Mathématiques · Seconde
Implication et équivalence : quiz de seconde
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une implication « P ⇒ Q » se lit « P implique Q » ou « si P, alors Q » 6.
- La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion : c'est « si Q, alors P ». Elle ne se déduit pas de l'implication de départ 5.
- Une équivalence « P ⇔ Q » est une double implication : P ⇒ Q et Q ⇒ P 4. Elle se lit « si et seulement si » 2.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le vocabulaire et le sens de l'implication, de la réciproque et de l'équivalence. Tu devras lire des phrases du type « si … alors … », écrire une réciproque, décider si une implication est vraie ou fausse, et repérer les équivalences correctes. Prends le temps de tester chaque énoncé avec des valeurs concrètes avant de répondre.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le symbole se lit « implique » ou « si … alors » 6, avec P à gauche comme hypothèse. Lire « Q implique P » inverse les rôles : ce serait la réciproque. Dire que P et Q sont toujours vraies en même temps ne décrit pas une implication : cela affirme la vérité des deux propositions, ce que ne dit pas.
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La réciproque échange hypothèse et conclusion 5 : on obtient « si divisible par 5, alors divisible par 10 ». La deuxième proposition garde l'ordre en niant les deux parties, ce qui est un autre énoncé, et la troisième contredit l'idée de départ au lieu de l'inverser.
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C'est faux : la réciproque ne se déduit pas de l'implication de départ 5. Exemple : « si un nombre est divisible par 10, alors il est divisible par 5 » est vraie, mais « si un nombre est divisible par 5, alors il est divisible par 10 » est fausse, car 15 la contredit.
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On échange les deux parties : « pair » devient l'hypothèse et « multiple de 6 » la conclusion 5. La deuxième proposition échange les deux parties et les nie toutes les deux : c'est une autre transformation ; elle se trouve être vraie, ce qui la rend tentante, mais elle n'est pas la réciproque. La troisième nie les deux parties sans les échanger, et elle est fausse : 4 n'est pas multiple de 6 et pourtant il est pair.
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Un multiple de 6 s'écrit avec entier : il est donc pair. L'implication est vraie pour tous les multiples de 6, pas seulement pour quelques-uns.
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Un seul contre-exemple suffit : 4 est pair mais n'est pas un multiple de 6. Beaucoup d'élèves pensent que la réciproque d'une implication vraie l'est aussi ; c'est justement l'erreur à éviter 5.
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Si , alors : l'implication est vraie. La réciproque est fausse, car vérifie aussi . Les deux dernières propositions affirment une équivalence, donc la réciproque, et tombent sur ce même contre-exemple.
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Pour la première et la troisième, on passe d'un côté à l'autre en ajoutant le même nombre aux deux membres, ou en les divisant par un même nombre non nul : chaque ligne entraîne l'autre dans les deux sens. La deuxième échoue car vérifie sans être égal à 2. La quatrième échoue car donne alors que n'est pas positif.
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L'implication est fausse uniquement quand P est vraie et Q est fausse. Elle a la même table que « non P ou Q » 6 : cette expression ne peut être fausse que si « non P » et Q sont fausses toutes les deux, c'est-à-dire P vraie et Q fausse. Les trois autres combinaisons la rendent vraie.
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C'est le seul cas où une implication échoue : l'hypothèse se réalise et la conclusion n'a pas lieu. La valeur de vérité de ne dépend que de celles de P et Q 6, donc on peut conclure sans autre information.
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Comme équivaut à « non P ou Q » 6, et que « non P » est vraie quand P est fausse, la disjonction est vraie dans tous les cas. Une implication à hypothèse fausse ne peut donc jamais être mise en défaut. La troisième réponse décrit plutôt le comportement de Q seule.
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Les tables de vérité de et de « non P ou Q » sont identiques 6. « P et non Q » est vraie exactement quand l'implication est fausse : c'est sa négation. « P ou non Q » correspond à la réciproque , pas à l'implication de départ.
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Il est faux : on a utilisé la réciproque comme si elle se déduisait de l'implication, ce qui conduit au sophisme de l'affirmation du conséquent 5. Le sol peut être mouillé pour une autre raison, par exemple un arrosage.
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La réciproque de la réciproque ramène à l'implication initiale 5 : on échange deux fois hypothèse et conclusion. On n'obtient pas une négation, et il n'y a équivalence que si l'implication de départ et sa réciproque sont toutes deux vraies, ce que rien n'assure ici.
Les questions qu'on se pose
Comment démontrer qu'une équivalence est vraie ?
Comment prouver qu'une implication est fausse ?
Il suffit d'un contre-exemple : un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Pour « si , alors », le nombre convient. Aucun nombre d'exemples favorables ne prouve en revanche qu'une implication est vraie pour tous les cas.
Pourquoi une implication à hypothèse fausse est-elle considérée comme vraie ?
Sources
- Tests de positionnement Classe de seconde — Raisonnement et implication, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
- Ressource d'accompagnement — Raisonnement et démonstration, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
- Doc ressource raisonnement — Logique et implication, IREM Université de Lille. Consulté le 9 novembre 2026.
- Diaporama Logique et raisonnement — Lycée, Académie de Strasbourg. Consulté le 9 novembre 2026.
- Implication réciproque, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
- Implication (logique), Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
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