Dispersion : quartiles et écart type, cours de Seconde

Imagine deux élèves, Inès et Malo, qui ont chacun une moyenne de 12 sur cinq contrôles. Inès a obtenu 11, 12, 12, 12 et 13. Malo a obtenu 4, 8, 12, 16 et 20. Leur moyenne est identique, et pourtant leurs résultats ne se ressemblent pas du tout : Inès est très régulière, Malo alterne les très bonnes et les très mauvaises notes.

La moyenne et la médiane, vues dans le chapitre précédent, sont des indicateurs de position : elles disent autour de quelle valeur se situe la série. Elles ne disent rien sur l'étalement des valeurs. Il manque donc un second type de renseignement, qui répond à la question : les données sont-elles serrées ou dispersées ?

Le programme de Seconde introduit pour cela deux indicateurs de dispersion : l'écart interquartile et l'écart type ¹. Ce cours explique ce que chacun mesure, comment on le calcule à la main, comment on l'interprète, et ce qu'on peut en lire quand on compare deux séries.

La médiane coupe la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Les quartiles prolongent cette idée : ils découpent la série en quatre parts environ égales. Pour les trouver, on commence toujours par ranger les valeurs dans l'ordre croissant.

Dans l'exemple précédent, l'écart interquartile vaut $5 - 4 = 1$. Il décrit la largeur de l'intervalle $[Q_1 ; Q_3]$, qui contient environ la moitié centrale des données. Plus cet intervalle est large, plus la série est étalée ; plus il est étroit, plus les valeurs du milieu sont resserrées.

L'écart interquartile ne tient compte que de deux valeurs de la série. On aimerait un indicateur qui utilise toutes les valeurs. L'idée : mesurer de combien chaque valeur s'écarte de la moyenne, puis résumer ces écarts.

On ne peut pas simplement faire la moyenne des écarts $x_i - \bar{x}$ : les écarts positifs et négatifs se compensent, et le résultat est toujours nul. On élève donc chaque écart au carré avant de faire la moyenne.

Pourquoi prendre la racine carrée ? Parce que la variance s'exprime dans le carré de l'unité de la série (des « euros au carré », par exemple). L'écart type, lui, s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend plus facile à interpréter.

Ce résultat est volontairement « rond ». En pratique, l'écart type est souvent un nombre irrationnel que l'on arrondit : par exemple $\sqrt{8} \approx 2{,}83$. Garde alors la valeur exacte le plus longtemps possible dans tes calculs, et n'arrondis qu'à la fin.

Le programme prévoit aussi de savoir lire et comprendre une fonction Python qui renvoie une moyenne et un écart type ¹. Voici un exemple :

def resume(valeurs):
    n = len(valeurs)
    m = sum(valeurs) / n
    v = sum((x - m) ** 2 for x in valeurs) / n
    return m, v ** 0.5

print(resume([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]))

La ligne 3 calcule la moyenne, la ligne 4 la variance (moyenne des carrés des écarts), la ligne 5 renvoie le couple (moyenne, écart type). Pour la série de l'exemple, la fonction renvoie $(5{,}0 ; 2{,}0)$.

Cela se comprend bien avec la formule : une somme de carrés est nulle seulement si chaque terme est nul, donc si chaque valeur est égale à la moyenne. Une série comme 7 ; 7 ; 7 ; 7 n'a aucune dispersion.

Un écart type de 5 € n'a pas la même portée pour un prix moyen de 10 € que pour un prix moyen de 1 000 €. Le quotient $\frac{\sigma}{\bar{x}}$ permet de relativiser.

Les deux familles d'indicateurs vont par paires : la médiane s'accompagne naturellement de l'écart interquartile, et la moyenne de l'écart type. Ce choix n'est pas arbitraire : il dépend de la présence de valeurs extrêmes.

Un calcul ne suffit pas : on attend une phrase qui donne du sens au nombre. Un écart type seul est difficile à lire ; il prend son sens par comparaison avec une autre série ou avec la moyenne. Les statisticiens savent aussi que, lorsque les données ont une distribution en cloche (dite normale), l'écart type prend toute sa signification ³, mais cette lecture dépasse le cadre de la Seconde.