Multiples, diviseurs et parité : exercices de 2de

On cherche un entier $k$ tel que $7 \times k = 91$.

On divise : $91 \div 7 = 13$, et le reste est $0$.

Vérification : $7 \times 13 = 70 + 21 = 91$.

Donc $91 = 7 \times 13$ avec $13$ entier.

On teste les entiers de $1$ à $6$, car $6 \times 6 = 36$ : au-delà, on retrouverait les mêmes produits dans l'autre sens.

$1 \times 36 = 36$ : diviseurs $1$ et $36$.

$2 \times 18 = 36$ : diviseurs $2$ et $18$.

$3 \times 12 = 36$ : diviseurs $3$ et $12$.

$4 \times 9 = 36$ : diviseurs $4$ et $9$.

$5$ ne convient pas ($36 = 5 \times 7 + 1$). $6 \times 6 = 36$ : le diviseur $6$ n'est compté qu'une fois.

On range la liste : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.

On calcule $12 \times 8 = 96$ : c'est inférieur à $100$, il ne convient pas.

$12 \times 9 = 108$ : c'est le premier multiple dans l'intervalle.

On ajoute $12$ à chaque fois : $108$, $120$, $132$, $144$.

Le suivant est $156$, qui dépasse $150$ : on s'arrête.

On compte : $108, 120, 132, 144$.

Stylos bleus : $14 \times 7 = 98$, donc $98 \div 14 = 7$ avec un reste nul.

Stylos noirs : $21 \times 5 = 105$, donc $105 \div 21 = 5$ avec un reste nul.

Les restes sont nuls : $14$ divise $98$ et $21$ divise $105$, donc tous les paquets sont complets.

Total des paquets : $7 + 5 = 12$.

Question 1 : $546 = 3 \times 182$, car $3 \times 180 = 540$ et $3 \times 2 = 6$, soit $540 + 6 = 546$.

Comme $182$ est entier, $3$ divise $546$.

Question 2 : $9 \times 50 = 450$ et $9 \times 51 = 459$.

On a $450 < 456 < 459$ : $456$ est strictement entre deux multiples consécutifs de $9$, donc ce n'est pas un multiple de $9$.

Le reste est $456 - 450 = 6$, et $6 < 9$ : on a bien $456 = 9 \times 50 + 6$.

Question 1 : soient $a = 2k+1$ et $b = 2m+1$, avec $k$ et $m$ entiers.

$a + b = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)$.

$k + m + 1$ est un entier, donc $a + b$ est de la forme $2 \times$ entier : il est pair.

Question 2 : soit $n = 2k+1$ avec $k$ entier.

$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$, donc $n^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 2$.

On factorise : $n^2 + 1 = 2(2k^2 + 2k + 1)$.

$2k^2 + 2k + 1$ est un entier : $n^2 + 1$ est pair.

Multiples de $12$ : $12, 24, 36, 48, \dots$

Multiples de $18$ : $18, 36, 54, \dots$

Le premier nombre commun (hors $0$) est $36$.

Contrôle : $36 = 12 \times 3$ et $36 = 18 \times 2$.

Aucun multiple commun plus petit : $12$ et $24$ ne sont pas multiples de $18$, et $18$ n'est pas multiple de $12$.

Diviseurs de $84$ : $1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84$.

On teste chacun sur $126$ : $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$ divisent $126$ ; $4$, $12$, $28$ et $84$ ne le divisent pas (par exemple $126 = 4 \times 31 + 2$).

Les diviseurs communs sont donc $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$.

Le plus grand est $42$.

Nombre de carreaux dans la longueur : $126 \div 42 = 3$ ; dans la largeur : $84 \div 42 = 2$.

Total : $3 \times 2 = 6$ carreaux.

Hypothèses : il existe des entiers $k$ et $l$ tels que $b = ak$ et $c = al$.

Question 1 : $b + c = ak + al = a(k + l)$. Comme $k + l$ est entier, $a$ divise $b + c$.

Question 2 : $3b - 5c = 3ak - 5al = a(3k - 5l)$. Comme $3k - 5l$ est entier, $a$ divise $3b - 5c$.

Question 3 : $343 = 7 \times 49$ et $1\,407 = 7 \times 201$ ($7 \times 200 = 1\,400$, plus $7$).

D'après la question 1 avec $a = 7$, $7$ divise $343 + 1\,407$.

Vérification : $343 + 1\,407 = 1\,750 = 7 \times 250$.