Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une droite non verticale a une équation réduite y=mx+p : m est le coefficient directeur, p l'ordonnée à l'origine. Une droite verticale a une équation x=c.
Une équation cartésienne s'écrit ax+by+c=0 avec (a;b)=(0;0) ; un vecteur directeur est u(−b;a).
Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation : on remplace x et y puis on teste l'égalité.
Pour trouver une équation : avec deux points, on calcule m=xB−xAyB−yA puis p ; avec un point et un vecteur directeur, on écrit la colinéarité de AM et u.
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur (ou le même vecteur directeur à un facteur près) ; leur point d'intersection s'obtient en résolvant un système de deux équations.
Introduction : décrire une droite par un calcul
Jusqu'ici, tu as tracé des droites à la règle et placé des points avec leurs coordonnées. Dans ce chapitre, on fait un pas de plus : on décrit une droite par une égalité entre x et y. Cette égalité s'appelle une équation de droite. Elle permet de vérifier par le calcul qu'un point est sur la droite, de savoir si trois points sont alignés, de comparer deux droites ou de trouver leur point commun, sans jamais avoir besoin du dessin.
Le programme de Seconde demande de savoir caractériser une droite par une équation, d'établir que trois points sont alignés, de reconnaître des droites parallèles et de déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites. 1 Tout cela s'appuie sur ce que tu connais déjà : les coordonnées d'un vecteur et la colinéarité. Si ces deux notions sont fragiles, relis-les avant de continuer, car elles servent presque à chaque ligne de ce cours.
Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère (O;I,J). Un point M a pour coordonnées (x;y) : x est son abscisse, y son ordonnée.
Qu'est-ce qu'une équation de droite ?
Cette définition a deux sens, et il faut penser aux deux :
si M est sur la droite, ses coordonnées rendent l'égalité vraie ;
si les coordonnées de M rendent l'égalité vraie, alors M est sur la droite.
C'est exactement ce qui permet de tester l'appartenance d'un point à un ensemble défini par une équation : on remplace x et y par ses coordonnées et on regarde si l'égalité est vraie. 2
L'équation réduite : coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Pourquoi ces noms ? Si tu pars d'un point de la droite et que tu avances de 1 vers la droite, l'ordonnée varie de m. Si m=3, on monte de 3 ; si m=−2, on descend de 2 ; si m=0, on reste à la même hauteur, et la droite est horizontale d'équation y=p. Le coefficient directeur mesure donc l'inclinaison.
Démonstration · Pourquoi cette formule ?
Les points A et B sont sur la droite, donc yA=mxA+p et yB=mxB+p. En soustrayant la première égalité à la seconde, le terme p disparaît : yB−yA=m(xB−xA). Comme xB−xA=0, on divise et on obtient la formule.
Deux droites sécantes · Les droites y = 2x + 1 et y = -x + 4 se coupent en I(1 ; 3).
L'équation cartésienne et le vecteur directeur
L'avantage de cette forme : elle s'applique à toutes les droites, verticales comprises. Pour une droite verticale x=2, on écrit x−2=0, avec a=1, b=0, c=−2.
Déterminer l'équation d'une droite
Selon les données de l'énoncé, on dispose de plusieurs méthodes. On retient surtout deux situations : la droite est donnée par un point et un vecteur directeur, ou par deux points. 2
Verticale ?Si x_A = x_B, l'équation est x = x_A.
Calculer mm = (y_B − y_A) / (x_B − x_A).
Trouver pRemplacer x et y par ceux de A.
VérifierTester avec les coordonnées de B.
Trouver l'équation à partir de deux points
Points alignés et appartenance à une droite
Trois points sont alignés s'ils sont sur une même droite. Le programme demande de savoir l'établir, notamment par des calculs sur les coordonnées. 1 Deux approches se complètent.
Droites parallèles et position relative
Le programme place l'étude des droites parallèles juste à côté de celle des équations de droites. 1 Deux droites du plan ont trois positions possibles l'une par rapport à l'autre : sécantes (un seul point commun), strictement parallèles (aucun point commun) ou confondues (tous les points en commun).
Point d'intersection de deux droites
Quand deux droites sont sécantes, leur point commun est le seul point dont les coordonnées vérifient les deux équations à la fois. Chercher ses coordonnées revient donc à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Le programme présente cette recherche comme l'occasion de pratiquer ces systèmes. 1
Les pièges à éviter et une méthode de contrôle
Équation de droite
Réduite
y = mx + p
m : pente
p : ordonnée
Cartésienne
ax + by + c = 0
u(−b ; a)
toutes droites
Parallélisme
même m
u colinéaires
confondues ?
Intersection
système
substitution
combinaison
Équations de droites en un coup d'œil
Exercices corrigés
Exercice 1 Équation réduite à partir de deux points
★☆☆Environ 5 min
Dans un repère, on donne les points A(0;3) et B(2;7).
Calcule le coefficient directeur de la droite (AB).
Détermine son équation réduite.
Le point C(5;13) appartient-il à (AB) ?
Indice 1
Les abscisses de A et B sont différentes : la droite n'est pas verticale.
Indice 2
A est sur l'axe des ordonnées : son ordonnée donne directement p.
Voir la correction pas à pas
Les abscisses 0 et 2 sont différentes, donc la droite n'est pas verticale et possède une équation réduite.
Coefficient directeur : m=2−07−3=24=2.
Le point A(0;3) est sur l'axe des ordonnées, donc p=3.
Équation réduite : y=2x+3. Contrôle avec B : 2×2+3=7, c'est juste.
Pour C : 2×5+3=13, qui est l'ordonnée de C. Donc C∈(AB).
La droite (AB) a pour équation y=2x+3, son coefficient directeur est 2, et le point C lui appartient.
Exercice 2 Intersection de deux droites
★★☆Environ 8 min
On considère les droites d:2x+y−7=0 et d′:x−y+1=0.
Montre que d et d′ sont sécantes.
Détermine les coordonnées de leur point d'intersection.
Vérifie ton résultat.
Indice 1
Écris les deux équations sous forme réduite pour comparer les coefficients directeurs.
Indice 2
En additionnant les deux équations, les termes en y disparaissent.
Voir la correction pas à pas
Forme réduite de d : y=−2x+7, donc m=−2.
Forme réduite de d′ : y=x+1, donc m′=1. Comme −2=1, les droites sont sécantes.
Le point d'intersection vérifie le système 2x+y−7=0 et x−y+1=0.
On additionne les deux équations : 3x−6=0, donc x=2.
On reporte dans y=x+1 : y=3. Le point cherché est I(2;3).
Vérification dans d : 2×2+3−7=0. Dans d′ : 2−3+1=0. Les deux égalités sont vraies.
Les droites d et d′ se coupent au point I(2;3) ; l'abscisse de ce point est 2.
Exercice 3 Trois points alignés
★★☆Environ 8 min
On donne A(−2;1), B(1;4) et C(4;k) où k est un nombre réel.
Détermine la valeur de k pour que A, B et C soient alignés.
Indice 1
Cherche d'abord l'équation de la droite (AB).
Indice 2
Remplace ensuite x par 4 dans cette équation.
Voir la correction pas à pas
Coefficient directeur de (AB) : m=1−(−2)4−1=33=1.
Avec B(1;4) : 4=1×1+p, donc p=3. L'équation de (AB) est y=x+3.
C(4;k) est sur (AB) si et seulement si k=4+3.
On obtient k=7.
Contrôle par les vecteurs : AB(3;3) et AC(6;6). On a 3×6−3×6=0, donc ils sont colinéaires.
Les trois points sont alignés si et seulement si k=7.
Exercice 4 Parallèle passant par un point
★★★Environ 10 min
Soit d la droite d'équation 3x−2y+5=0 et A(1;−1).
Donne un vecteur directeur de d et son coefficient directeur.
Détermine l'équation réduite de la droite d1 parallèle à d passant par A.
Quelle est l'ordonnée à l'origine de d1 ?
Indice 1
Pour ax+by+c=0, un vecteur directeur est (−b;a).
Indice 2
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Voir la correction pas à pas
Ici a=3 et b=−2, donc un vecteur directeur de d est u(2;3).
Le coefficient directeur vaut 23. En isolant y dans 3x−2y+5=0, on trouve y=23x+25, ce qui confirme m=23.
La droite d1 est parallèle à d : elle s'écrit y=23x+p.
Elle passe par A(1;−1) : −1=23×1+p, donc p=−1−23=−25.
L'équation réduite de d1 est y=23x−25, soit 3x−2y−5=0.
Contrôle : 3×1−2×(−1)−5=0.
La parallèle à d passant par A a pour équation y=23x−25 ; son ordonnée à l'origine est −25, soit −2,5.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Dans y=mx+p, le coefficient directeur est le nombre qui multiplie x, ici −3. La réponse 5 est l'ordonnée à l'origine : c'est la confusion classique entre m et p. Les réponses 3 et −31 oublient le signe ou inventent un inverse sans raison.
Pour ax+by+c=0, un vecteur directeur est (−b;a). Ici a=2 et b=−5, d'où (5;2). Le vecteur (2;−5) reprend simplement (a;b), ce qui est l'erreur à éviter. Les vecteurs (−5;2) et (2;5) ne sont pas colinéaires à (5;2) : leur déterminant avec lui n'est pas nul.
On remplace : 2×3+(−1)−5=6−1−5=0. L'égalité est vérifiée, donc M est bien sur la droite. Attention au signe : on ajoute bien −1, pas +1 ; avec +1, on trouverait 2 et on conclurait à tort que c'est faux.
On calcule m=4−111−2=39=3. Une inversion de l'ordre des points au numérateur et au dénominateur donnerait le même résultat, mais mélanger les deux ordres donnerait −3, qui est faux.
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées est verticale : tous ses points ont la même abscisse, ici 4. Son équation est x=4. L'équation y=−3 décrit une droite horizontale. L'équation y=4x−3 décrit une droite oblique, qui ne passe d'ailleurs pas par A. Quant à x=−3, elle échange les coordonnées.
On cherche le coefficient directeur −2. De 4x+2y−3=0, on tire y=−2x+23 : coefficient −2, donc parallèle. La droite 2x−y+3=0 donne y=2x+3 (coefficient 2, signe oublié). La droite x+2y+1=0 a pour coefficient −21. La dernière a pour coefficient 21.
En isolant y, la première donne y=2x−4 et la deuxième aussi (elle est le double de la première). La troisième donne y=21x−2, une autre droite. La quatrième a la même pente mais une ordonnée à l'origine opposée : elle est parallèle, pas confondue.
Au point d'intersection, les ordonnées sont égales : x+1=−2x+7, donc 3x=6 et x=2. L'ordonnée vaut alors 3 ; 3 est donc la valeur à ne pas confondre avec l'abscisse demandée.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre équation réduite et équation cartésienne ?
L'équation réduite est de la forme y=mx+p : elle donne directement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, mais ne convient pas aux droites verticales. L'équation cartésienneax+by+c=0 convient à toutes les droites et donne directement un vecteur directeur (−b;a). On passe de l'une à l'autre en isolant y ou en regroupant les termes dans un seul membre.
Comment savoir si un point est sur une droite ?
On remplace x et y dans l'équation par les coordonnées du point. Si l'égalité est vraie, le point est sur la droite ; si elle est fausse, il n'y est pas. Écris toujours le calcul puis une phrase de conclusion.
Pourquoi une droite verticale n'a-t-elle pas de coefficient directeur ?
Pour deux points de même abscisse, la formule xB−xAyB−yA obligerait à diviser par 0. Une droite verticale ne peut pas être la représentation graphique d'une fonction x↦mx+p. Son équation est x=c, et on la traite à part.
Que faire si deux droites ont le même coefficient directeur ?
Elles sont parallèles. Compare ensuite leurs ordonnées à l'origine : si elles sont égales, les droites sont confondues ; sinon, elles sont strictement parallèles et n'ont aucun point commun. Dans ce cas, chercher une intersection est inutile.
Quelle méthode choisir pour trouver l'intersection de deux droites ?
Si une équation est déjà de la forme y=…, la substitution est la plus rapide. Si les deux équations sont cartésiennes avec des coefficients opposés ou faciles à rendre opposés, la combinaison est plus directe. Dans tous les cas, vérifie ton couple (x;y) dans les deux équations.