Intervalles et inégalités : cours de 2nde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un intervalle est un ensemble de nombres réels qui vérifient une ou plusieurs inégalités ; on le note avec des crochets, tournés vers l'intérieur si la borne est incluse, vers l'extérieur sinon.¹
Une borne en $+\infty$ ou $-\infty$ n'est jamais incluse : le crochet est toujours tourné vers l'extérieur.
Pour une inégalité, on opère comme pour une équation, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
La valeur absolue $|a|$ sert à exprimer la distance entre deux réels : $|x-a|$ est la distance de $x$ à $a$ .¹
$|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\,;\,a+r]$ : l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ .¹
Pour deux conditions à la fois, on cherche l'intersection ; pour l'une ou l'autre, la réunion.

Pourquoi parler d'intervalles ?

Quand tu dis « il faut avoir au moins 15 ans pour entrer », tu ne désignes pas un nombre mais toute une famille de nombres : 15, 15,5, 16, 40… En mathématiques, on a besoin d'un langage précis pour parler de ces familles. C'est le rôle des intervalles.

Le programme de Seconde présente l'intervalle comme un ensemble de nombres qui vérifient des inégalités, et il introduit la notation de la valeur absolue pour traduire la distance entre deux nombres.¹ Ce cours suit ce fil : d'abord le vocabulaire des inégalités, puis les intervalles et leur représentation sur la droite, ensuite les calculs avec les inégalités, enfin la valeur absolue.

Tu auras besoin de ce que tu connais déjà sur les ensembles de nombres : entiers, décimaux, rationnels, puis l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, que l'on représente par une droite numérique.¹ Chaque réel correspond à un point de cette droite, et inversement. Un réel est plus petit qu'un autre quand son point est situé plus à gauche.

Les inégalités : le vocabulaire

Les intervalles de $\mathbb{R}$

DéfinitionIntervalle borné

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$ . Un intervalle de $\mathbb{R}$ est un ensemble de réels défini par des inégalités ;¹ pour deux bornes $a$ et $b$ , on distingue quatre cas :

Inégalité	Intervalle	Nom
$a\le x\le b$	$[a\,;\,b]$	fermé
$a<x<b$	$]a\,;\,b[$	ouvert
$a\le x<b$	$[a\,;\,b[$	fermé en $a$ , ouvert en $b$
$a<x\le b$	$]a\,;\,b]$	ouvert en $a$ , fermé en $b$

Le nombre $a$ est la borne inférieure et $b$ la borne supérieure.

DéfinitionIntervalles non bornés

Quand une inégalité n'a qu'une borne, l'ensemble des solutions s'étend sans limite d'un côté. On utilise alors les symboles $+\infty$ (plus l'infini) et $-\infty$ (moins l'infini) :

Inégalité	Intervalle
$x\ge a$	$[a\,;\,+\infty[$
$x>a$	$]a\,;\,+\infty[$
$x\le b$	$]-\infty\,;\,b]$
$x<b$	$]-\infty\,;\,b[$

L'ensemble de tous les réels s'écrit $]-\infty\,;\,+\infty[$ , noté aussi $\mathbb{R}$ .

Représenter un intervalle sur la droite numérique

Le programme demande de savoir représenter un intervalle sur la droite numérique, et de déterminer si un nombre réel appartient à un intervalle donné.¹ Ces deux gestes sont liés : la représentation te permet de « voir » la réponse.

Placer les bornesTrace la droite graduée et repère a et b.
Dessiner les crochetsVers l'intérieur : incluse. Vers l'extérieur : exclue.
ColorierÉpaissis la partie entre les deux bornes.
Prolonger si besoinAvec l'infini, va jusqu'au bout de la droite.

Dessiner un intervalle en 4 gestes

De l'inégalité à l'intervalle
Inégalité	Intervalle	Borne gauche	Borne droite
a ≤ x ≤ b	[a ; b]	incluse	incluse
a < x < b	]a ; b[	exclue	exclue
a ≤ x < b	[a ; b[	incluse	exclue
x ≥ a	[a ; +∞[	incluse	aucune
x < b	]-∞ ; b[	aucune	exclue

De l'inégalité à l'intervalle

Résoudre une inégalité

Résoudre une inégalité d'inconnue $x$ , c'est trouver tous les réels qui la rendent vraie. Le résultat s'écrit naturellement avec un intervalle (ou une réunion d'intervalles). La démarche rappelle celle des équations, avec une différence essentielle.

Démonstration · Pourquoi le sens s'inverse

Prenons $2<5$ . Multiplions par $-1$ : on obtient $-2$ et $-5$ . Sur la droite numérique, $-5$ est à gauche de $-2$ , donc $-5<-2$ , soit $-2>-5$ . Le sens a bien changé.

De façon générale, si $a<b$ et $c<0$ , alors $b-a>0$ et $c<0$ , donc le produit $c(b-a)$ est négatif : $cb-ca<0$ , c'est-à-dire $cb<ca$ , soit $ac>bc$ . Multiplier par un négatif « retourne » la droite numérique, ce qui échange l'ordre des nombres.

Combiner des conditions : intersection et réunion

Valeur absolue et distance

Le programme de Seconde introduit la notation $|a|$ et la distance entre deux réels.¹ L'idée est simple : sur la droite numérique, la distance entre deux points ne dépend pas du sens dans lequel on mesure. Elle est toujours positive ou nulle.

Démonstration · Pourquoi cette équivalence

$|x-a|$ est la distance entre le point $x$ et le point $a$ . Dire que cette distance est au plus $r$ , c'est dire que $x$ se trouve à au plus $r$ unités de $a$ , à droite ou à gauche. À droite, cela donne $a\le x\le a+r$ ; à gauche, $a-r\le x\le a$ . Les deux cas réunis donnent $a-r\le x\le a+r$ .

Intervalles

Notation
- Crochets
- Bornes
- Infini
Représentation
- Droite graduée
- Zone coloriée
Inégalités
- Règles de calcul
- Signe négatif
Valeur absolue
- Distance
- Centre
- Rayon
Combiner
- Intersection
- Réunion

Les intervalles en un coup d'œil

Méthode générale et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Traduire dans les deux sens

★☆☆Environ 8 min

Écris sous forme d'intervalle : a) $x\ge -1$ ; b) $x<4$ ; c) $-3<x\le 2$ ; d) $0\le x\le 10$ .
Écris sous forme d'inégalité : a) $]-\infty\,;\,6]$ ; b) $[2\,;\,7[$ ; c) $]-5\,;\,-1[$ .

Indice 1

Regarde si l'inégalité est stricte ou large pour choisir le sens du crochet.

Indice 2

Pour une borne infinie, le crochet est toujours tourné vers l'extérieur.

Voir la correction pas à pas

1.a) $x\ge-1$ : la borne $-1$ est incluse et il n'y a pas de borne à droite, donc $[-1\,;\,+\infty[$ .
1.b) $x<4$ : la borne $4$ est exclue, donc $]-\infty\,;\,4[$ .
1.c) $-3<x\le2$ : $-3$ exclu, $2$ inclus, donc $]-3\,;\,2]$ .
1.d) $0\le x\le10$ : deux bornes incluses, donc $[0\,;\,10]$ .
2.a) $]-\infty\,;\,6]$ : la borne $6$ est incluse, donc $x\le6$ .
2.b) $[2\,;\,7[$ : $2$ inclus, $7$ exclu, donc $2\le x<7$ .
2.c) $]-5\,;\,-1[$ : deux bornes exclues, donc $-5<x<-1$ .

Chaque crochet traduit une inégalité stricte (extérieur) ou large (intérieur).

Exercice 2 Une distance sur la droite

★☆☆Environ 5 min

Calcule la distance, en unités, entre les points d'abscisses $-4{,}5$ et $2$ sur la droite numérique.

Indice 1

La distance entre $a$ et $b$ est $|a-b|$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la distance : $|-4{,}5-2|$ .
On calcule la différence : $-4{,}5-2=-6{,}5$ .
On prend la valeur absolue : $|-6{,}5|=6{,}5$ .

Les deux points sont distants de $6{,}5$ unités. Calculer $|2-(-4{,}5)|$ donne le même résultat.

Exercice 3 Centre et rayon

★★☆Environ 10 min

On considère l'intervalle $I=[-2\,;\,8]$ .

Détermine le centre $a$ et le rayon $r$ de $I$ .
Écris $x\in I$ à l'aide d'une valeur absolue.
Que vaut le rayon, en unités ?

Indice 1

Le centre est le milieu des deux bornes.

Indice 2

Le rayon est la moitié de la longueur de l'intervalle.

Voir la correction pas à pas

Centre : $a=\dfrac{-2+8}{2}=3$ .
Rayon : $r=\dfrac{8-(-2)}{2}=\dfrac{10}{2}=5$ .
Contrôle : $a-r=3-5=-2$ et $a+r=3+5=8$ , ce sont bien les bornes.
On écrit donc $x\in I\iff|x-3|\le5$ .

L'intervalle $[-2\,;\,8]$ est l'ensemble des réels situés à une distance d'au plus $5$ du réel $3$ .

Exercice 4 Deux inégalités à la fois

★★☆Environ 12 min

Résous séparément, puis détermine les réels $x$ qui vérifient à la fois :

$4-3x>10 \qquad\text{et}\qquad 2x+9\ge -1.$

Donne le résultat sous forme d'intervalle.

Indice 1

Dans la première inégalité, tu vas diviser par un nombre négatif.

Indice 2

La réponse finale est une intersection.

Voir la correction pas à pas

Première inégalité : $4-3x>10$ donne $-3x>6$ en soustrayant $4$ .
On divise par $-3$ (négatif), le sens s'inverse : $x<-2$ , soit $]-\infty\,;\,-2[$ .
Seconde inégalité : $2x+9\ge-1$ donne $2x\ge-10$ en soustrayant $9$ .
On divise par $2$ (positif) : $x\ge-5$ , soit $[-5\,;\,+\infty[$ .
Les deux conditions doivent être vraies : on prend l'intersection $]-\infty\,;\,-2[\,\cap\,[-5\,;\,+\infty[$ .
Il faut $-5\le x<-2$ : $-5$ est inclus, $-2$ est exclu.

L'ensemble des solutions est $[-5\,;\,-2[$ . Test : $x=-3$ donne $4+9=13>10$ et $-6+9=3\ge-1$ , les deux sont vraies.

Exercice 5 Intersection et réunion

★★★Environ 12 min

Soient $A=[-3\,;\,5[$ et $B=]1\,;\,9]$ .

Détermine $A\cap B$ .
Détermine $A\cup B$ .
Le nombre $5$ appartient-il à $A\cap B$ ? à $A\cup B$ ?

Indice 1

Dessine les deux intervalles sur deux droites superposées.

Indice 2

Examine chaque borne séparément.

Voir la correction pas à pas

Pour $A\cap B$ , il faut $-3\le x<5$ et $1<x\le9$ .
La condition la plus restrictive à gauche est $x>1$ ; à droite, c'est $x<5$ .
Donc $A\cap B=]1\,;\,5[$ .
Pour $A\cup B$ : $-3\in A$ , $9\in B$ , et les deux intervalles se chevauchent sur $]1\,;\,5[$ , donc il n'y a pas de trou.
Le réel $5$ n'est pas dans $A$ (borne exclue) mais est dans $B$ : on a $A\cup B=[-3\,;\,9]$ .
Pour la question 3 : $5\notin A$ , donc $5\notin A\cap B$ ; mais $5\in B$ , donc $5\in A\cup B$ .

$A\cap B=]1\,;\,5[$ et $A\cup B=[-3\,;\,9]$ . Seul le contrôle des bornes une à une permet de répondre à la question 3.

Exercice 6 Une tolérance de température

★★★Environ 10 min

Un thermostat règle une pièce à $19\,°\mathrm{C}$ . Le chauffage reste éteint tant que la température $T$ vérifie $|T-19|\le1{,}5$ .

Écris l'ensemble des températures concernées sous forme d'intervalle.
Quelle est la température maximale, en °C, pour laquelle le chauffage reste éteint ?
Le chauffage est-il éteint à $17{,}2\,°\mathrm{C}$ ?

Indice 1

Le centre est $19$ et le rayon est $1{,}5$ .

Indice 2

Pour la question 3, compare $17{,}2$ avec la borne inférieure.

Voir la correction pas à pas

La condition $|T-19|\le1{,}5$ décrit les températures à au plus $1{,}5$ de $19$ .
La borne inférieure est $19-1{,}5=17{,}5$ et la borne supérieure est $19+1{,}5=20{,}5$ .
On obtient l'intervalle $[17{,}5\,;\,20{,}5]$ .
La température maximale est donc $20{,}5\,°\mathrm{C}$ .
Pour $17{,}2$ : $17{,}2<17{,}5$ , donc $17{,}2\notin[17{,}5\,;\,20{,}5]$ .
Autre vérification : $|17{,}2-19|=1{,}8>1{,}5$ .

Le chauffage reste éteint pour $T\in[17{,}5\,;\,20{,}5]$ ; à $17{,}2\,°\mathrm{C}$ , il se met en marche.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois mettre un crochet ouvert ou fermé ?

Regarde le symbole de l'inégalité. Avec $<$ ou $>$ (strict), la borne est exclue : crochet tourné vers l'extérieur. Avec $\le$ ou $\ge$ , la borne est incluse : crochet tourné vers l'intérieur. Pour $+\infty$ et $-\infty$ , c'est toujours vers l'extérieur.

Pourquoi le sens de l'inégalité change quand je divise par un négatif ?

Multiplier par un nombre négatif retourne la droite numérique : ce qui était à gauche passe à droite. Par exemple $2<5$ , mais $-2>-5$ . Pour être sûr de ne pas te tromper, teste ta réponse avec un nombre.

Quelle différence entre $|x-a|\le r$ et un intervalle ?

Ce sont deux écritures du même ensemble : $|x-a|\le r$ dit que $x$ est à une distance d'au plus $r$ de $a$ , et $[a-r\,;\,a+r]$ liste les bornes. Le centre est $a$ , le rayon est $r$ , comme le prévoit le programme de Seconde.¹

Que faire quand deux conditions sont données en même temps ?

Quand une phrase contient « et », on cherche les réels qui vérifient les deux conditions : c'est l'intersection. Quand elle contient « ou », on cherche ceux qui vérifient au moins l'une des deux : c'est la réunion. Dessiner les deux intervalles sur la droite évite la plupart des erreurs.

Est-ce que $+\infty$ est un nombre ?

Non. $+\infty$ et $-\infty$ sont des symboles qui indiquent que l'intervalle continue sans limite. Comme ce ne sont pas des réels, ils n'appartiennent jamais à un intervalle de $\mathbb{R}$ : on les écrit toujours avec un crochet tourné vers l'extérieur.

Sources

Annexe programme de mathématiques Seconde - Eduscol, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Programme de mathématiques Seconde (PDF complet), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Cours Intervalles Inéquations 2nde - Académie de Normandie, Académie de Normandie. Consulté le 9 novembre 2026.
Intervalle de confiance, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Inégalité de Markov, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Les intervalles de $\mathbb{R}$

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Résoudre une inégalité

Combiner des conditions : intersection et réunion

Valeur absolue et distance

Méthode générale et erreurs à éviter

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Exercice 2 Une distance sur la droite

Exercice 3 Centre et rayon

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Exercice 5 Intersection et réunion

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Quiz

Les questions qu'on se pose

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