Intervalles et inégalités : exercices corrigés de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un intervalle est un ensemble de nombres réels qui vérifient des inégalités ; le crochet est tourné vers l'intérieur si la borne est incluse, vers l'extérieur sinon.¹
Les bornes $-\infty$ et $+\infty$ ont toujours un crochet ouvert.
Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
$|x-a|$ est la distance entre $x$ et $a$ ; $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\,;\,a+r]$ .¹
Pour une intersection, on garde ce qui est commun ; pour une réunion, tout ce qui appartient à l'un ou à l'autre.

Comment utiliser ces exercices

Les exercices sont classés du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul, sur ton cahier, avec un brouillon de droite numérique : dessiner l'ensemble évite beaucoup d'erreurs. Si tu bloques, ouvre un indice, puis seulement après la correction. Compare chaque étape à ta propre rédaction, pas seulement le résultat final.

À retenirLe rappel indispensable

Un intervalle est un ensemble de nombres réels qui vérifient des inégalités.¹

Inégalité	Intervalle
$a\le x\le b$	$[a\,;\,b]$
$a< x< b$	$]a\,;\,b[$
$a\le x< b$	$[a\,;\,b[$
$x\ge a$	$[a\,;\,+\infty[$
$x< b$	$]-\infty\,;\,b[$

Le crochet est fermé (tourné vers le nombre) quand la borne est comprise, ouvert (tourné vers l'extérieur) quand elle est exclue. Devant $\pm\infty$ , il est toujours ouvert, car l'infini n'est pas un nombre.

Les exercices

Exercice 1 Traduire des inégalités en intervalles

★☆☆Environ 5 min

Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ qui vérifient :

$x>2$
$x\le -3$
$-2< x<3$
$-1\le x< 5$

Indice 1

Regarde si la borne est comprise (signe $\le$ ou $\ge$ ) ou exclue (signe $<$ ou $>$ ).

Indice 2

Pour $x>2$ , il n'y a pas de borne à droite : utilise $+\infty$ .

Voir la correction pas à pas

1. $x>2$ : la borne 2 est exclue et il n'y a pas de limite à droite. On écrit $]2\,;\,+\infty[$ .
1. $x\le -3$ : la borne $-3$ est comprise, à gauche il n'y a pas de limite. On écrit $]-\infty\,;\,-3]$ .
1. $-2<x<3$ : les deux bornes sont exclues. On écrit $]-2\,;\,3[$ .
1. $-1\le x<5$ : $-1$ est compris, 5 est exclu. On écrit $[-1\,;\,5[$ .

Chaque crochet traduit un signe : large ( $\le$ , $\ge$ ) donne un crochet fermé, strict ( $<$ , $>$ ) donne un crochet ouvert.

Exercice 2 Appartenance à un intervalle

★☆☆Environ 6 min

On considère l'intervalle $I=\left[2\,;\,\dfrac{5}{2}\right[$ . Parmi les nombres $2$ , $\sqrt5$ , $\dfrac{7}{3}$ , $\dfrac52$ et $\pi$ , lesquels appartiennent à $I$ ?

Indice 1

Passe tout en écriture décimale approchée : $\dfrac52=2{,}5$ , $\sqrt5\approx 2{,}236$ .

Indice 2

Fais attention à la borne $\dfrac52$ : le crochet est ouvert.

Voir la correction pas à pas

1. L'intervalle $I$ contient les réels $x$ tels que $2\le x<2{,}5$ .
1. $2$ : borne gauche comprise, donc $2\in I$ .
1. $\sqrt5\approx 2{,}236$ : $2\le 2{,}236<2{,}5$ , donc $\sqrt5\in I$ . On peut le justifier exactement : $4\le5<6{,}25$ , d'où $2\le\sqrt5<2{,}5$ .
1. $\dfrac73\approx 2{,}33$ : $2\le 2{,}33<2{,}5$ , donc $\dfrac73\in I$ .
1. $\dfrac52=2{,}5$ : la borne est exclue, donc $\dfrac52\notin I$ .
1. $\pi\approx3{,}14>2{,}5$ , donc $\pi\notin I$ .

Les nombres $2$ , $\sqrt5$ et $\dfrac73$ appartiennent à $I$ ; $\dfrac52$ et $\pi$ n'y appartiennent pas.

Exercice 3 Résoudre une inéquation du premier degré

★☆☆Environ 6 min

Résous l'inéquation $3x-5\le 7$ et donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. Indique la borne de cet intervalle.

Indice 1

Commence par ajouter 5 aux deux membres.

Indice 2

Tu divises par 3, un nombre positif : le sens ne change pas.

Voir la correction pas à pas

1. On ajoute 5 aux deux membres : $3x\le 12$ .
1. On divise par $3$ , positif, donc le sens est conservé : $x\le 4$ .
1. L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,4]$ .
1. Vérification : pour $x=4$ , $3\times4-5=7\le7$ est vrai ; pour $x=5$ , $3\times5-5=10>7$ , donc 5 n'est pas solution.

Les solutions sont $]-\infty\,;\,4]$ ; la borne est $4$ , et elle est incluse.

Exercice 4 Inéquation avec un coefficient négatif

★★☆Environ 7 min

Résous l'inéquation $-2x+3>9$ et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. Quelle est la borne ?

Indice 1

Soustrais d'abord 3 aux deux membres.

Indice 2

Tu vas diviser par $-2$ : que devient le sens de l'inégalité ?

Voir la correction pas à pas

1. On soustrait 3 aux deux membres : $-2x>6$ .
1. On divise par $-2$ , un nombre négatif : le sens s'inverse, donc $x<-3$ .
1. L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,-3[$ , avec un crochet ouvert car l'inégalité est stricte.
1. Test : $x=-4$ donne $-2\times(-4)+3=11>9$ , vrai ; $x=0$ donne $3>9$ , faux ; $x=-3$ donne $9>9$ , faux, ce qui confirme que $-3$ est exclu.

Les solutions sont $]-\infty\,;\,-3[$ ; la borne est $-3$ .

Exercice 5 Intersection et réunion

★★☆Environ 8 min

Soit $A=[-2\,;\,3[$ et $B=]0\,;\,5]$ . Détermine $A\cap B$ et $A\cup B$ .

Indice 1

Place $A$ et $B$ sur une même droite numérique avec deux couleurs.

Indice 2

Pour l'intersection, regarde la partie où les deux traits se superposent, et le crochet de chaque extrémité.

Voir la correction pas à pas

1. $x\in A\cap B$ signifie $-2\le x<3$ et $0<x\le5$ .
1. La borne gauche la plus restrictive est $0$ (exclue pour $B$ ) ; la borne droite la plus restrictive est $3$ (exclue pour $A$ ).
1. Donc $A\cap B=]0\,;\,3[$ .
1. $x\in A\cup B$ signifie $x$ dans $A$ ou dans $B$ . Comme $A$ et $B$ se chevauchent, leur réunion forme un seul morceau.
1. Le plus petit élément est $-2$ (compris, dans $A$ ) et le plus grand est $5$ (compris, dans $B$ ), donc $A\cup B=[-2\,;\,5]$ .

$A\cap B=]0\,;\,3[$ et $A\cup B=[-2\,;\,5]$ .

Exercice 6 Double inégalité

★★☆Environ 8 min

Résous $-1\le 2x+3<9$ et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Indice 1

Traite les trois membres en même temps : retire 3 partout.

Indice 2

Divise ensuite partout par 2, qui est positif.

Voir la correction pas à pas

1. On soustrait 3 à chaque membre : $-4\le 2x<6$ .
1. On divise chaque membre par $2$ (positif, le sens est conservé) : $-2\le x<3$ .
1. L'ensemble des solutions est $[-2\,;\,3[$ .
1. Test : $x=-2$ donne $2\times(-2)+3=-1$ , et $-1\le-1$ est vrai ; $x=3$ donne $9$ , et $9<9$ est faux, donc 3 est exclu.

Les solutions forment l'intervalle $[-2\,;\,3[$ .

Exercice 7 Valeur absolue et distance

★★★Environ 10 min

Traduis $|x-3|\le 2$ par une phrase sur les distances, puis écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Calcule la longueur de cet intervalle.
Résous de même $|x+1|<3$ .

Indice 1

$|x-3|$ est la distance entre $x$ et 3 sur la droite numérique.

Indice 2

Pour $|x+1|$ , écris $x+1=x-(-1)$ : le centre est $-1$ .

Voir la correction pas à pas

1. $|x-3|\le2$ signifie que la distance entre $x$ et $3$ est au plus égale à $2$ .¹
1. Les nombres à distance au plus 2 de 3 vont de $3-2=1$ à $3+2=5$ : l'ensemble des solutions est $[1\,;\,5]$ , les bornes étant comprises car l'inégalité est large.
1. Longueur : $5-1=4$ . On retrouve $2\times r$ avec $r=2$ .
1. $|x+1|<3$ s'écrit $|x-(-1)|<3$ : on cherche les réels à distance strictement inférieure à 3 de $-1$ .
1. Les bornes sont $-1-3=-4$ et $-1+3=2$ , exclues car l'inégalité est stricte : $]-4\,;\,2[$ .

$|x-3|\le2$ équivaut à $x\in[1\,;\,5]$ , de longueur $4$ ; $|x+1|<3$ équivaut à $x\in]-4\,;\,2[$ . Dans les deux cas, le centre est le milieu de l'intervalle.

Exercice 8 Un problème de budget

★★★Environ 10 min

Une salle de sport demande 12 € d'inscription, puis 2,50 € par séance. Léa dispose d'un budget maximal de 40 €. On note $n$ le nombre de séances.

Écris une inéquation qui traduit la situation.
Résous-la.
Combien de séances Léa peut-elle faire au maximum ?

Indice 1

Le coût total pour $n$ séances est $12+2{,}5\,n$ .

Indice 2

Le nombre de séances est un entier : attention à l'arrondi final.

Voir la correction pas à pas

1. Le coût total est $12+2{,}5\,n$ euros, et il doit être inférieur ou égal à 40 : $12+2{,}5\,n\le40$ .
1. On soustrait 12 : $2{,}5\,n\le28$ .
1. On divise par $2{,}5$ , positif : $n\le\dfrac{28}{2{,}5}=11{,}2$ .
1. Comme $n$ est un entier naturel, les valeurs possibles sont $0,1,\dots,11$ .
1. Vérification : pour $n=11$ , le coût est $12+27{,}5=39{,}5$ € (acceptable) ; pour $n=12$ , il vaut $12+30=42$ € (dépassement).

Léa peut faire au maximum 11 séances. On arrondit par défaut : 12 séances dépasseraient le budget.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois ouvrir ou fermer le crochet ?

Regarde le signe de l'inégalité. Avec $\le$ ou $\ge$ , la borne est comprise : crochet fermé, tourné vers le nombre. Avec $<$ ou $>$ , la borne est exclue : crochet ouvert, tourné vers l'extérieur. Pour $+\infty$ et $-\infty$ , le crochet est toujours ouvert.

Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand je divise par un nombre négatif ?

Multiplier par un nombre négatif retourne la droite numérique : ce qui était à gauche passe à droite. Par exemple, $2<5$ mais $-2\times2=-4$ est plus grand que $-2\times5=-10$ . Teste toujours avec un nombre simple pour vérifier.

Quelle différence entre réunion et intersection ?

L'intersection $A\cap B$ regroupe les nombres qui sont dans $A$ et dans $B$ : c'est la zone commune. La réunion $A\cup B$ regroupe ceux qui sont dans $A$ ou dans $B$ . Dessiner les deux ensembles sur une droite numérique rend la réponse visible.

Sources

Annexe programme de mathématiques Seconde - Eduscol, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Programme de mathématiques Seconde (PDF complet), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Cours Intervalles Inéquations 2nde - Académie de Normandie, Académie de Normandie. Consulté le 9 novembre 2026.
Intervalle de confiance, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Inégalité de Markov, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Traduire des inégalités en intervalles

Exercice 2 Appartenance à un intervalle

Exercice 3 Résoudre une inéquation du premier degré

Exercice 4 Inéquation avec un coefficient négatif

Exercice 5 Intersection et réunion

Exercice 6 Double inégalité

Exercice 7 Valeur absolue et distance

Exercice 8 Un problème de budget

Les questions qu'on se pose

Sources

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