Multiples, diviseurs et parité : cours de Seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un entier $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$ ; on dit alors que $b$ divise $a$ et que $b$ est un diviseur de $a$ .
Un entier est pair s'il s'écrit $2k$ , impair s'il s'écrit $2k+1$ , avec $k$ entier ; un entier est soit l'un, soit l'autre, jamais les deux.
Critères : par 2 (dernier chiffre pair), par 5 (0 ou 5), par 10 (0), par 3 ou 9 (somme des chiffres multiple de 3 ou de 9).
Si $d$ divise $a$ et $b$ , alors $d$ divise $a+b$ , $a-b$ et tout $ma + nb$ ; si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ , alors $a$ divise $c$ .
Pour justifier : écrire la forme $k \times b$ , ou poser $n = 2k$ / $n = 2k+1$ et calculer.

Pourquoi revoir multiples, diviseurs et parité

Tu as déjà croisé les multiples et les diviseurs avant le lycée : les tables de multiplication en sont la première rencontre, et c'est au cycle 3 que l'élève découvre ces deux notions ³. En Seconde, il ne suffit plus de « voir » qu'un nombre en divise un autre : tu apprends à le justifier avec une écriture précise, puis à t'en servir pour démontrer des propriétés vraies pour tous les entiers.

Le programme de Seconde reprend ces notions pour les remobiliser ². Les tests de positionnement de début de Seconde vérifient que tu connais les définitions de multiple, de diviseur, de nombre pair et de nombre impair ¹. Les rappels du cycle 4 sur la divisibilité servent de point de départ ³. On te demandera par exemple de décider si un entier est, ou non, un multiple ou un diviseur d'un autre entier ⁴. Les exercices de remise à niveau insistent aussi sur le bon emploi du vocabulaire « multiple » et « diviseur » ¹. Ce cours te donne les outils pour répondre proprement : définitions, critères rapides, propriétés, et rédaction d'une preuve.

Multiples et diviseurs : la définition

La définition dit la même chose de deux façons : « $a$ est un multiple de $b$ » et « $b$ est un diviseur de $a$ » sont deux phrases pour une seule réalité. Prends l'habitude de passer de l'une à l'autre.

Un test pratique, quand $b \neq 0$ : $b$ divise $a$ si et seulement si la division de $a$ par $b$ tombe juste, c'est-à-dire que le quotient est un entier et que le reste est nul.

Trouver les diviseurs d'un entier

Les critères de divisibilité

Un critère de divisibilité permet de savoir si un entier est divisible par un autre sans poser la division. Ils servent à répondre vite à des questions du type « $3$ est-il un diviseur de $546$ ? » ⁴. Tu les as rencontrés au collège (cycle 4) ³ ; en Seconde, tu dois aussi savoir les justifier quand on te le demande.

PropriétéCritères usuels

Soit $n$ un entier écrit en base dix.

Diviseur	Critère
$2$	le chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$
$5$	le chiffre des unités est $0$ ou $5$
$10$	le chiffre des unités est $0$
$3$	la somme des chiffres est un multiple de $3$
$9$	la somme des chiffres est un multiple de $9$

Démonstration · Pourquoi le critère de $9$ fonctionne (cas d'un nombre à trois chiffres)

Soit $n = 100a + 10b + c$ avec $a, b, c$ les chiffres. On réécrit :

$n = 99a + 9b + (a + b + c) = 9(11a + b) + (a + b + c).$

Le terme $9(11a+b)$ est un multiple de $9$ . Donc $n$ est un multiple de $9$ si et seulement si $a + b + c$ en est un. C'est le critère de la somme des chiffres.

Le même calcul avec $3$ à la place de $9$ donne le critère de $3$ , car tout multiple de $9$ est aussi un multiple de $3$ : $9(11a+b) = 3 \times 3(11a+b)$ .

Propriétés des multiples et des diviseurs

Démonstration · Démonstration des propriétés

Supposons que $d$ divise $a$ et $b$ : il existe des entiers $k$ et $l$ tels que $a = kd$ et $b = ld$ . Alors

$ma + nb = mkd + nld = (mk + nl)\,d.$

Comme $mk + nl$ est un entier, $d$ divise $ma + nb$ . En prenant $m = n = 1$ puis $m = 1,\ n = -1$ , on obtient la somme et la différence.

Pour la transitivité, si $b = ka$ et $c = lb$ , alors $c = l(ka) = (lk)\,a$ , et $lk$ est un entier.

Pair, impair : la parité

PropriétéRègles de parité

Opération	Résultat
pair $+$ pair	pair
impair $+$ impair	pair
pair $+$ impair	impair
pair $\times$ n'importe quel entier	pair
impair $\times$ impair	impair

Démonstration · Impair fois impair est impair

Soient $a = 2k + 1$ et $b = 2l + 1$ deux entiers impairs. Alors

$ab = (2k+1)(2l+1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1.$

Comme $2kl + k + l$ est un entier, $ab$ est de la forme $2m + 1$ : il est impair.

Rédiger une justification complète

Exercices corrigés

Exercice 1 Compter les diviseurs de 84

★☆☆Environ 8 min

Détermine tous les diviseurs positifs de $84$ , puis indique combien il y en a.

Indice 1

Teste les entiers de $1$ à $9$ seulement : $9 \times 9 = 81$ et $10 \times 10 = 100 > 84$ .

Indice 2

Pour chaque diviseur $d$ trouvé, note aussi $84 \div d$ .

Voir la correction pas à pas

On teste $d = 1, 2, \dots, 9$ et on note les partenaires : $1 \times 84$ , $2 \times 42$ , $3 \times 28$ , $4 \times 21$ , $6 \times 14$ , $7 \times 12$ .
Les valeurs $5$ , $8$ et $9$ ne conviennent pas : $84 \div 5 = 16{,}8$ ; $84 \div 8 = 10{,}5$ ; $84 \div 9$ n'est pas entier car $8+4=12$ n'est pas multiple de $9$ .
On range les diviseurs : $1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84$ .
On les compte : il y a $12$ diviseurs.

Le nombre $84$ possède 12 diviseurs positifs. Les six produits trouvés donnent chacun deux diviseurs, d'où $6 \times 2 = 12$ .

Exercice 2 Le chiffre manquant

★★☆Environ 8 min

Le nombre $4\square6$ est écrit avec un chiffre inconnu $\square$ (un chiffre de $0$ à $9$ ). Quel chiffre faut-il écrire pour que ce nombre soit un multiple de $9$ ?

Indice 1

Utilise le critère de la somme des chiffres.

Indice 2

La somme $4 + \square + 6$ est comprise entre $10$ et $19$ .

Voir la correction pas à pas

Notons $x$ le chiffre manquant. La somme des chiffres est $4 + x + 6 = 10 + x$ .
Le nombre est multiple de $9$ si et seulement si $10 + x$ est multiple de $9$ .
Comme $0 \le x \le 9$ , on a $10 \le 10 + x \le 19$ . Le seul multiple de $9$ dans cet intervalle est $18$ .
Donc $10 + x = 18$ , soit $x = 8$ .
Vérification : $486 = 9 \times 54$ .

Le chiffre cherché est 8 : le nombre $486$ est bien un multiple de $9$ , et c'est le seul choix possible.

Exercice 3 Le plus petit multiple supérieur à 1 000

★★☆Environ 7 min

Quel est le plus petit multiple de $7$ strictement supérieur à $1\,000$ ?

Indice 1

Divise $1\,000$ par $7$ et regarde le quotient entier.

Indice 2

Encadre $1\,000$ entre deux multiples consécutifs de $7$ .

Voir la correction pas à pas

On effectue la division : $1\,000 = 7 \times 142 + 6$ .
Donc $7 \times 142 = 994$ est inférieur à $1\,000$ (il manque $6$ pour atteindre $1\,000$ ).
Le multiple suivant est $7 \times 143 = 994 + 7 = 1\,001$ .
On encadre : $994 < 1\,000 < 1\,001$ , avec $994$ et $1\,001$ multiples consécutifs de $7$ .

Le plus petit multiple de $7$ strictement supérieur à $1\,000$ est 1 001.

Exercice 4 Somme de deux impairs consécutifs

★★★Environ 10 min

Démontre que la somme de deux entiers impairs consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent dans la liste des impairs, comme $7$ et $9$ ) est toujours un multiple de $4$ .

Indice 1

Si le premier impair est $2k+1$ , quel est le suivant ?

Indice 2

Factorise la somme par $4$ .

Voir la correction pas à pas

Soit $n = 2k + 1$ un entier impair, avec $k$ entier. L'impair suivant est $n + 2 = 2k + 3$ .
On calcule la somme : $(2k+1) + (2k+3) = 4k + 4$ .
On factorise : $4k + 4 = 4(k+1)$ .
Comme $k + 1$ est un entier, la somme est un multiple de $4$ .

La somme de deux impairs consécutifs est toujours de la forme $4 \times (\text{entier})$ : c'est un multiple de $4$ . Exemple : $7 + 9 = 16 = 4 \times 4$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre « diviseur » et « multiple » ?

C'est le même lien lu dans deux sens. Si $a = k \times b$ avec $k$ entier, alors $a$ est un multiple de $b$ et $b$ est un diviseur de $a$ . Exemple : $35 = 5 \times 7$ , donc $35$ est multiple de $5$ et $5$ divise $35$ . Pour ne pas te tromper, écris l'égalité et regarde quel nombre est le produit.

Le nombre $0$ est-il pair ?

Oui. Il s'écrit $0 = 2 \times 0$ , donc il est multiple de $2$ avec $k = 0$ . La définition d'un nombre pair s'applique sans exception. Le nombre $0$ est aussi multiple de tous les entiers, mais il ne divise aucun entier autre que $0$ .

Comment savoir vite si un grand nombre est divisible par 3 ou par 9 ?

Additionne ses chiffres. Si le total est un multiple de $3$ , le nombre est divisible par $3$ ; si le total est un multiple de $9$ , le nombre est divisible par $9$ . Si le total est encore grand, recommence sur ce total. Exemple : $7\,893$ donne $7+8+9+3 = 27$ , multiple de $9$ ; donc $7\,893$ est divisible par $9$ et par $3$ .

Peut-on justifier qu'un nombre est pair ou impair avec un exemple ?

Pour un nombre précis, oui : $578$ se termine par $8$ , il est pair. Mais pour démontrer une propriété qui concerne tous les entiers (par exemple « le carré d'un impair est impair »), un exemple ne suffit pas. Il faut poser $n = 2k$ ou $n = 2k+1$ avec $k$ entier et calculer. Un exemple suffit seulement pour montrer qu'une affirmation générale est fausse (un contre-exemple).

Pourquoi s'arrêter à la racine carrée quand on cherche les diviseurs ?

Parce que les diviseurs vont par paires : si $n = d \times e$ avec $d \le e$ , alors $d \times d \le n$ . Tu trouves donc chaque petit diviseur $d$ en testant jusqu'à ce que $d \times d$ dépasse $n$ , et tu obtiens le grand diviseur $e$ en calculant $n \div d$ . Pour $n = 84$ , tester jusqu'à $9$ suffit.

Sources

Tests de positionnement - Flash questions multiples, diviseurs et parité, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Multiples et diviseurs, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources flash - Divisibilité et critères de divisibilité, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Accompagnement pédagogique - Nombres et calculs (Seconde), Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.

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