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Dérivation et convexité : quiz de Terminale (option)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une fonction dérivable est convexe sur un intervalle quand sa dérivée y est croissante. 2
- Si la fonction est deux fois dérivable, on étudie le signe de la dérivée seconde : positive sur l'intervalle, la fonction est convexe. 24
- Les fonctions carré et exponentielle sont convexes ; racine carrée et logarithme sont concaves ; sinus et cosinus ne sont ni l'un ni l'autre sur R. 2
- Convexe ne veut pas dire croissante : on regarde le sens de variation de f', pas le signe de f'.
Avant de commencer
Ce quiz couvre le cœur de la convexité en Terminale : la définition, le lien avec la dérivée et la dérivée seconde, les fonctions de référence et les erreurs classiques. La convexité décrit le sens de variation de la dérivée : elle te dit comment la pente de la courbe évolue. 2
Prends un brouillon. Pour chaque question, essaie de répondre sans regarder le cours, puis lis l'explication, y compris quand tu as juste : elle explique aussi pourquoi la réponse tentante est fausse.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Une fonction dérivable est convexe sur si et seulement si sa dérivée première y est croissante. 2 La réponse « croissante » est tentante, mais elle décrit les variations de et non sa convexité : est décroissante et pourtant convexe. De même, « positive » dit que est croissante, pas que croît.
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Comme est convexe quand est croissante, et qu'une dérivable est croissante quand sa dérivée est positive, on obtient . 4 Dire que est croissante est une confusion de niveau : on a décalé d'un cran la propriété.
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Le carré est l'un des deux exemples de fonctions convexes de référence, avec l'exponentielle. 2 On le retrouve avec . Certains croient que la courbe en forme de « cuvette » est concave : c'est l'inverse, la cuvette ouverte vers le haut est convexe.
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La racine carrée et le logarithme sont concaves, alors que le carré et l'exponentielle sont convexes. 2 La fonction a pour dérivée seconde , donc elle est convexe comme le carré.
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Sinus et cosinus ne sont ni convexes ni concaves sur . 2 Leur courbe alterne creux et bosses : la dérivée seconde de cosinus, , change de signe. Il existe des intervalles où elle est convexe, mais pas sur entier.
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On a et pour tout réel. La dérivée seconde est positive partout, donc est convexe sur . 4 Le point annule , il donne le minimum, mais il ne coupe pas la convexité en deux zones.
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On dérive : , puis . En : . L'erreur classique est de s'arrêter à .
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Ici , positive si et seulement si . D'après le lien entre convexité et signe de la dérivée seconde, est convexe sur . 4 Elle n'est pas convexe sur entier car est négative pour , même si y est croissante.
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Pour une fonction dérivable, la convexité stricte correspond à une dérivée qui augmente strictement, de la même façon que la convexité simple correspond à une dérivée qui ne diminue jamais. 4 La croissance stricte interdit les morceaux où reste constante, c'est-à-dire où la courbe serait un segment de droite.
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On calcule puis , négatif : est décroissante, donc n'est pas convexe. 2 Avoir un point où s'annule ne prouve rien, et être dérivable n'implique pas la convexité.
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On a puis . En : . Cela confirme la convexité de l'exponentielle. 2 Oublier un facteur à la seconde dérivation donne , valeur fausse.
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La définition porte sur tous les et de et tout dans . 4 Ce paramètre parcourt les points du segment entre et ; un hors de sortirait de ce segment, et se limiter à ne suffirait pas.
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Quand une fonction est à la fois convexe et dérivable sur un intervalle réel, sa dérivée est automatiquement continue. 4 On ne peut donc pas avoir une dérivée qui « saute » : elle est croissante et sans rupture.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre le sens de variation de f et la convexité de f ?
Le sens de variation de dépend du signe de . La convexité dépend du sens de variation de , donc du signe de quand elle existe. 2 Une fonction peut être décroissante et convexe, ou croissante et non convexe.
Quelles fonctions de référence dois-je connaître pour la convexité ?
Retiens que le carré et l'exponentielle sont convexes, que la racine carrée et le logarithme sont concaves, et que sinus et cosinus ne sont ni convexes ni concaves sur . 2 Pour toute autre fonction, calcule et étudie son signe.
Sources
- Leçons d'agrégation – Convexité, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
- Convexité des fonctions, Université Côte d'Azur. Consulté le 6 novembre 2026.
- Convexité (finance), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Fonction convexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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