Mathématiques · Seconde
Les ensembles de nombres : cours de Seconde
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Les nombres s'organisent en ensembles emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque ensemble est né d'un besoin : compter, soustraire, partager, mesurer.
- Pour classer un nombre, on cherche le plus petit ensemble qui le contient : un même nombre appartient à plusieurs ensembles, mais un seul est le plus petit.
- ℕ contient 0, 1, 2… ; ℤ ajoute les négatifs ; ℚ regroupe les quotients d'entiers ; 𝔻 est formé des nombres à écriture décimale finie ; ℝ complète le tout (π, √2…).
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; 0 et 1 ne sont pas premiers. Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.4
- Pièges : 12/4 est un entier ; 1/3 n'est pas décimal ; ∈ relie un nombre à un ensemble, ⊂ relie deux ensembles.
Pourquoi plusieurs ensembles de nombres ?
Un nombre est un outil mathématique qui sert à évaluer et à comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, et aussi à ordonner des éléments en donnant leur rang.4 Au fil de ta scolarité, tu as rencontré des nombres de plus en plus variés : d'abord les entiers pour compter, puis les fractions, les écritures décimales, enfin les nombres négatifs.4 Chaque fois, ton univers de calcul s'est agrandi.
En Seconde, on met de l'ordre dans tout cela. On range les nombres dans des ensembles qui s'emboîtent comme des poupées russes. Les ensembles de nombres classiques se construisent à partir des entiers naturels et se suivent dans une suite d'inclusions croissante.3 Savoir dans quel ensemble vit un nombre te dit ce que tu peux faire avec lui : par exemple, si tu peux toujours soustraire deux nombres du même ensemble sans en sortir.
Ce chapitre prépare directement trois autres : les intervalles et inégalités, les puissances et racines carrées, et le calcul fractionnaire. Sans un bon classement des nombres, ces notions deviennent vite confuses.
Les entiers naturels ℕ et l'arithmétique
L'idée de nombre vient d'une opération très concrète : l'appariement. Si tu associes un à un les éléments de deux collections, il peut en rester d'un côté, en manquer, ou tomber juste. Le résultat ne dépend pas de la manière dont tu formes les paires, et c'est ce qui donne un sens à la notion de quantité, que l'on peut comparer.4
Les entiers relatifs ℤ
Les nombres négatifs se rencontrent après les fractions et la notation décimale dans la progression des programmes.4 Ils répondent à un besoin de calcul : dans ℤ, une soustraction a toujours un résultat. Ainsi 3 − 5 = −2 est un entier relatif. Ils servent aussi à décrire des situations comme une température sous zéro, une altitude sous le niveau de la mer ou un solde bancaire négatif.
Décimaux 𝔻 et rationnels ℚ
Les fractions et la notation décimale apparaissent tôt dans la scolarité, puis le développement décimal infini est introduit avant la suite croissante des ensembles usuels.4 Un décimal est toujours un rationnel : par exemple . La réciproque est fausse.
Les nombres réels ℝ
Les ensembles précédents ne suffisent pas pour tout mesurer. La diagonale d'un carré de côté 1 mesure √2, et le périmètre d'un cercle de diamètre 1 vaut π : aucun de ces deux nombres ne s'écrit comme un quotient d'entiers. On leur donne le nom d'irrationnels.
Avec ℝ, la suite des ensembles usuels est complète pour ton programme. Elle se prolonge ensuite avec d'autres objets, comme les nombres complexes, mais cela dépasse largement la Seconde.4 Les nombres réels permettent d'exprimer des mesures physiques et de résoudre des équations.4
Ensembles de nombres
- ℕ : entiers naturels
- 0
- 7
- 120
- ℤ : entiers relatifs
- −3
- 0
- 25
- 𝔻 : décimaux
- 0,25
- −1,5
- 4
- ℚ : rationnels
- 1/3
- −7/4
- 0,5
- ℝ : réels
- π
- √2
- 1/3
Appartenance, inclusion et notations
| Ensemble | Description | Exemple | Contre-exemple |
|---|---|---|---|
| ℕ | entiers positifs ou nuls | 8 | −8 |
| ℤ | entiers avec signe | −8 | 1/2 |
| 𝔻 | écriture décimale finie | 0,125 | 1/3 |
| ℚ | quotients d'entiers | 1/3 | π |
| ℝ | tous les nombres de la droite graduée | √2 | aucun dans ce cours |
Méthode : classer un nombre et éviter les pièges
Exercices corrigés
Exercice 1 Classer des nombres
Pour chacun des nombres suivants, donne le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ auquel il appartient :
; ; ; ; ; ; .
Indice 1
Simplifie d'abord chaque écriture : une fraction peut être un entier, une racine peut être exacte.
Indice 2
Un nombre est décimal si sa division s'arrête.
Voir la correction pas à pas
a = −7 est un entier négatif : c'est dans ℤ, pas dans ℕ.
b = 0 est un entier naturel : plus petit ensemble ℕ.
c = 12/4 = 3 : après simplification, c'est un entier positif, donc ℕ.
d = 0,25 a deux décimales : c'est un décimal, donc 𝔻 (et pas un entier).
e = 4/9 : la fraction est irréductible et 9 = 3², facteur différent de 2 et 5, donc non décimal. Plus petit ensemble : ℚ.
f = π est un irrationnel : seulement ℝ.
g = √49 = 7 : c'est un entier positif, donc ℕ.
Classement : a ∈ ℤ ; b ∈ ℕ ; c ∈ ℕ ; d ∈ 𝔻 ; e ∈ ℚ ; f ∈ ℝ ; g ∈ ℕ. Deux nombres se cachent derrière une écriture trompeuse : c et g, qui sont en réalité des entiers naturels.
Exercice 2 Compter les diviseurs de 36
- Décompose 36 en produit de facteurs premiers.
- Liste tous les diviseurs de 36 en les rangeant par paires de produit 36.
- Combien 36 a-t-il de diviseurs ? Le nombre 36 est-il premier ?
Indice 1
Pour les paires, teste les entiers de 1 à 6 : au-delà de 6, les diviseurs sont déjà apparus dans une paire.
Indice 2
Un nombre premier a exactement deux diviseurs.
Voir la correction pas à pas
36 = 2 × 18 = 2 × 2 × 9 = 2² × 3².
On cherche les paires de produit 36 : 1 × 36 ; 2 × 18 ; 3 × 12 ; 4 × 9 ; 6 × 6.
Les diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Le nombre 6 apparaît une seule fois car 6 × 6 = 36.
On compte : 9 diviseurs.
36 a plus de deux diviseurs : il n'est pas premier.
36 = 2² × 3² possède 9 diviseurs, ce qui en fait un nombre composé, non premier. Le carré parfait 36 a un nombre impair de diviseurs, car l'un d'eux (6) est apparié avec lui-même.
Exercice 3 Somme de fractions et ensemble d'appartenance
On pose .
- Calcule S sous forme de fraction irréductible.
- Donne une valeur approchée de S à près.
- Le nombre S est-il décimal ? Justifie, puis donne son plus petit ensemble d'appartenance.
Indice 1
Pour additionner, mets les deux fractions sur un dénominateur commun : 12 convient.
Indice 2
Pour savoir si c'est décimal, décompose le dénominateur de la fraction irréductible.
Voir la correction pas à pas
Dénominateur commun 12 : et .
On additionne : .
19 est premier et ne partage aucun facteur avec 12 : la fraction est déjà irréductible.
Valeur approchée : 19 ÷ 12 = 1,58333… soit 1,583 à près.
Le dénominateur 12 = 2² × 3 contient le facteur premier 3, différent de 2 et de 5 : S n'est pas décimal.
S s'écrit comme un quotient d'entiers de dénominateur non nul : son plus petit ensemble est ℚ.
. Ce nombre est rationnel mais pas décimal : son plus petit ensemble est ℚ.
Quiz
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-
−3 est un entier négatif, donc un entier relatif : le plus petit ensemble est ℤ. Il n'est pas dans ℕ, qui ne contient que des entiers positifs ou nuls. 𝔻 et ℝ le contiennent aussi, mais ils sont plus grands que ℤ.
-
Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts. Or 1 n'en a qu'un seul, lui-même.4 La tentation de dire « 1 n'est divisible que par 1 et par lui-même » oublie que ces deux diviseurs sont ici le même nombre.
-
est un quotient d'entiers ; 0,5 = ; −4 = . Seul π est irrationnel. Un piège courant est de croire que −4 ou 0,5 ne sont pas des fractions : on peut toujours les écrire ainsi.
-
Les paires de produit 12 sont 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4 : les diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12, soit 6. Beaucoup oublient 1 et 12 eux-mêmes, qui comptent.
-
, qui est un entier naturel. Se laisser influencer par la barre de fraction mène à répondre ℚ, qui contient bien ce nombre mais n'est pas le plus petit ensemble.
-
Les ensembles sont emboîtés : ℚ ⊂ ℝ. L'idée contraire vient de la confusion avec « tout réel est rationnel », qui est faux, comme le montre π.
-
Les rationnels ne sont pas tous des entiers relatifs : est dans ℚ mais pas dans ℤ. Les trois autres inclusions suivent la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ.
-
Un décimal s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui n'est pas le cas de 0,333… Le fait que 3 soit premier n'a pas de rapport direct (5 est premier et = 0,2 est décimal). Être inférieur à 1 n'empêche pas d'être décimal (0,5). Et est bien rationnel.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi apprendre autant d'ensembles de nombres ?
Chaque ensemble correspond à ce que tu peux calculer sans sortir de lui. Dans ℕ, la soustraction pose problème ; dans ℤ, la division pose problème ; dans ℚ, certaines mesures (comme la diagonale d'un carré) manquent. Connaître l'ensemble d'un nombre te dit donc quelles opérations restent possibles. Il sert aussi à rédiger : on écrit « soit x ∈ ℝ » pour préciser de quels nombres on parle.
0 appartient-il à ℕ ?
Oui, en Seconde, 0 est un entier naturel. Pour parler des entiers strictement positifs, on utilise ℕ*. Sur un exercice, 0 est donc un élément de ℕ, de ℤ, de 𝔻, de ℚ et de ℝ.
Comment savoir si un nombre est rationnel ou irrationnel ?
Cherche d'abord à l'écrire sous forme avec a et b entiers (b non nul). Si tu y arrives, c'est un rationnel. À ton niveau, les irrationnels que tu rencontres sont surtout π et les racines carrées d'entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, comme √2 ou √5. Une racine comme √36 vaut 6 : elle est rationnelle.
Que me demande-t-on en contrôle sur ce chapitre ?
On te demande surtout de classer des nombres (« à quel plus petit ensemble appartient-il ? »), de justifier qu'un nombre n'est pas décimal ou n'est pas entier, de choisir les bons symboles ∈, ⊂, ∉, et d'utiliser les nombres premiers pour décomposer ou simplifier. Rédige toujours : simplification d'abord, justification ensuite, conclusion enfin.
Quelle différence entre ∈ et ⊂ ?
∈ s'utilise entre un nombre et un ensemble : . ⊂ s'utilise entre deux ensembles : . Une astuce : si à gauche tu as un seul nombre, c'est ∈ ; si tu as une lettre d'ensemble comme ℕ ou ℚ, c'est ⊂.
Sources
- Accompagner les élèves en mathématiques - 4e, 3e et 2de, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
- Manuels Sésamath - Ressources pour l'enseignement des mathématiques, Sésamath. Consulté le 9 novembre 2026.
- Ensemble de nombres, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
- Nombre, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
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