Implication et équivalence : exercices corrigés de 2de

Hypothèse $p$ : « l'entier est multiple de 6 ». Conclusion $q$ : « l'entier est pair ».

La réciproque échange les deux propositions ⁵ : « Si un entier est pair, alors il est multiple de 6 ».

Testons : $4$ est pair, mais $4$ n'est pas un multiple de $6$. Ce contre-exemple suffit à rendre la réciproque fausse.

L'implication de départ est vraie (un multiple de 6 s'écrit $6k = 2\times 3k$), mais sa réciproque est fausse.

(A) : si $x = 3$, alors $x^2 = 3\times 3 = 9$. L'implication est vraie.

(B) : l'équation $x^2 = 9$ a deux solutions, $3$ et $-3$. Pour $x = -3$, l'hypothèse $x^2 = 9$ est vraie et la conclusion $x = 3$ est fausse.

Le nombre $-3$ est donc un contre-exemple : (B) est fausse.

Une équivalence demande les deux implications ⁴. Ici l'une est fausse, donc les deux égalités ne sont pas équivalentes.

$2x + 3 = 11 \iff 2x = 11 - 3$ : on soustrait $3$, et on pourrait ajouter $3$ pour revenir.

$2x = 8 \iff x = \dfrac{8}{2}$ : on divise par $2$, nombre non nul, et on pourrait multiplier par $2$.

$x = 4$.

Chaque ligne équivaut à la précédente : le sens réciproque est automatique, il n'y a pas besoin de vérifier la solution.

Cas 1 : $p$ vraie, $q$ vraie. Non $p$ est faux, $q$ est vrai : « non $p$ ou $q$ » est vrai.

Cas 2 : $p$ vraie, $q$ fausse. Non $p$ est faux et $q$ est faux : la proposition est fausse.

Cas 3 : $p$ fausse, $q$ vraie. Non $p$ est vrai : la proposition est vraie.

Cas 4 : $p$ fausse, $q$ fausse. Non $p$ est vrai : la proposition est vraie.

Un seul cas rend l'implication fausse : $p$ vraie et $q$ fausse.

Chaque élément de $A$ (1, 2 ou 3) figure aussi dans $B$ : l'implication « $x \in A \Rightarrow x \in B$ » est vraie. Elle exprime $A \subset B$.

La réciproque est « $x \in B \Rightarrow x \in A$ » ⁵.

Pour $x = 4$ : $4 \in B$ mais $4 \notin A$. Contre-exemple : la réciproque est fausse.

Les deux ensembles ne sont donc pas égaux : $A$ est strictement inclus dans $B$.

Si $a = b$, alors $a\times a = b\times b$, donc $a^2 = b^2$.

Contre-exemple : $a = 2$ et $b = -2$ donnent $a^2 = 4 = b^2$ alors que $a \neq b$. La réciproque est fausse en général.

Avec $a, b > 0$ : $a^2 = b^2 \iff (a-b)(a+b) = 0$.

Comme $a + b > 0$, ce produit est nul seulement si $a - b = 0$, donc $a = b$.

Le sens $a = b \Rightarrow a^2 = b^2$ est déjà démontré : les deux sens sont prouvés, on a une double implication.

Sens direct : $(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$. Si $x^2 - 5x + 6 = 0$, alors $(x-2)(x-3) = 0$.

Un produit est nul seulement si l'un de ses facteurs l'est : $x = 2$ ou $x = 3$.

Sens réciproque : pour $x = 2$, $4 - 10 + 6 = 0$ ; pour $x = 3$, $9 - 15 + 6 = 0$. Dans les deux cas l'équation est vérifiée.

Les deux implications sont démontrées : l'équivalence est vraie, et l'ensemble des solutions est $\{2\,;3\}$.

Somme : $2 + 3 = 5$.

Si $\sqrt{x+2} = x$, on élève au carré : $x + 2 = x^2$, soit $x^2 - x - 2 = 0$. On a une implication.

Factorisation : $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. Les candidats sont $x = 2$ et $x = -1$.

Le passage au carré ne se renverse pas (comme dans l'exercice 6, les nombres de signe quelconque posent problème) : les candidats ne sont pas forcément des solutions, il faut tester.

Test de $x = 2$ : $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. C'est une solution.

Test de $x = -1$ : $\sqrt{-1+2} = 1$, alors que $x = -1$. Ce n'est pas une solution (une racine carrée n'est jamais négative).

L'équation de départ admet une seule solution : $x = 2$.