Inéquations du premier degré : exercices corrigés de Seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une inéquation du premier degré se résout en isolant l'inconnue, comme une équation, avec des opérations qui conservent l'équivalence.²
Quand tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.
La réponse s'écrit sous forme d'inégalité puis d'intervalle : crochet ouvert pour une inégalité stricte, fermé pour une inégalité large.
Pour un système de deux inéquations, on cherche les réels qui vérifient les deux à la fois : on intersecte les deux ensembles de solutions.²
Il arrive qu'il n'y ait aucune solution, ou que tous les réels conviennent : le calcul le révèle.

Comment utiliser ces exercices

Les exercices de cette page progressent du plus simple au plus délicat. Pour chaque énoncé, commence par chercher seul(e) sur une feuille, sans rien ouvrir. Si tu bloques, lis seulement l'indice, puis retourne à ta feuille. La correction vient en dernier : compare ta démarche avec la sienne, pas uniquement ta réponse finale. Une bonne méthode vaut plus qu'un résultat trouvé par chance.

Petit rappel avant de commencer. Dans une inéquation du premier degré, l'inconnue $x$ n'apparaît qu'avec la puissance 1, ou bien elle disparaît (puissance 0).² Pour trouver les solutions, on cherche à placer $x$ seul d'un côté du symbole d'inégalité, en appliquant des transformations simples qui ne changent pas l'ensemble des solutions.²

À la fin de chaque exercice, prends l'habitude de tester une valeur : remplace $x$ par un nombre de ton ensemble de solutions, puis par un nombre qui n'en fait pas partie. Les deux résultats doivent se comporter de façon opposée. Ce réflexe te permet de repérer toi-même une erreur de signe avant de rendre ta copie.

Les exercices

Exercice 1 Une première inéquation

★☆☆Environ 5 min

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $3x+5<20$ , puis donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Indice 1

Retranche d'abord 5 aux deux membres.

Indice 2

Divise ensuite par 3, qui est positif : le sens ne change pas.

Voir la correction pas à pas

On retranche 5 aux deux membres : $3x < 15$ .
On divise les deux membres par 3 (nombre positif, donc le sens reste le même) : $x < 5$ .
On conclut : les solutions sont tous les réels strictement inférieurs à 5, soit $S=]-\infty\,;\,5[$ .

Ici, la borne 5 est exclue car l'inégalité de départ est stricte. Vérification : pour $x=0$ , $3\times0+5=5<20$ , c'est vrai ; pour $x=5$ , $20<20$ est faux.

Exercice 2 Des x des deux côtés

★☆☆Environ 6 min

Résous $5x-4 \leq 2x+11$ et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Indice 1

Regroupe les termes en $x$ à gauche en retranchant $2x$ .

Indice 2

Ajoute 4 aux deux membres, puis divise par 3.

Voir la correction pas à pas

On retranche $2x$ aux deux membres : $3x-4 \leq 11$ .
On ajoute 4 aux deux membres : $3x \leq 15$ .
On divise par 3 (positif) : $x \leq 5$ .
On conclut : $S=]-\infty\,;\,5]$ , car la borne 5 est incluse.

Une inégalité large donne un crochet fermé. Test : pour $x=5$ , $5\times5-4=21$ et $2\times5+11=21$ , l'égalité est bien vérifiée.

Exercice 3 Un coefficient négatif

★★☆Environ 7 min

Résous $-4x+6>18$ .

Indice 1

Isole d'abord le terme $-4x$ .

Indice 2

Quand tu divises par $-4$ , le symbole $>$ devient $<$ .

Voir la correction pas à pas

On retranche 6 aux deux membres : $-4x > 12$ .
On divise les deux membres par $-4$ , nombre négatif : le sens s'inverse, donc $x < -3$ .
On conclut : $S=]-\infty\,;\,-3[$ .

Vérification : pour $x=-4$ , on obtient $-4\times(-4)+6=22>18$ , vrai. Pour $x=0$ on obtient $6>18$ , faux, et 0 n'est pas dans l'intervalle. Si tu avais gardé le symbole $>$ , tu aurais trouvé $x>-3$ , ce que ce test contredit.

Exercice 4 Inconnue de chaque côté, avec signe négatif

★★☆Environ 8 min

Résous $2x-7 \geq 3x+1$ et donne l'ensemble des solutions.

Indice 1

Retranche $3x$ aux deux membres : le coefficient de $x$ devient négatif.

Indice 2

Pense à inverser le sens de l'inégalité quand tu multiplies les deux membres par $-1$ .

Voir la correction pas à pas

On retranche $3x$ aux deux membres : $-x-7 \geq 1$ .
On ajoute 7 aux deux membres : $-x \geq 8$ .
On multiplie par $-1$ : le sens s'inverse, donc $x \leq -8$ .
On conclut : $S=]-\infty\,;\,-8]$ .

Astuce : on peut éviter le retournement en regroupant les $x$ à droite. Ici, en retranchant $2x$ au lieu de $3x$ , on obtient $-7 \geq x+1$ , soit $-8 \geq x$ , ce qui donne le même résultat.

Exercice 5 Avec des fractions

★★☆Environ 10 min

Résous $\dfrac{x+1}{2} \leq \dfrac{2x-3}{3}$ .

Indice 1

Multiplie les deux membres par 6, qui est un multiple commun des dénominateurs.

Indice 2

Attention : 6 est positif, le sens ne change pas à cette étape.

Voir la correction pas à pas

On multiplie les deux membres par 6 (positif) : $3(x+1) \leq 2(2x-3)$ .
On développe : $3x+3 \leq 4x-6$ .
On retranche $4x$ aux deux membres : $-x+3 \leq -6$ .
On retranche 3 : $-x \leq -9$ .
On multiplie par $-1$ en inversant le sens : $x \geq 9$ .
On conclut : $S=[9\,;\,+\infty[$ .

Test : pour $x=9$ , le membre de gauche vaut $5$ et celui de droite $\frac{15}{3}=5$ , on a bien l'égalité. Pour $x=0$ , $\frac12\leq -1$ est faux, ce qui correspond à $0\notin[9\,;+\infty[$ .

Exercice 6 Un système de deux inéquations

★★☆Environ 10 min

Trouve les réels $x$ qui vérifient à la fois $2x-1>3$ et $5-x\geq 1$ .

Indice 1

Résous chaque inéquation séparément.

Indice 2

Les solutions du système sont communes aux deux : cherche l'intersection des deux intervalles.

Voir la correction pas à pas

Première inéquation : $2x-1>3$ donne $2x>4$ , donc $x>2$ , soit $]2\,;\,+\infty[$ .
Seconde inéquation : $5-x\geq 1$ donne $-x\geq -4$ , donc $x\leq 4$ (le sens s'inverse), soit $]-\infty\,;\,4]$ .
Un système demande de trouver les réels qui vérifient les deux inéquations en même temps.² On retient donc les réels à la fois supérieurs strictement à 2 et inférieurs ou égaux à 4.
On conclut : $S=]2\,;\,4]$ , ce qui s'écrit aussi $2<x\leq 4$ .

Le 2 est exclu (inégalité stricte) et le 4 est inclus (inégalité large). Test avec $x=3$ : $2\times3-1=5>3$ et $5-3=2\geq1$ , tout va bien. Avec $x=5$ : la seconde donne $0\geq 1$ , faux.

Exercice 7 Quand tout le monde est solution

★★★Environ 8 min

Résous $3(x-2)-(x+4)\leq 2x+5$ .

Indice 1

Développe soigneusement, y compris le signe moins devant la parenthèse.

Indice 2

Regarde ce qu'il advient des termes en $x$ quand tu les regroupes.

Voir la correction pas à pas

On développe le membre de gauche : $3x-6-x-4 = 2x-10$ .
L'inéquation devient $2x-10 \leq 2x+5$ .
On retranche $2x$ aux deux membres : $-10 \leq 5$ .
Cette inégalité est vraie quel que soit $x$ : tous les réels conviennent.
On conclut : $S=\mathbb{R}=]-\infty\,;\,+\infty[$ .

Les $x$ ont disparu et il reste une inégalité entre deux nombres, ici vraie. Quand elle est vraie, tous les réels sont solutions ; quand elle est fausse (exercice suivant), il n'y a aucune solution.

Exercice 8 Quand personne n'est solution

★★★Environ 8 min

Résous $2(x-1)+3>2x+4$ .

Indice 1

Développe et réduis le membre de gauche.

Indice 2

Après regroupement, compare les nombres restants.

Voir la correction pas à pas

On développe : $2x-2+3 = 2x+1$ .
L'inéquation devient $2x+1>2x+4$ .
On retranche $2x$ aux deux membres : $1>4$ .
Cette inégalité est fausse, quel que soit $x$ .
On conclut : il n'existe aucune solution, $S=\varnothing$ .

Comme précédemment, la disparition des $x$ n'est pas une erreur : elle fait basculer la conclusion selon que l'inégalité finale est vraie ou fausse.

Exercice 9 Choisir le bon abonnement

★★★Environ 12 min

Une salle de sport propose deux formules. Formule A : 12 € d'inscription, puis 2 € par séance. Formule B : 4 € par séance, sans inscription. On note $n$ le nombre de séances. À partir de combien de séances la formule A est-elle strictement moins chère que la formule B ?

Indice 1

Écris le prix de chaque formule en fonction de $n$ .

Indice 2

Traduis « A moins chère que B » par une inéquation, puis résous-la. Le nombre $n$ est un entier.

Voir la correction pas à pas

Prix de la formule A : $12+2n$ euros. Prix de la formule B : $4n$ euros.
On veut $12+2n<4n$ .
On retranche $2n$ aux deux membres : $12<2n$ .
On divise par 2 (positif) : $6<n$ , soit $n>6$ .
Comme $n$ est un nombre entier de séances, le plus petit entier strictement supérieur à 6 est 7.
On conclut : la formule A devient moins chère dès 7 séances.

Vérification : pour 6 séances, A coûte $12+12=24$ € et B coûte $24$ € (égalité, donc A n'est pas strictement moins chère). Pour 7 séances, A coûte 26 € et B coûte 28 €.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand on divise par un nombre négatif ?

Multiplier par un nombre négatif retourne l'ordre des nombres sur la droite graduée. Par exemple $2<5$ , mais $2\times(-1)=-2$ est supérieur à $5\times(-1)=-5$ . Pour que l'inégalité reste vraie, il faut donc changer le symbole. Diviser par un négatif revient à multiplier par son inverse, qui est aussi négatif : même effet.

Comment savoir si je dois écrire un crochet ouvert ou fermé ?

Regarde le symbole de l'inégalité finale. Avec $<$ ou $>$ (inégalité stricte), la borne est exclue : crochet ouvert. Avec $\leq$ ou $\geq$ , la borne est incluse : crochet fermé. Pour $\infty$ , le crochet est toujours ouvert. Pour vérifier, teste la borne dans l'inéquation de départ.

Que faire si les x disparaissent en cours de calcul ?

Ce n'est pas une erreur. Regarde l'inégalité entre nombres qui reste. Si elle est vraie (par exemple $-10\leq5$ ), tous les réels sont solutions. Si elle est fausse (par exemple $1>4$ ), aucun réel ne convient.

Sources

Documents sur les inéquations - MathADoc, Sesamath. Consulté le 9 novembre 2026.
Inéquation du premier degré, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Premier degré, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Une première inéquation

Exercice 2 Des x des deux côtés

Exercice 3 Un coefficient négatif

Exercice 4 Inconnue de chaque côté, avec signe négatif

Exercice 5 Avec des fractions

Exercice 6 Un système de deux inéquations

Exercice 7 Quand tout le monde est solution

Exercice 8 Quand personne n'est solution

Exercice 9 Choisir le bon abonnement

Les questions qu'on se pose

Sources

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