Configurations et projeté orthogonal : exercices de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le projeté orthogonal H d'un point M sur une droite (d) est le point de (d) tel que (MH) est perpendiculaire à (d).
La distance MH est la plus courte distance entre M et la droite (d) : c'est la distance du point à la droite.
En repère, on trouve H en écrivant l'équation de la perpendiculaire à (d) passant par M, puis en cherchant son intersection avec (d).
Dans une figure, repère les triangles rectangles créés par le projeté : Pythagore, Thalès ou un calcul d'aire donnent alors les longueurs.

Comment utiliser ces exercices

Cette série t'entraîne sur deux idées qui se rencontrent sans cesse en géométrie de seconde : reconnaître une configuration (triangle rectangle, triangle isocèle, rectangle, cercle) et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite. Le programme de géométrie plane repose sur les configurations de base, c'est-à-dire les triangles, les quadrilatères et les cercles, sur leurs propriétés, ainsi que sur les théorèmes de Pythagore et de Thalès et sur la trigonométrie.¹ Les exercices sont rangés par difficulté croissante : les premiers demandent une seule idée, les derniers en enchaînent plusieurs.

Pour t'en servir au mieux, cherche d'abord seul(e) avec une feuille et une figure à main levée. Ouvre un indice seulement quand tu es bloqué(e) depuis plusieurs minutes, puis lis la correction pour comparer ta méthode, pas seulement ton résultat.

MéthodeTrouver un projeté orthogonal en repère

Dans un repère orthonormé, pour projeter $M(x_M ; y_M)$ sur la droite $(d) : y = mx + p$ :

Si $m \neq 0$ , on admet que la perpendiculaire à (d) passant par M a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{m}$ (le produit des deux coefficients vaut $-1$ ; on peut le démontrer avec Pythagore).
Écris son équation $y = -\dfrac{1}{m}x + b$ et calcule $b$ avec les coordonnées de M.
Résous l'égalité des deux équations pour trouver l'abscisse de H, puis son ordonnée.
Calcule $MH = \sqrt{(x_H - x_M)^2 + (y_H - y_M)^2}$ .

Si (d) est horizontale ou verticale, tout est immédiat : on garde une coordonnée de M et on prend l'autre sur la droite.

Les exercices

Exercice 1 Hypoténuse d'un triangle rectangle

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm.

Calcule la longueur $BC$ en centimètres.

Indice 1

Repère l'angle droit : quel côté est l'hypoténuse ?

Indice 2

Écris l'égalité de Pythagore avec $BC^2$ d'un côté.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $A$ , donc son hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : $[BC]$ .
On applique l'égalité de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
On remplace : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ (en cm²).
Comme $BC$ est une longueur positive, $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

On a $BC = 10$ cm. Ce triplet $(6\,;8\,;10)$ est un classique à reconnaître : c'est le triangle $(3\,;4\,;5)$ agrandi deux fois.

Exercice 2 Projeter un point sur les axes

★☆☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé $(O ; I, J)$ , on considère le point $M(-4 ; 7)$ .

Donne les coordonnées de $H$ , projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et de $K$ , projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.
Calcule la distance de $M$ à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire la longueur $MK$ .

Indice 1

L'axe des abscisses est horizontal : la perpendiculaire passant par M est verticale.

Indice 2

Le projeté sur l'axe des ordonnées garde l'ordonnée de M.

Voir la correction pas à pas

L'axe des abscisses est la droite d'équation $y = 0$ . La perpendiculaire à cet axe passant par $M$ est la droite verticale $x = -4$ . Elle coupe l'axe en $H(-4 ; 0)$ .
L'axe des ordonnées est la droite $x = 0$ . La perpendiculaire passant par $M$ est la droite horizontale $y = 7$ . Elle coupe l'axe en $K(0 ; 7)$ .
Les points $M$ et $K$ ont la même ordonnée, donc $MK$ est la différence des abscisses en valeur absolue.
$MK = |-4 - 0| = 4$ unités.

$H(-4 ; 0)$ , $K(0 ; 7)$ et $MK = 4$ unités. Retiens que la distance à l'axe des ordonnées est $|x_M|$ et la distance à l'axe des abscisses est $|y_M|$ .

Exercice 3 Une droite parallèle dans un triangle

★☆☆Environ 8 min

Dans le triangle $ABC$ , le point $M$ est sur le segment $[AB]$ et le point $N$ est sur le segment $[AC]$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm et $BC = 10$ cm.

Calcule $MN$ en centimètres.

Indice 1

Écris trois rapports égaux : $\dfrac{AM}{AB}$ , $\dfrac{AN}{AC}$ et $\dfrac{MN}{BC}$ .

Indice 2

Garde seulement les deux rapports qui contiennent des données connues.

Voir la correction pas à pas

Les points $A, M, B$ sont alignés, de même que $A, N, C$ , et $(MN) \parallel (BC)$ : on peut appliquer le théorème de Thalès.
On obtient $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ .
On remplace : $\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{MN}{10}$ .
On isole $MN$ : $MN = \dfrac{3 \times 10}{7{,}5} = \dfrac{30}{7{,}5} = 4$ cm.

$MN = 4$ cm. Le rapport $\dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4$ est le coefficient de réduction du triangle $ABC$ vers $AMN$ : $MN$ vaut donc 40 % de $BC$ .

Exercice 4 Hauteur d'un triangle isocèle

★★☆Environ 10 min

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ avec $AB = AC = 13$ cm et $BC = 10$ cm. On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ . On admet que $H$ est situé sur le segment $[BC]$ .

Montre que $H$ est le milieu de $[BC]$ .
Calcule $AH$ .

Indice 1

Les triangles $ABH$ et $ACH$ sont rectangles en $H$ : compare $HB^2$ et $HC^2$ .

Indice 2

Une fois $HB$ connue, applique Pythagore dans $ABH$ .

Voir la correction pas à pas

Par définition du projeté, $(AH) \perp (BC)$ : les triangles $ABH$ et $ACH$ sont rectangles en $H$ .
Pythagore dans $ABH$ : $HB^2 = AB^2 - AH^2 = 169 - AH^2$ . Dans $ACH$ : $HC^2 = AC^2 - AH^2 = 169 - AH^2$ .
Donc $HB^2 = HC^2$ , et comme ce sont des longueurs positives, $HB = HC$ .
$H$ est sur $[BC]$ avec $HB = HC$ et $HB + HC = 10$ : $H$ est le milieu de $[BC]$ , donc $HB = 5$ cm.
Pythagore dans $ABH$ : $AH^2 = AB^2 - HB^2 = 169 - 25 = 144$ cm².
Donc $AH = \sqrt{144} = 12$ cm.

$AH = 12$ cm. L'aire du triangle vaut alors $\dfrac{10 \times 12}{2} = 60$ cm². Le triplet $(5\,;12\,;13)$ est un autre classique.

Exercice 5 Projeté sur la droite y = x

★★☆Environ 12 min

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ d'équation $y = x$ et le point $M(6 ; 2)$ .

Détermine l'équation de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ .
En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(d)$ .
Calcule la distance $MH$ , arrondie au dix-millième.

Indice 1

Le coefficient directeur de $(d)$ est 1 : quel est celui d'une droite perpendiculaire ?

Indice 2

Pour trouver H, résous l'égalité des deux équations de droites.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient directeur de $(d)$ est $1$ . Une perpendiculaire a pour coefficient $-\dfrac{1}{1} = -1$ , donc une équation de la forme $y = -x + b$ .
La droite passe par $M(6 ; 2)$ : $2 = -6 + b$ , donc $b = 8$ . La perpendiculaire a pour équation $y = -x + 8$ .
Pour l'intersection, on résout $x = -x + 8$ , soit $2x = 8$ et $x = 4$ . Comme $y = x$ , on a $y = 4$ : $H(4 ; 4)$ .
On calcule $MH = \sqrt{(4 - 6)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ .
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8284$ unités.

$H(4 ; 4)$ et $MH = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8284$ unités. Contrôle rapide : $H$ est bien le milieu de $M(6 ; 2)$ et de son symétrique $(2 ; 6)$ par rapport à la droite $y = x$ .

Exercice 6 Projeté sur une droite oblique

★★☆Environ 14 min

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(d) : y = 2x + 1$ et le point $M(4 ; -1)$ .

Écris l'équation de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ .
Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(d)$ .
Calcule $MH$ et donne une valeur approchée au dix-millième.

Indice 1

Si $(d)$ a pour coefficient directeur 2, la perpendiculaire a pour coefficient $-\dfrac{1}{2}$ .

Indice 2

L'abscisse de H vérifie $2x + 1 = -\dfrac{1}{2}x + b$ .

Voir la correction pas à pas

Le coefficient directeur de $(d)$ est $2$ ; celui de la perpendiculaire est $-\dfrac{1}{2}$ : $y = -\dfrac{1}{2}x + b$ .
Avec $M(4 ; -1)$ : $-1 = -\dfrac{1}{2} \times 4 + b = -2 + b$ , donc $b = 1$ . L'équation est $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$ .
On résout $2x + 1 = -\dfrac{1}{2}x + 1$ , d'où $\dfrac{5}{2}x = 0$ et $x = 0$ . Alors $y = 2 \times 0 + 1 = 1$ : $H(0 ; 1)$ .
$MH = \sqrt{(0 - 4)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ .
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721$ unités.

$H(0 ; 1)$ et $MH = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721$ unités. Vérification : $H$ est bien sur $(d)$ car $2 \times 0 + 1 = 1$ , et le coefficient de $(MH)$ vaut $\dfrac{1 - (-1)}{0 - 4} = -\dfrac{1}{2}$ .

Exercice 7 Hauteur sur la diagonale d'un rectangle

★★★Environ 15 min

Le rectangle $ABCD$ a pour dimensions $AB = 12$ cm et $BC = 5$ cm. On note $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la diagonale $(AC)$ .

Calcule $AC$ .
Calcule l'aire du triangle $ABC$ de deux façons et déduis-en $BH$ , arrondie au dix-millième.

Indice 1

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : quelle est son hypoténuse ?

Indice 2

Une fois en prenant $[AB]$ pour base, une autre fois en prenant $[AC]$ pour base.

Voir la correction pas à pas

Dans le rectangle, l'angle en $B$ est droit : $ABC$ est rectangle en $B$ et son hypoténuse est $[AC]$ .
Pythagore : $AC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ , donc $AC = 13$ cm.
Avec $[AB]$ comme base, la hauteur est $BC$ : aire $= \dfrac{12 \times 5}{2} = 30$ cm².
Avec $[AC]$ comme base, la hauteur est $BH$ , car $H$ est le projeté de $B$ sur $(AC)$ : aire $= \dfrac{13 \times BH}{2}$ .
On égale : $\dfrac{13 \times BH}{2} = 30$ , donc $BH = \dfrac{60}{13}$ .
$\dfrac{60}{13} \approx 4{,}6154$ cm.

$AC = 13$ cm et $BH = \dfrac{60}{13} \approx 4{,}6154$ cm. On retrouve la formule utile : dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit vaut le produit des côtés de l'angle droit divisé par l'hypoténuse.

Exercice 8 Corde d'un cercle

★★★Environ 15 min

Un cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $O$ et pour rayon $5$ cm. Une droite $(d)$ coupe le cercle en deux points $A$ et $B$ . Le projeté orthogonal de $O$ sur $(d)$ est le point $H$ , et $OH = 3$ cm.

Calcule $HA$ .
Montre que $H$ est le milieu de $[AB]$ , puis calcule $AB$ .

Indice 1

$OA$ est un rayon : combien vaut-il ? Dans quel triangle est-il l'hypoténuse ?

Indice 2

$OB$ est aussi un rayon : refais le même calcul pour $HB$ .

Voir la correction pas à pas

$H$ est le projeté de $O$ sur $(d)$ , donc $(OH) \perp (d)$ : le triangle $OHA$ est rectangle en $H$ , d'hypoténuse $[OA]$ .
$A$ est sur le cercle, donc $OA = 5$ cm. Pythagore : $HA^2 = OA^2 - OH^2 = 25 - 9 = 16$ , donc $HA = 4$ cm.
De même, $OB = 5$ cm et le triangle $OHB$ est rectangle en $H$ : $HB^2 = 25 - 9 = 16$ , donc $HB = 4$ cm.
Les points $A$ , $H$ , $B$ sont alignés sur $(d)$ , avec $HA = HB$ et $A \neq B$ : les points $A$ et $B$ sont donc de part et d'autre de $H$ , à la même distance. $H$ est donc le milieu de $[AB]$ .
$AB = HA + HB = 4 + 4 = 8$ cm.

$HA = 4$ cm et $AB = 8$ cm. Le triplet $(3\,;4\,;5)$ réapparaît. Cette méthode marche pour toute corde : $AB = 2\sqrt{r^2 - OH^2}$ .

Exercice 9 Distance d'un point à une droite

★★★Environ 20 min

Dans un repère orthonormé, la droite $(d)$ passe par $A(0 ; 0)$ et $B(4 ; 3)$ . On considère le point $M(1 ; 5)$ .

Détermine l'équation réduite de $(d)$ .
Détermine l'équation de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ .
Calcule les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(d)$ , puis la distance de $M$ à $(d)$ .

Indice 1

Le coefficient directeur de $(AB)$ est $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

Indice 2

Multiplie l'égalité des deux équations par 12 pour supprimer les fractions.

Voir la correction pas à pas

Coefficient directeur de $(AB)$ : $\dfrac{3 - 0}{4 - 0} = \dfrac{3}{4}$ . La droite passe par l'origine, donc $(d) : y = \dfrac{3}{4}x$ .
La perpendiculaire a pour coefficient $-\dfrac{4}{3}$ : $y = -\dfrac{4}{3}x + b$ . Avec $M(1 ; 5)$ : $5 = -\dfrac{4}{3} + b$ , donc $b = \dfrac{19}{3}$ .
On résout $\dfrac{3}{4}x = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{19}{3}$ . En multipliant par 12 : $9x = -16x + 76$ , donc $25x = 76$ et $x = \dfrac{76}{25} = 3{,}04$ .
Alors $y = \dfrac{3}{4} \times 3{,}04 = 2{,}28$ : $H(3{,}04 ; 2{,}28)$ .
$MH^2 = (1 - 3{,}04)^2 + (5 - 2{,}28)^2 = 4{,}1616 + 7{,}3984 = 11{,}56$ .
$MH = \sqrt{11{,}56} = 3{,}4$ unités.

$H(3{,}04 ; 2{,}28)$ et la distance de $M$ à $(d)$ vaut exactement $3{,}4$ unités. Contrôle : le point $H$ vérifie bien $y = \dfrac{3}{4}x$ puisque $\dfrac{3}{4} \times 3{,}04 = 2{,}28$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser Pythagore, Thalès ou une aire ?

Cherche d'abord ce que la figure contient. Un angle droit (souvent créé par un projeté orthogonal) appelle Pythagore. Deux droites parallèles dans un triangle appellent Thalès. Quand on te donne une hauteur ou qu'on la cherche, pense à l'aire calculée de deux façons. Si plusieurs outils sont possibles, prends celui qui n'a qu'une inconnue.

Le projeté orthogonal est-il toujours le milieu d'un segment ?

Non. Il l'est dans des cas particuliers, par exemple la hauteur issue du sommet d'un triangle isocèle, ou le projeté du centre d'un cercle sur une corde. Dans le cas général, par exemple le projeté d'un point sur une droite oblique quelconque, il n'a pas de position particulière : il faut le calculer. Ne l'affirme jamais sans le démontrer.

Pourquoi le projeté donne-t-il la distance d'un point à une droite ?

Parce que le segment qui joint M à son projeté H est le plus court de tous ceux qui relient M à la droite. Pour un autre point P de la droite, le triangle MHP est rectangle en H, donc $MP^2 = MH^2 + HP^2$ , ce qui rend $MP$ strictement plus grand que $MH$ . C'est pourquoi on appelle $MH$ la distance de M à la droite.

Sources

Ressources d'accompagnement - Configurations géométriques, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Orthogonalité et distances, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Réseau (géométrie), Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Hypoténuse d'un triangle rectangle

Exercice 2 Projeter un point sur les axes

Exercice 3 Une droite parallèle dans un triangle

Exercice 4 Hauteur d'un triangle isocèle

Exercice 5 Projeté sur la droite y = x

Exercice 6 Projeté sur une droite oblique

Exercice 7 Hauteur sur la diagonale d'un rectangle

Exercice 8 Corde d'un cercle

Exercice 9 Distance d'un point à une droite

Les questions qu'on se pose

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