Puissances et racines carrées : exercices de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour les puissances : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ , et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .
La racine carrée de $x \geq 0$ est l'unique réel positif dont le carré vaut $x$ ².
Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ ; pour simplifier, cherche le plus grand carré parfait qui divise le radicande.
On ne laisse jamais de racine au dénominateur : on multiplie en haut et en bas par la racine, ou par l'expression conjuguée.
Une valeur approchée n'est pas une valeur exacte : garde le résultat exact le plus longtemps possible, arrondis à la fin.

Comment utiliser ces exercices

Cette page propose des exercices classés par difficulté croissante. Les premiers fixent les réflexes de calcul sur les puissances, les derniers demandent d'enchaîner plusieurs idées : simplifier une racine, développer, rationaliser. Prends une feuille, cherche sérieusement pendant plusieurs minutes, puis ouvre d'abord un indice avant de lire la correction. Une correction lue trop tôt donne l'impression d'avoir compris, alors que seule la recherche personnelle installe la méthode.

Valeurs exactes et valeurs approchées

Exemples guidés et conseils de rédaction

Une bonne rédaction suit toujours le même chemin. D'abord, tu précises les conditions : le radicande est-il positif ? la base est-elle non nulle ? Ensuite, tu écris chaque transformation sur une ligne, en nommant la règle utilisée. Enfin, tu donnes une phrase de conclusion avec l'unité quand il y en a une. Cette discipline évite la plupart des fautes de signe et rend ta copie facile à relire.

Pour t'entraîner efficacement, refais un exercice quelques jours plus tard sans regarder la correction. Si tu bloques, relis seulement l'indice, jamais tout le raisonnement. Note aussi les erreurs que tu fais souvent dans un petit carnet : ce sont elles qu'il faut surveiller le jour du contrôle.

Les exercices

Exercice 1 Produit et quotient de puissances

★☆☆Environ 5 min

Calcule la valeur de $A = \dfrac{2^3 \times 2^4}{2^5}$ en utilisant les règles sur les puissances, puis vérifie en calculant chaque puissance séparément.

Indice 1

Additionne les exposants au numérateur avant de simplifier.

Indice 2

Pour un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants.

Voir la correction pas à pas

Au numérateur, les deux facteurs ont la même base : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ .
On divise par $2^5$ : $A = \dfrac{2^7}{2^5} = 2^{7-5} = 2^2$ .
On calcule : $2^2 = 4$ .
Vérification : $2^3 = 8$ , $2^4 = 16$ , donc le numérateur vaut $8 \times 16 = 128$ . Le dénominateur vaut $2^5 = 32$ , et $128 \div 32 = 4$ . Les deux méthodes concordent.

$A = 4$ . Passer par les exposants évite de manipuler de grands nombres.

Exercice 2 Produit avec des puissances de 10

★☆☆Environ 6 min

Donne l'écriture décimale de $B = (3 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-8})$ .

Indice 1

Regroupe d'un côté les nombres $3$ et $4$ , de l'autre les puissances de 10.

Indice 2

Un exposant négatif décale la virgule vers la gauche.

Voir la correction pas à pas

On réordonne les facteurs : $B = 3 \times 4 \times 10^5 \times 10^{-8}$ .
On multiplie : $3 \times 4 = 12$ et $10^5 \times 10^{-8} = 10^{5-8} = 10^{-3}$ .
Donc $B = 12 \times 10^{-3}$ .
Comme $10^{-3} = 0{,}001$ , on obtient $B = 12 \times 0{,}001 = 0{,}012$ .

$B = 0{,}012$ . Son écriture scientifique est $1{,}2 \times 10^{-2}$ .

Exercice 3 Simplifier une somme de racines

★★☆Environ 8 min

Écris $C = \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$ sous la forme $k\sqrt{2}$ avec $k$ entier, puis donne une valeur approchée de $C$ au millième.

Indice 1

Décompose chaque radicande en un carré parfait multiplié par $2$ .

Indice 2

Une fois les trois termes écrits avec $\sqrt{2}$ , additionne les coefficients.

Voir la correction pas à pas

$50 = 25 \times 2$ , donc $\sqrt{50} = \sqrt{25}\times\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
$18 = 9 \times 2$ , donc $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .
$8 = 4 \times 2$ , donc $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .
On regroupe : $C = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (5+3-2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .
Avec $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ , on trouve $C \approx 6 \times 1{,}41421 \approx 8{,}485$ .

$C = 6\sqrt{2} \approx 8{,}485$ . L'écriture $6\sqrt{2}$ est la valeur exacte.

Exercice 4 Aire et côté d'un carré

★★☆Environ 7 min

Un carré a une aire de $75\ \text{cm}^2$ . Donne la valeur exacte de la longueur de son côté sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible, puis une valeur approchée au millième de centimètre.

Indice 1

Si le côté est $c$ , alors $c^2 = 75$ et $c > 0$ .

Indice 2

Cherche un carré parfait qui divise $75$ : pense à $25$ .

Voir la correction pas à pas

Le côté $c$ est positif et vérifie $c^2 = 75$ ; par définition de la racine carrée, $c = \sqrt{75}$ ².
On décompose : $75 = 25 \times 3$ .
Donc $c = \sqrt{25}\times\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
Avec $\sqrt{3} \approx 1{,}7320508$ , on obtient $c \approx 8{,}660$ cm.
Vérification : $8{,}66^2 = 74{,}9956$ , ce qui est bien proche de $75$ .

Le côté mesure $5\sqrt{3}\ \text{cm} \approx 8{,}660\ \text{cm}$ .

Exercice 5 Produit de conjugués

★★☆Environ 6 min

Calcule $D = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$ . Explique pourquoi le résultat est un entier alors que $\sqrt{5}$ ne l'est pas.

Indice 1

Reconnais l'identité $(A+B)(A-B)$ .

Indice 2

Rappelle-toi que $(\sqrt{5})^2 = 5$ car $\sqrt{5}$ est positif et de carré $5$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $A = 3$ et $B = \sqrt{5}$ : $D = A^2 - B^2$ .
$A^2 = 9$ et $B^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ .
Donc $D = 9 - 5 = 4$ .
Les termes en $\sqrt{5}$ se sont annulés lors du développement : $3\sqrt{5}$ et $-3\sqrt{5}$ s'éliminent, il ne reste que des entiers.

$D = 4$ . Le produit de deux nombres « conjugués » fait disparaître la racine, ce qui sert à rationaliser.

Exercice 6 Diagonale d'un carré

★★☆Environ 8 min

Un carré a un côté de $7$ cm. Calcule la valeur exacte de sa diagonale à l'aide du théorème de Pythagore, puis une valeur approchée au millième.

Indice 1

La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés mesurent $7$ cm.

Indice 2

Écris $d^2 = 7^2 + 7^2$ puis sors le carré parfait de la racine.

Voir la correction pas à pas

Dans le triangle rectangle formé par deux côtés et la diagonale : $d^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$ .
Comme $d > 0$ , $d = \sqrt{98}$ .
On décompose : $98 = 49 \times 2$ , donc $d = \sqrt{49}\times\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ .
Valeur approchée : $7 \times 1{,}41421 \approx 9{,}899$ cm.

La diagonale mesure $7\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 9{,}899\ \text{cm}$ . Elle est donc $\sqrt{2}$ fois plus longue que le côté.

Exercice 7 Rationaliser un dénominateur

★★★Environ 10 min

Écris $E = \dfrac{6}{\sqrt{3}}$ sans racine au dénominateur, puis calcule ensuite $F = \dfrac{4}{3-\sqrt{5}}$ sous la forme $a + b\sqrt{5}$ . Donne enfin une valeur approchée de $E$ au millième.

Indice 1

Multiplie le numérateur et le dénominateur de $E$ par $\sqrt{3}$ .

Indice 2

Pour $F$ , multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée $3+\sqrt{5}$ ; l'exercice « Produit de conjugués » te donne le dénominateur.

Voir la correction pas à pas

Pour $E$ : $E = \dfrac{6\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ .
Pour $F$ : on multiplie par $\dfrac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ , qui vaut $1$ : $F = \dfrac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$ .
Le dénominateur vaut $9-5 = 4$ , donc $F = \dfrac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5}$ .
Valeur approchée de $E$ : $2\sqrt{3} \approx 2 \times 1{,}73205 \approx 3{,}464$ .

$E = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464$ et $F = 3+\sqrt{5}$ . Le dénominateur ne contient plus de racine.

Exercice 8 Encadrer $\sqrt{10}$ au centième

★★★Environ 10 min

Sans utiliser la touche racine, montre que $3{,}16 < \sqrt{10} < 3{,}17$ . Pour cela, calcule $3{,}16^2$ et $3{,}17^2$ , puis donne l'écart $10 - 3{,}16^2$ .

Indice 1

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Indice 2

Compare $10$ à chacun des deux carrés.

Voir la correction pas à pas

On calcule $3{,}16^2 = 9{,}9856$ , qui est inférieur à $10$ .
On calcule $3{,}17^2 = 10{,}0489$ , qui est supérieur à $10$ .
On a donc $3{,}16^2 < 10 < 3{,}17^2$ . Les nombres $3{,}16$ , $\sqrt{10}$ et $3{,}17$ sont positifs, et la comparaison de deux positifs suit celle de leurs carrés : $3{,}16 < \sqrt{10} < 3{,}17$ .
L'écart demandé vaut $10 - 9{,}9856 = 0{,}0144$ .

On a bien $3{,}16 < \sqrt{10} < 3{,}17$ , ce qui confirme que $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ ³. L'écart $10 - 3{,}16^2$ vaut $0{,}0144$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je peux simplifier une racine carrée ?

Teste si le radicande est divisible par un carré parfait ( $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ …). Si oui, sors-le : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ . Si aucun carré parfait autre que $1$ ne divise le nombre, la racine est déjà sous sa forme simple, comme $\sqrt{10}$ .

Faut-il toujours donner la valeur exacte ou une valeur approchée ?

Si l'énoncé ne précise rien, donne la valeur exacte ( $5\sqrt{3}$ , par exemple), éventuellement suivie d'une valeur approchée. Quand l'énoncé demande un arrondi, calcule avec les valeurs exactes jusqu'au bout et arrondis seulement le résultat final, sinon les erreurs s'accumulent.

Pourquoi $\sqrt{a+b}$ n'est-il pas égal à $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ?

La racine ne se distribue que sur un produit ou un quotient, jamais sur une somme. Un contre-exemple suffit : $\sqrt{9+16} = 5$ alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 7$ .

Sources

Ressources Éduscol — Nombres et calculs (Seconde), Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Racine carrée, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Racine carrée de 10, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Puissances et racines carrées : exercices de 2de

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Valeurs exactes et valeurs approchées

Exemples guidés et conseils de rédaction

Les exercices

Exercice 1 Produit et quotient de puissances

Exercice 2 Produit avec des puissances de 10

Exercice 3 Simplifier une somme de racines

Exercice 4 Aire et côté d'un carré

Exercice 5 Produit de conjugués

Exercice 6 Diagonale d'un carré

Exercice 7 Rationaliser un dénominateur

Exercice 8 Encadrer $\sqrt{10}$ au centième

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur