
Exercices corrigés
Exercice 1 Résoudre une inéquation simple
★☆☆Environ 5 min
Résous l'inéquation 3x−7≤11 et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. Donne la valeur de la borne de l'intervalle.
Indice 1
Commence par ajouter 7 aux deux membres.
Indice 2
Tu divises ensuite par 3, qui est positif.
Voir la correction pas à pas
On ajoute 7 aux deux membres : 3x≤18.
On divise par 3, nombre strictement positif, donc le sens ne change pas : x≤6.
L'inégalité est large, donc le crochet en 6 est fermé : S=]−∞;6].
Vérification : pour x=6, 3×6−7=11≤11 : vrai. Pour x=7, 3×7−7=14≤11 : faux.
L'ensemble des solutions est ]−∞;6] et la borne vaut 6.
Exercice 2 Un coefficient négatif
★★☆Environ 6 min
Résous −2x+5>11. Donne la valeur de la borne de l'intervalle des solutions.
Indice 1
Retranche d'abord 5 aux deux membres.
Indice 2
Attention au sens quand tu divises par −2.
Voir la correction pas à pas
On retranche 5 aux deux membres : −2x>6.
On divise par −2, nombre strictement négatif : le sens est inversé, donc x<−3.
L'inégalité est stricte : S=]−∞;−3[.
Vérification : pour x=−4, −2×(−4)+5=13>11 : vrai. Pour x=−3, 6+5=11>11 : faux, donc −3 est bien exclu.
L'ensemble des solutions est ]−∞;−3[ et la borne vaut −3.
Exercice 3 Budget de location
★★☆Environ 8 min
Une boutique loue des vélos : 5 € de frais de dossier, plus 3 € par heure de location. Léa dispose de 20 € au maximum. Quel est le nombre maximal d'heures de location qu'elle peut payer ?
Indice 1
Appelle h le nombre d'heures et écris le coût total en fonction de h.
Indice 2
Le coût doit rester inférieur ou égal à 20.
Voir la correction pas à pas
Soit h le nombre d'heures de location. Le coût total, en euros, est 5+3h.
Le budget impose 5+3h≤20.
On retranche 5 : 3h≤15.
On divise par 3, positif : h≤5.
Vérification : pour h=5, 5+3×5=20 €, ce qui respecte exactement le budget.
Léa peut louer un vélo au maximum 5 heures.
Exercice 4 Un système et ses solutions entières
★★★Environ 12 min
Résous le système suivant : 3x−1>2x+4 et 2(x+1)≤20. Combien d'entiers vérifient les deux inéquations à la fois ?
Indice 1
Résous chaque inéquation séparément, puis cherche la partie commune.
Indice 2
Fais attention aux crochets avant de compter les entiers.
Voir la correction pas à pas
Première inéquation : 3x−2x>4+1, soit x>5. Solutions : ]5;+∞[.
Seconde inéquation : 2x+2≤20, donc 2x≤18, donc x≤9. Solutions : ]−∞;9].
La partie commune est ]5;9].
Les entiers de cet intervalle sont 6, 7, 8 et 9 (5 est exclu, 9 est inclus).
Leur nombre est 9−5=4.
L'ensemble des solutions est ]5;9] et il contient 4 entiers.
Quiz
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On retranche 3 : 2x<8, puis on divise par 2 (positif) : x<4. Le signe est strict, donc le crochet en 4 est ouvert. Le crochet fermé du deuxième choix correspondrait à ≤. Le choix ]4;+∞[ viendrait d'un sens inversé à tort. Le choix ]−∞;7[ ne correspond à aucun calcul correct : on peut le vérifier avec x=5, car 2×5+3=13 et 13<11 est faux.
On divise par −3, qui est négatif : le sens s'inverse, donc x≥−4, soit [−4;+∞[. Le premier choix oublie d'inverser le sens. Les deux derniers se trompent sur le signe de 12÷(−3) : ce quotient vaut −4 et non 4.
C'est faux : le sens est inversé. Par exemple 2<5 mais −2>−5 après multiplication par −1. Le sens ne reste le même que pour une multiplication par un nombre strictement positif.
On ajoute 2 : 5x>20, puis on divise par 5 : x>4. La borne est 4 ; elle est exclue puisque l'inégalité est stricte. Une erreur courante est de diviser 18 par 5 avant d'avoir ajouté 2.
On ajoute 1 : 3x≥12, puis on divise par 3 : x≥4. L'inégalité est large, donc 4 est solution (crochet fermé) : [4;+∞[. Le premier choix ouvre le crochet à tort. Le troisième vient d'un calcul 11−1=10 suivi d'une division de 10 au lieu de 12 : en fait 11+1=12. Le dernier inverse le sens sans raison.
On cherche les réels qui vérifient les deux conditions à la fois : strictement plus grands que 1 et inférieurs ou égaux à 5, soit ]1;5]. Le deuxième choix échange les crochets. Le troisième décrit les nombres qui ne vérifient aucune des conditions. Le dernier correspondrait à une absence totale de contrainte.
En divisant par 2, on obtient x<3. En multipliant par 2, on obtient 4x<12. En multipliant par −21, négatif, on inverse le sens et on obtient −x>−3. Le choix x>3 est faux : il correspond à un sens inversé sans raison, et x=4 ne vérifie pas 2x<6.
On retranche 7 : −x<−5. On multiplie par −1 en inversant le sens : x>5. Vérification : pour x=6, 7−6=1<2 est vrai. Le premier choix oublie l'inversion ; les deux derniers se trompent sur le signe de la borne.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?
Parce que multiplier par un nombre négatif retourne l'ordre des nombres sur la droite graduée. On a 2<5, mais −2>−5 : le plus petit des deux devient le plus grand. La démonstration de la règle 3 le prouve avec le signe de b−a. Pour ne pas l'oublier, repère le coefficient de x au moment d'isoler l'inconnue : s'il est négatif, le signe se retourne.
Comment savoir s'il faut un crochet ouvert ou fermé ?
Regarde le signe de l'inéquation d'arrivée. Avec < ou >, la valeur frontière n'est pas solution : crochet ouvert. Avec ≤ ou ≥, elle est solution : crochet fermé. Devant −∞ ou +∞, le crochet est toujours ouvert. Pour être sûr, remplace x par la valeur frontière dans l'inéquation de départ.
Une inéquation peut-elle avoir une seule solution, ou aucune ?
Une inéquation du premier degré en x a soit une infinité de solutions (un intervalle), soit aucune (quand l'inconnue disparaît et qu'on aboutit à une affirmation fausse comme 2>5), soit tous les réels (affirmation toujours vraie comme 2<5). Elle n'a jamais une seule solution isolée tant que le coefficient de x est non nul. Seule l'équation peut avoir une solution unique.
Quelle différence y a-t-il entre résoudre une équation et une inéquation ?
La démarche est la même : on isole x en effectuant les mêmes opérations sur les deux membres.2 Les différences sont au nombre de deux. D'une part, il faut inverser le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. D'autre part, la réponse est un intervalle, et non une valeur isolée.
Comment résoudre un système de deux inéquations ?
On résout chaque inéquation séparément, puis on garde les réels qui conviennent aux deux, c'est-à-dire la partie commune des deux intervalles.2 Un schéma sur une même droite graduée aide beaucoup. Si les deux intervalles n'ont aucun point commun, le système n'a pas de solution.