Ensembles de nombres : exercices corrigés de 2de

$12$ est un entier positif : $12\in\mathbb{N}$.

$-5$ est un entier négatif, donc il n'est pas dans $\mathbb{N}$ mais dans $\mathbb{Z}$ : $-5\in\mathbb{Z}$.

$0{,}25=\frac{25}{100}$ : c'est une fraction de dénominateur $100$, donc $0{,}25\in\mathbb{D}$. Ce n'est pas un entier.

$\frac{4}{3}=1{,}333\ldots$ : l'écriture ne s'arrête jamais, le nombre n'est pas décimal. C'est le quotient de deux entiers, donc $\frac{4}{3}\in\mathbb{Q}$.

$-\frac{18}{6}=-3$ : après simplification, on obtient un entier négatif, donc $-\frac{18}{6}\in\mathbb{Z}$.

$0$ est un entier naturel : $0\in\mathbb{N}$.

a) Vrai : $7$ est un entier positif, et tout entier naturel est un entier relatif.

b) Faux : $-2$ est négatif, or les entiers naturels sont positifs ou nuls.

c) Faux : $0{,}5$ n'est pas un entier, il est situé entre $0$ et $1$.

d) Faux : $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$ a une écriture décimale infinie, ce n'est pas un nombre décimal ; il appartient à $\mathbb{Q}$.

e) Vrai : la chaîne d'inclusions donne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$, donc $\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$.

f) Faux : l'inclusion va dans l'autre sens. Le nombre $0{,}5$ est dans $\mathbb{D}$ mais pas dans $\mathbb{Z}$ : c'est un contre-exemple.

Question 1 : $20\times 5=100$, donc on multiplie le numérateur et le dénominateur par $5$.

$\frac{7}{20}=\frac{7\times 5}{20\times 5}=\frac{35}{100}=0{,}35$.

Ce nombre s'écrit comme une fraction de dénominateur $100$, il est donc décimal : $\frac{7}{20}\in\mathbb{D}$.

Question 2 : supposons $\frac{1}{6}=\frac{k}{10^n}$. En multipliant les deux membres par $6\times 10^n$, on obtient $10^n=6k$.

Donc $3$ divise $10^n$. Or $10^n=2^n\times 5^n$ : sa décomposition en facteurs premiers ne contient que $2$ et $5$.

Comme la décomposition en facteurs premiers est unique ⁴, le facteur $3$ ne peut pas apparaître : contradiction.

Donc $\frac{1}{6}$ n'est pas un nombre décimal ; c'est un rationnel.

On teste $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Les diviseurs sont $1, 2, 3, 4, 6$ ; $5$ ne convient pas car $36=5\times 7+1$.

Chaque diviseur $d\leq 6$ donne son partenaire $\frac{36}{d}$ : $36, 18, 12, 9$, et $6$ (qui est son propre partenaire car $6\times 6=36$).

Liste complète : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.

On compte : $9$ diviseurs.

La liste contient $1$ et $36$, comme tout entier qui a $1$ et lui-même parmi ses diviseurs ⁴.

Un diviseur de $36$ ne peut pas dépasser $36$, donc il n'y en a qu'un nombre fini. Les multiples de $36$ ($36, 72, 108,\ldots$) n'ont en revanche aucune limite : il y en a une infinité ⁴.

$84=2\times 42=2\times 2\times 21=2\times 2\times 3\times 7$, donc $84=2^2\times 3\times 7$.

$126=2\times 63=2\times 3\times 21=2\times 3\times 3\times 7$, donc $126=2\times 3^2\times 7$.

Facteur $2$ : puissance $2$ dans $84$, puissance $1$ dans $126$ ; on garde $2^1$.

Facteur $3$ : puissance $1$ et puissance $2$ ; on garde $3^1$. Facteur $7$ : puissance $1$ dans les deux ; on garde $7$.

Le plus grand diviseur commun est $2\times 3\times 7=42$.

On divise numérateur et dénominateur par $42$ : $\frac{84}{126}=\frac{84\div 42}{126\div 42}=\frac{2}{3}$.

Cette fraction est irréductible car $2$ et $3$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$.

$8=2^3$ : on multiplie par $5^3=125$ pour obtenir $1000$. $\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}=0{,}375$ : décimal.

$7$ est un nombre premier différent de $2$ et de $5$ : $\frac{1}{7}$ n'est pas décimal.

$25=5^2$ : on multiplie par $4$ pour obtenir $100$. $\frac{9}{25}=\frac{36}{100}=0{,}36$ : décimal.

$12=2^2\times 3$ : le facteur $3$ empêche d'atteindre une puissance de $10$. $\frac{5}{12}$ n'est pas décimal.

$40=2^3\times 5$ : on multiplie par $25$ pour obtenir $1000$. $\frac{11}{40}=\frac{275}{1000}=0{,}275$ : décimal.

$3-5=-2$ (valeur demandée à la question 1).

Les nombres $3$ et $5$ sont dans $\mathbb{N}$, mais $-2\notin\mathbb{N}$ : $\mathbb{N}$ n'est pas stable pour la soustraction.

Cette impasse explique pourquoi on passe à $\mathbb{Z}$, où la soustraction de deux entiers donne toujours un entier.

$1\div 3=\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$ : les nombres $1$ et $3$ sont dans $\mathbb{Z}$, mais $\frac{1}{3}$ n'est pas un entier : $\mathbb{Z}$ n'est pas stable pour la division.

Ce quotient n'est pas non plus décimal : son dénominateur $3$ n'est ni $2$ ni $5$, le même raisonnement sur les facteurs premiers que pour $\frac{1}{6}$ s'applique. Il appartient à $\mathbb{Q}$, ensemble des quotients d'entiers (dénominateur non nul).

$1$ n'admet que lui-même comme diviseur : un seul diviseur, donc il n'est pas premier ⁴.

$15=3\times 5$ : diviseurs $1, 3, 5, 15$, non premier.

$17$ : aucun entier entre $2$ et $4$ ne le divise ($17$ n'est multiple ni de $2$, ni de $3$, ni de $4$), donc ses seuls diviseurs sont $1$ et $17$ : premier.

$21=3\times 7$ : non premier.

$23$ : il n'est multiple ni de $2$, ni de $3$, ni de $4$ ; or $5\times 5=25>23$, il suffit de s'arrêter à $4$. Premier.

$29$ : non multiple de $2$, $3$, $4$, $5$ ; comme $6\times 6=36>29$, on s'arrête à $5$. Premier.

$33=3\times 11$ et $39=3\times 13$ : non premiers.

Somme des nombres premiers : $17+23+29=69$.

$A=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1$, donc $A\in\mathbb{N}$.

$B=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}=-0{,}5$ : écriture décimale finie, non entier, donc $B\in\mathbb{D}$.

$C=\frac{2\times 3}{3\times 2}=\frac{6}{6}=1$, donc $C\in\mathbb{N}$.

$S=A+B+C=1-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}=1{,}5$.

$1{,}5=\frac{15}{10}$ : c'est un nombre décimal, pas un entier : $S\in\mathbb{D}$.

On remarque que $A$ et $C$, des résultats de calculs sur des fractions, sont en réalité des entiers : seul le résultat final permet de classer un nombre, jamais l'apparence de l'écriture de départ.