Puissances et racines carrées : cours de Seconde

Les puissances et les racines carrées servent à écrire des nombres très grands, très petits, ou des longueurs que les entiers et les fractions ne suffisent pas à exprimer. Elles reviennent partout en Seconde : calculs d'aires et de volumes, fonctions, équations, physique-chimie, ordres de grandeur.

Ces deux notions sont liées : élever au carré, c'est une puissance ; prendre la racine carrée, c'est l'opération qui « défait » ce carré pour un nombre positif. Tu vas donc les voir ensemble, en partant de ce que tu connais déjà sur les ensembles de nombres, les intervalles et les inégalités.

Le plan est le suivant : on commence par les puissances entières (définition, exposants négatifs, règles), puis on passe aux puissances de 10 et aux ordres de grandeur, avant d'attaquer les racines carrées (définition, propriétés, simplification, dénominateurs) et de finir par les erreurs classiques.

Pourquoi cette convention ? Regarde la suite $2^3=8$, $2^2=4$, $2^1=2$ : à chaque cran qui diminue l'exposant de 1, le résultat est divisé par 2. En continuant, on trouve $2^0=1$, puis $2^{-1}=\dfrac12$, puis $2^{-2}=\dfrac14$. Les définitions de $a^0$ et de $a^{-n}$ ne sont donc pas arbitraires : elles prolongent la régularité des puissances positives, et c'est ce qui permet de garder les mêmes règles de calcul.

Les puissances de 10 sont le cas le plus utilisé. On a $10^3=1000$, $10^0=1$, $10^{-1}=0{,}1$, $10^{-3}=0{,}001$. Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n>0$, vers la gauche si $n<0$.

L'ordre de grandeur d'une quantité est la puissance de 10 la plus proche de cette quantité.³ Par exemple, une longueur de 899 m est plus proche de $10^3$ m que de $10^2$ m : son ordre de grandeur est $10^3$ m, soit 1000 m.³ Pour le trouver, on compare la valeur aux puissances de 10 voisines. Cette habitude permet de contrôler un résultat de calcul : si tu trouves $10^{9}$ m pour la taille d'une salle de classe, tu sais qu'il y a une erreur d'exposant.

Si $x$ est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt x$ est irrationnel : aucune fraction d'entiers ne le représente.² Ainsi, $\sqrt{10}$ vaut environ 3,16.³ Il faut donc séparer la valeur exacte $\sqrt{10}$ de sa valeur approchée $3{,}16$. Pendant un calcul, conserve l'écriture exacte ; l'arrondi vient en dernier.

Ces nombres intriguent depuis l'Antiquité : vers 1700 av. J.-C., une tablette babylonienne dessine un carré dont le côté porte le nombre 30 et dont la diagonale porte une valeur approchée de $\sqrt2$.²

La courbe ci-dessus représente la fonction qui à un réel positif associe sa racine carrée.² Elle n'existe que pour $x\geq0$, elle monte de plus en plus lentement, et passe par les points $(1\,;1)$, $(4\,;2)$ et $(9\,;3)$. Elle illustre aussi un résultat utile : si $0\leq a<b$, alors $\sqrt a<\sqrt b$ ; la racine carrée conserve l'ordre sur les réels positifs.

Une fraction comme $\dfrac{6}{\sqrt3}$ n'est pas considérée comme écrite sous sa forme la plus pratique : on préfère un dénominateur entier. Cela facilite les comparaisons et les calculs à la main. L'idée est de multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre bien choisi, ce qui ne change pas la valeur de la fraction.

Le lien entre les deux notions est direct : $(\sqrt a)^2=a$ pour $a\geq0$, et $\sqrt{a^2}=|a|$ pour tout réel $a$. On l'utilise en résolvant des équations simples du type $x^2=k$.

• Si $k>0$, il y a deux solutions : $x=\sqrt k$ et $x=-\sqrt k$.
• Si $k=0$, la seule solution est $0$.
• Si $k<0$, il n'y a aucune solution réelle, puisqu'un carré de réel n'est jamais négatif.

Par exemple, l'aire d'un carré vaut 75 cm² : son côté $c$ vérifie $c^2=75$ avec $c>0$, donc $c=\sqrt{75}=5\sqrt3$ cm, soit environ 8,66 cm.