Configurations géométriques et projeté orthogonal : cours de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le programme demande de maîtriser les configurations clés (triangles, quadrilatères, cercles) et leurs outils : Pythagore, Thalès, trigonométrie ¹.
Le projeté orthogonal de $A$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(AH)$ soit perpendiculaire à $d$ ; si $A$ est sur $d$ , alors $H = A$ .
Sur un axe d'un repère orthonormé, on projette en gardant une coordonnée et en mettant l'autre à $0$ : le projeté de $A(x ; y)$ sur $(Ox)$ est $(x ; 0)$ .
Sur une droite quelconque : équation de $d$ , perpendiculaire passant par $A$ , intersection des deux droites, puis vérification avec Pythagore.
La distance de $A$ à la droite $d$ est la longueur $AH$ : c'est la plus courte distance entre $A$ et un point de $d$ .

Pourquoi associer configurations et projeté orthogonal ?

Quand tu résous un problème de géométrie, tu repères presque toujours une figure familière : un triangle rectangle, un parallélogramme, un cercle avec une corde. Cette reconnaissance te donne le droit d'utiliser des outils précis. Le programme du lycée insiste d'ailleurs sur les configurations clés (triangles, quadrilatères, cercles) et sur leurs propriétés, avec les théorèmes de Pythagore et de Thalès et la trigonométrie comme outils de calcul ¹.

Le projeté orthogonal s'inscrit exactement dans cette logique. Quand tu projettes un point sur une droite, tu fabriques un angle droit, donc un triangle rectangle : tout l'arsenal de la configuration « triangle rectangle » devient disponible. C'est pour cela qu'après une projection tu peux souvent réutiliser la trigonométrie du triangle rectangle, vue au collège.

Dans ce cours, tu vas :

te rappeler comment reconnaître et vérifier une configuration par le calcul, dans un repère orthonormé ;
retrouver la formule de distance à partir de Pythagore et des projections sur les axes ;
définir le projeté orthogonal d'un point sur une droite et savoir le construire ;
calculer ses coordonnées, sur un axe puis sur une droite quelconque ;
en déduire la distance d'un point à une droite ;
entrevoir comment cette idée se prolonge aux vecteurs en classe de Première ².

Tout au long du chapitre, le repère est orthonormé : les axes sont perpendiculaires et la même unité sert sur les deux axes. Sans cela, les angles droits ne se lisent plus sur les coordonnées.

Les configurations clés et leurs outils

Une configuration est une figure type, que l'on reconnaît à quelques propriétés et qui entraîne ensuite d'autres propriétés. Les programmes citent trois grandes familles : les triangles, les quadrilatères et les cercles ¹. Pour chacune, le travail consiste à savoir passer des hypothèses (ce que dit l'énoncé) aux conclusions (ce que tu peux affirmer).

Il y a deux directions possibles, et il faut toujours savoir dans laquelle tu es :

utiliser une configuration : tu sais que le triangle est rectangle, donc tu peux écrire une égalité de Pythagore ;
démontrer une configuration : tu veux prouver que le triangle est rectangle, donc tu calcules des longueurs pour tester l'égalité de Pythagore dans l'autre sens.

Quel outil pour quelle situation ?
Situation	Outil à utiliser
Triangle avec un angle droit, longueur à trouver	Théorème de Pythagore
Triangle dont on teste le caractère rectangle	Réciproque de Pythagore
Deux droites parallèles coupant deux sécantes	Théorème de Thalès
Angle ou côté d'un triangle rectangle	Trigonométrie
Plus courte distance d'un point à une droite	Projeté orthogonal

Quel outil pour quelle situation ? · Choisir l'outil selon ce que l'on connaît de la figure.

ExempleUn triangle est-il rectangle ?

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 1)$ , $B(5 ; 1)$ et $C(1 ; 4)$ .

Les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée, donc $AB = 5 - 1 = 4$ . Les points $A$ et $C$ ont la même abscisse, donc $AC = 4 - 1 = 3$ . Pour $BC$ , on passe par Pythagore dans le triangle dont les côtés sont parallèles aux axes : $BC^2 = (5-1)^2 + (4-1)^2 = 16 + 9 = 25$ , donc $BC = 5$ .

Le plus grand côté est $[BC]$ . On compare : $AB^2 + AC^2 = 16 + 9 = 25 = BC^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On pouvait d'ailleurs le deviner : $(AB)$ est horizontale et $(AC)$ verticale.

Repère orthonormé et distances : le rôle des projections

Avant de définir le projeté orthogonal d'un point sur une droite quelconque, regardons ce qui se passe sur les axes. C'est là que le projeté orthogonal apparaît de façon très concrète, sans que l'on s'en rende compte.

Prends deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ . Projette-les sur l'axe des abscisses : tu obtiens $A'(x_A ; 0)$ et $B'(x_B ; 0)$ . La distance $A'B'$ vaut $|x_B - x_A|$ . De même, sur l'axe des ordonnées, la distance entre les projetés vaut $|y_B - y_A|$ .

Démonstration · Pourquoi cette formule ?

Place le point $C(x_B ; y_A)$ . Il a la même ordonnée que $A$ , donc $(AC)$ est parallèle à l'axe des abscisses ; il a la même abscisse que $B$ , donc $(CB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées. Comme le repère est orthonormé, ces deux axes sont perpendiculaires : le triangle $ACB$ est rectangle en $C$ (si $A$ et $B$ n'ont ni la même abscisse ni la même ordonnée ; sinon la formule se vérifie directement).

On a $AC = |x_B - x_A|$ et $CB = |y_B - y_A|$ . Le théorème de Pythagore donne

$AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2.$

Un carré étant positif, la valeur absolue disparaît. En prenant la racine carrée, on obtient la formule. Le point $C$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite horizontale passant par $A$ : la formule de distance est déjà une histoire de projection.

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Deux idées dans cette définition. D'abord, $H$ doit être sur la droite $d$ : on ne projette pas « n'importe où ». Ensuite, la droite $(AH)$ doit couper $d$ à angle droit. Un seul point remplit les deux conditions : on peut donc parler du projeté orthogonal, pas d'un projeté.

On dit aussi que $H$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ issue de $A$ . Quand $A$ n'est pas sur $d$ , la droite $(AH)$ est la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ , et $H$ est son point d'intersection avec $d$ .

Un point, son projeté et un autre point de la droite · H est le projeté de A sur (MH) ; M est un autre point de la droite.

Projeter sur un axe du repère

Les axes sont les droites les plus simples sur lesquelles projeter, car leurs perpendiculaires sont les droites verticales et horizontales. Pas besoin d'équation : il suffit de lire les coordonnées.

Démonstration · Justification

Le point $H(x ; 0)$ est sur l'axe $(Ox)$ puisque son ordonnée est nulle. La droite $(AH)$ a tous ses points d'abscisse $x$ : elle est verticale, donc parallèle à $(Oy)$ . Comme $(Oy)$ est perpendiculaire à $(Ox)$ dans un repère orthonormé, $(AH)$ est perpendiculaire à $(Ox)$ . Les deux conditions de la définition sont remplies. Enfin $AH = \sqrt{(x-x)^2 + (y-0)^2} = |y|$ .

Cette remarque s'étend aux droites horizontales et verticales. Le projeté de $A(x ; y)$ sur la droite horizontale d'équation $y = k$ est $(x ; k)$ ; sur la droite verticale d'équation $x = k$ , c'est $(k ; y)$ . Dans les deux cas, le segment qui joint $A$ à son projeté est parallèle à l'autre axe.

Projeter sur une droite quelconque

Quand la droite $d$ est penchée, la perpendiculaire à $d$ n'est plus parallèle aux axes. Il faut calculer. L'idée est simple : le projeté $H$ est à la fois sur $d$ et sur la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ . C'est donc le point d'intersection de ces deux droites, ce qui se ramène à un système de deux équations.

Démonstration · Pourquoi $-1/m$ ?

Prenons la droite $d$ d'équation $y = mx$ qui passe par $O$ et le point $U(1 ; m)$ . Considère $V(-m ; 1)$ . On calcule :

$OU^2 = 1 + m^2,\qquad OV^2 = m^2 + 1,\qquad UV^2 = (1+m)^2 + (m-1)^2 = 2m^2 + 2.$

On a donc $OU^2 + OV^2 = 2m^2 + 2 = UV^2$ . Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OUV$ est rectangle en $O$ : $(OV)$ est perpendiculaire à $d$ . Son coefficient directeur est $\dfrac{1}{-m} = -\dfrac{1}{m}$ . Pour une droite $y = mx + p$ qui ne passe pas par $O$ , on translate : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, le raisonnement reste valable.

Équation de dÉcrire y = mx + p et lire m.
PerpendiculairePente -1/m, passant par A.
IntersectionRésoudre le système : on obtient H.
VérificationH est sur d et Pythagore est vérifié.

Calculer le projeté sur une droite penchée · La méthode en quatre étapes.

ExempleUn projeté complet

La droite $d$ a pour équation $y = 3x - 2$ et $A$ a pour coordonnées $(6 ; 4)$ .

Étape 1. Le coefficient directeur de $d$ est $3$ .

Étape 2. La perpendiculaire $\Delta$ à $d$ passant par $A$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{3}$ : $y = -\dfrac{1}{3}x + b$ . Comme $A$ est sur $\Delta$ , $4 = -2 + b$ , donc $b = 6$ et $\Delta : y = -\dfrac{1}{3}x + 6$ .

Étape 3. On résout $3x - 2 = -\dfrac{1}{3}x + 6$ . On multiplie par 3 : $9x - 6 = -x + 18$ , donc $10x = 24$ et $x = 2{,}4$ . Alors $y = 3 \times 2{,}4 - 2 = 5{,}2$ . Ainsi $H(2{,}4 ; 5{,}2)$ .

Étape 4. Vérification : $5{,}2 = 3 \times 2{,}4 - 2$ , donc $H \in d$ . Le point $B(0 ; -2)$ est sur $d$ . On a $AH^2 = 3{,}6^2 + 1{,}2^2 = 14{,}4$ , $HB^2 = 2{,}4^2 + 7{,}2^2 = 57{,}6$ et $AB^2 = 36 + 36 = 72$ . Comme $14{,}4 + 57{,}6 = 72$ , le triangle $AHB$ est rectangle en $H$ .

Distance d'un point à une droite

Démonstration · Démonstration avec Pythagore

Si $M = H$ , il n'y a rien à montrer. Sinon, $M$ et $H$ sont deux points distincts de $d$ , donc $(HM)$ est la droite $d$ et $(AH)$ lui est perpendiculaire : le triangle $AHM$ est rectangle en $H$ . Le théorème de Pythagore donne

$AM^2 = AH^2 + HM^2.$

Comme $HM^2 > 0$ , on a $AM^2 > AH^2$ , donc $AM > AH$ puisque les longueurs sont positives.

ExempleDistance d'un sommet à son côté opposé

Dans un repère orthonormé en centimètres, soit $A(0 ; 0)$ , $B(8 ; 0)$ et $C(0 ; 6)$ . On cherche la distance de $A$ à la droite $(BC)$ .

Le coefficient directeur de $(BC)$ est $\dfrac{6 - 0}{0 - 8} = -\dfrac{3}{4}$ et son ordonnée à l'origine est $6$ : $y = -\dfrac{3}{4}x + 6$ . La perpendiculaire passant par $A$ a pour pente $\dfrac{4}{3}$ et passe par l'origine : $y = \dfrac{4}{3}x$ . On résout $\dfrac{4}{3}x = -\dfrac{3}{4}x + 6$ ; en multipliant par 12, $16x = -9x + 72$ , donc $x = \dfrac{72}{25} = 2{,}88$ puis $y = 3{,}84$ .

La distance est $AH = \sqrt{2{,}88^2 + 3{,}84^2} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ cm. Le projeté $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ .

Prolongement : projeter des vecteurs, et bilan

En classe de Première, l'idée de projection orthogonale est reprise pour les vecteurs : on définit le projeté orthogonal d'un vecteur sur la direction d'un autre vecteur, et le produit scalaire est construit à partir de cette projection ². Tu n'as pas à connaître cela en Seconde, mais le réflexe est le même que celui de ce cours : on « laisse tomber » une perpendiculaire.

Tu peux déjà observer un cas simple. Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ , le vecteur $\vec{u}(3 ; 2)$ a pour projeté orthogonal sur l'axe $(O ; \vec{i})$ le vecteur $3\vec{i}$ , de coordonnées $(3 ; 0)$ : comme pour les points, on met à zéro la coordonnée qui ne correspond pas à l'axe.

Exercices corrigés

Exercice 1 Projeter sur les axes et mesurer

★☆☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, on donne $A(-4 ; 7)$ et $B(5 ; -2)$ .

Donne les coordonnées des projetés orthogonaux $A'$ et $B'$ de $A$ et $B$ sur l'axe des abscisses.
Calcule la distance $A'B'$ .
Quelle est la distance du point $A$ à l'axe des ordonnées ?

Indice 1

Sur l'axe des abscisses, on garde l'abscisse et l'ordonnée devient 0.

Indice 2

Les points $A'$ et $B'$ ont la même ordonnée : leur distance est l'écart entre les abscisses, en valeur absolue.

Voir la correction pas à pas

Projeté de $A(-4 ; 7)$ sur $(Ox)$ : on garde $-4$ et on met l'ordonnée à $0$ , donc $A'(-4 ; 0)$ .
Projeté de $B(5 ; -2)$ sur $(Ox)$ : $B'(5 ; 0)$ .
$A'$ et $B'$ sont sur l'axe horizontal : $A'B' = |5 - (-4)| = 9$ cm.
La distance de $A$ à l'axe $(Oy)$ est la valeur absolue de son abscisse : $|-4| = 4$ cm.

Les projetés sont $A'(-4 ; 0)$ et $B'(5 ; 0)$ , avec $A'B' = 9$ cm. Le point $A$ est à $4$ cm de l'axe des ordonnées.

Exercice 2 Projeté sur une droite penchée

★★☆Environ 15 min

Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, la droite $d$ a pour équation $y = 2x$ et le point $A$ a pour coordonnées $(1 ; 7)$ .

Le point $A$ appartient-il à $d$ ?
Détermine l'équation de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ .
Calcule les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $d$ .
Calcule la distance de $A$ à $d$ , arrondie au centième.

Indice 1

Le coefficient directeur d'une perpendiculaire est l'opposé de l'inverse de celui de $d$ .

Indice 2

Pour trouver $H$ , résous l'équation obtenue en égalant les deux expressions de $y$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $x = 1$ , la droite $d$ donne $y = 2$ et non $7$ : $A \notin d$ .
Le coefficient directeur de $d$ est $2$ , celui de la perpendiculaire est $-\dfrac{1}{2}$ : $y = -\dfrac{1}{2}x + b$ . Avec $A$ : $7 = -\dfrac{1}{2} + b$ , donc $b = \dfrac{15}{2}$ .
On résout $2x = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{15}{2}$ , soit $\dfrac{5}{2}x = \dfrac{15}{2}$ , donc $x = 3$ . Puis $y = 2 \times 3 = 6$ : $H(3 ; 6)$ .
Distance : $AH = \sqrt{(1-3)^2 + (7-6)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ cm.
Vérification : $OH^2 = 9 + 36 = 45$ , $AH^2 = 5$ et $OA^2 = 1 + 49 = 50$ . Comme $45 + 5 = 50$ , le triangle $OHA$ est rectangle en $H$ , ce qui confirme que $(AH)$ est perpendiculaire à $d$ .

Le projeté est $H(3 ; 6)$ et la distance de $A$ à $d$ vaut $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ cm.

Exercice 3 La hauteur d'un triangle rectangle

★★★Environ 20 min

Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère $A(0 ; 0)$ , $B(8 ; 0)$ et $C(0 ; 6)$ . Le point $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ .

Calcule $BC$ et montre que le triangle $ABC$ est rectangle.
Détermine l'équation de $(BC)$ .
Détermine les coordonnées de $H$ .
Calcule la distance $AH$ .

Indice 1

Pour $BC$ , utilise la formule de distance ; pour l'angle droit, repère les côtés qui suivent les axes.

Indice 2

La perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ passe par l'origine : son équation est de la forme $y = kx$ .

Voir la correction pas à pas

$BC = \sqrt{(0-8)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{100} = 10$ cm. De plus $AB = 8$ et $AC = 6$ , et $8^2 + 6^2 = 100 = BC^2$ : le triangle est rectangle en $A$ (réciproque de Pythagore).
Le coefficient directeur de $(BC)$ est $\dfrac{6-0}{0-8} = -\dfrac{3}{4}$ et l'ordonnée à l'origine vaut $6$ : $y = -\dfrac{3}{4}x + 6$ .
La perpendiculaire par $A$ a pour coefficient $\dfrac{4}{3}$ et passe par l'origine : $y = \dfrac{4}{3}x$ .
On résout $\dfrac{4}{3}x = -\dfrac{3}{4}x + 6$ . En multipliant par 12 : $16x = -9x + 72$ , donc $x = \dfrac{72}{25}$ , puis $y = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{72}{25} = \dfrac{96}{25}$ . Ainsi $H\left(\dfrac{72}{25} ; \dfrac{96}{25}\right)$ .
$AH = \sqrt{\left(\dfrac{72}{25}\right)^2 + \left(\dfrac{96}{25}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{5184 + 9216}{625}} = \sqrt{\dfrac{14400}{625}} = \dfrac{120}{25} = 4{,}8$ cm.

Le pied de la hauteur issue de $A$ est $H(2{,}88 ; 3{,}84)$ et la distance de $A$ à $(BC)$ est $4{,}8$ cm.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence y a-t-il entre projeté orthogonal et projeté « tout court » ?

Dans ce chapitre, projeter signifie toujours projeter orthogonalement, c'est-à-dire perpendiculairement à la droite. On pourrait projeter selon une autre direction, mais ce n'est pas ce qu'on étudie ici. Le mot « orthogonal » rappelle que le segment qui relie le point à son projeté forme un angle droit avec la droite.

À quoi sert le projeté orthogonal ?

Il sert à calculer la distance d'un point à une droite, à trouver le pied d'une hauteur dans un triangle, et à créer un triangle rectangle où l'on peut appliquer Pythagore ou la trigonométrie ¹. En classe de Première, l'idée est reprise pour construire le produit scalaire ².

Comment savoir si un point est bien le projeté orthogonal ?

Il faut vérifier deux conditions : le point appartient à la droite, et la droite qui le relie à $A$ est perpendiculaire à $d$ . Pour la seconde, tu peux comparer les pentes (leur produit vaut $-1$ ) ou tester la réciproque de Pythagore dans le triangle formé avec un autre point de $d$ .

Dois-je toujours passer par les équations de droites ?

Non. Sur les axes, ou sur une droite horizontale ou verticale, il suffit de lire les coordonnées : on garde une coordonnée et on remplace l'autre. Les équations ne servent que pour une droite penchée, dont la perpendiculaire n'est pas parallèle aux axes.

Pourquoi le repère doit-il être orthonormé ?

Dans un repère qui ne l'est pas, deux axes ne sont pas perpendiculaires et les unités peuvent différer. Les formules vues ici (distance, produit des pentes égal à $-1$ , projeté en gardant une coordonnée) deviennent alors fausses. Vérifie toujours cette hypothèse avant de calculer.

Sources

Ressources d'accompagnement - Configurations géométriques, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Orthogonalité et distances, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Réseau (géométrie), Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Configurations géométriques et projeté orthogonal : cours de 2de

L'essentiel

Pourquoi associer configurations et projeté orthogonal ?

Les configurations clés et leurs outils

Repère orthonormé et distances : le rôle des projections

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Projeter sur un axe du repère

Projeter sur une droite quelconque

Distance d'un point à une droite

Prolongement : projeter des vecteurs, et bilan

Exercices corrigés

Exercice 1 Projeter sur les axes et mesurer

Exercice 2 Projeté sur une droite penchée

Exercice 3 La hauteur d'un triangle rectangle

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur