Configurations géométriques et projeté orthogonal : fiche de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Les configurations clés de la géométrie plane sont les triangles, les quadrilatères et les cercles ; chacune a ses propriétés géométriques et métriques 1.
Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite (d) est le point H de (d) tel que (MH) soit perpendiculaire à (d).
La distance MH est la plus courte distance de M à un point de la droite : c'est la distance de M à (d).
Dans un repère orthonormé, projeter sur un axe revient à garder une coordonnée et à mettre l'autre à 0.
Dans un triangle rectangle, Pythagore donne les longueurs et l'égalité des aires donne la hauteur issue de l'angle droit.
Les configurations à reconnaître
En géométrie plane, on travaille sur quelques figures de base : les triangles, les quadrilatères et les cercles. Le programme demande de bien connaître leur définition et leurs propriétés, aussi bien sur les angles et les directions que sur les longueurs 1. Pythagore, Thalès et la trigonométrie servent ensuite à calculer dans ces figures 1.
Le projeté orthogonal d'un point
Projeté orthogonal de A sur (BC) · AH = 2,4 pour AB = 4 et AC = 3.
Calculer dans un repère orthonormé
Le projeté orthogonal d'un vecteur sur une direction est un outil qu'on développe en classe de première, où il sert à définir le produit scalaire 2. En seconde, on reste sur les points et les distances, avec un repère orthonormé (O;i,j)2.
Questions flash
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Le projeté est défini par la perpendicularité de (MH) avec (d). La verticale ne convient que pour une droite horizontale, et aucun point de la droite n'est « le plus éloigné » : on peut toujours s'éloigner davantage.
C'est vrai : pour un autre point P de la droite, MHP est rectangle en H et MP est son hypoténuse, donc MP>MH. Dire que ce serait faux reviendrait à oublier que l'hypoténuse est le plus grand côté.
L'axe des abscisses est horizontal, la perpendiculaire est verticale : l'abscisse 5 est conservée et l'ordonnée devient 0. (0;2) est le projeté sur l'autre axe.
On a BC=5. L'aire s'écrit 24×3=6 et aussi 25×AH, d'où AH=512=2,4 cm. Répondre 3 ou 4 revient à confondre la distance à la droite avec la longueur d'un côté de l'angle droit.
52+122=25+144=169=132 : la réciproque de Pythagore s'applique et l'angle droit fait face au plus grand côté. Avoir des côtés égaux n'a rien à voir avec l'angle droit.
Les questions qu'on se pose
À quoi sert le projeté orthogonal ?
Il permet de calculer la distance d'un point à une droite et de ramener un problème à un triangle rectangle. Il prépare aussi le produit scalaire, qui s'appuie sur la projection orthogonale en première 2.
Comment savoir si je dois utiliser Pythagore ou le projeté ?
Pythagore calcule une longueur quand tu as déjà un angle droit. Le projeté sert à fabriquer cet angle droit en traçant la perpendiculaire depuis le point. Souvent, on enchaîne les deux.
Le projeté d'un point qui est sur la droite, c'est quoi ?
C'est ce point lui-même, et sa distance à la droite est nulle.