Implication et équivalence : cours de Seconde

En mathématiques, on ne se contente pas d'observer qu'une chose semble vraie : on la démontre. Une démonstration est une chaîne de petites étapes, et chaque étape est une phrase de la forme « si ceci est vrai, alors cela l'est aussi ». Les ressources officielles de Seconde insistent sur ce point : on attend de toi un raisonnement par implication, pas une simple observation sur une figure ou sur quelques exemples ¹.

Ce cours te donne le vocabulaire et les réflexes pour manier ces phrases sans te tromper. Tu vas voir trois idées qui se répondent :

• l'implication, qui relie une hypothèse à une conséquence ;
• la réciproque, qui renverse le sens de la phrase ;
• l'équivalence, qui dit que les deux sens sont vrais en même temps.

Tu connais déjà les ensembles, l'appartenance et l'inclusion. Nous nous en servirons, car une implication peut très souvent se lire comme une inclusion entre deux ensembles.

Dans la vie courante, on utilise « si… alors… » de façon souple : « s'il pleut, je prends mon parapluie » sous-entend parfois aussi « et si je prends mon parapluie, c'est qu'il pleut ». En maths, cette souplesse est interdite. Chaque phrase a un sens précis, et le sens inverse n'est jamais sous-entendu. Voilà pourquoi une page entière est utile pour ce seul sujet.

Une implication est vraie lorsqu'on ne peut jamais trouver un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse. C'est la seule situation qui la détruit. Un seul cas de ce genre suffit à la déclarer fausse : on l'appelle un contre-exemple (tu l'étudieras de près dans un chapitre suivant).

En logique formelle, la valeur de vérité de $P \Rightarrow Q$ dépend uniquement de celles de $P$ et de $Q$. Il n'est donc pas question de rendre compte d'un lien de cause à effet entre les deux ⁶. Voici la table complète, avec V pour vrai et F pour faux :

La seule ligne qui rend l'implication fausse est la deuxième : hypothèse vraie, conclusion fausse.

Une même implication peut se dire de nombreuses manières. Il faut reconnaître chacune d'elles, car les énoncés de cours et d'exercices ne répètent pas toujours « si… alors… ». Pour $P \Rightarrow Q$ :

• « si $P$, alors $Q$ » ;
• « $P$ implique $Q$ » ;
• « pour que $P$ soit vraie, il faut que $Q$ le soit » ;
• « $P$ seulement si $Q$ » : cette tournure fait partie des lectures usuelles du symbole ⁶ ;
• « il suffit que $P$ soit vraie pour que $Q$ le soit ».

Il existe deux grandes familles d'implications que l'on rencontre au lycée. Les premières correspondent à une inclusion (de type ensembliste) ; les autres traduisent un raisonnement logique qui enchaîne des informations ³. Nous allons les distinguer dans la section suivante.

Beaucoup d'implications se lisent comme une relation entre deux ensembles. Notons $A$ l'ensemble des objets qui vérifient $P$ et $B$ l'ensemble de ceux qui vérifient $Q$. Alors :

$\text{pour tout objet : } P \Rightarrow Q \quad \text{signifie} \quad A \subset B.$

Tout objet de $A$ est dans $B$ : c'est exactement la définition de l'inclusion que tu connais.

En géométrie, on rencontre sans cesse des réciproques. Celle du théorème de Thalès en est un exemple : pour l'énoncer, on garde en hypothèse la condition d'alignement des points, et on échange seulement les conditions d'égalité de rapports avec le parallélisme ⁵. Cela illustre un fait utile : quand une implication a plusieurs hypothèses, la réciproque ne renverse parfois qu'une partie d'entre elles ⁵.

Dire « $P$ si et seulement si $Q$ » regroupe deux messages :

• « $P$ si $Q$ » : si $Q$ est vraie, alors $P$ l'est (c'est $Q \Rightarrow P$) ;
• « $P$ seulement si $Q$ » : $P$ ne peut être vraie sans $Q$ (c'est $P \Rightarrow Q$).

Les deux propositions ont alors toujours la même valeur de vérité : quand l'une est vraie, l'autre aussi ; quand l'une est fausse, l'autre aussi.

Le passage au carré donne un bon exemple de prudence. Quand tous les nombres considérés sont strictement positifs, comparer deux nombres revient à comparer leurs carrés, et on peut alors raisonner par équivalence ². Par exemple, pour $a$ et $b$ strictement positifs : $a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2$.

Si l'on retire l'hypothèse de positivité, l'équivalence casse : $-3 < 2$ est vrai, mais $(-3)^2 < 2^2$, c'est-à-dire $9 < 4$, est faux. Les hypothèses ne sont jamais décoratives.

Cette idée de double sens existe aussi pour les ensembles : pour montrer que deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, on prouve que $A \subset B$ puis que $B \subset A$. C'est le raisonnement par double inclusion, qui répond à la double implication ².

Dans les prochains chapitres, tu rencontreras les quantificateurs (« pour tout », « il existe »), qui permettent de préciser sur quels objets porte une implication, puis les raisonnements par contre-exemple et par l'absurde. Tout cela repose sur ce que tu viens de voir : si tu maîtrises le sens d'une implication et celui d'une équivalence, les raisonnements plus avancés te paraîtront naturels.