Dérivation et convexité : exercices corrigés de Terminale

On dérive : $f'(x)=6x-12$.

On dérive à nouveau : $f''(x)=6$.

Pour tout réel $x$, $f''(x)=6>0$ : la dérivée $f'$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (c'est une fonction affine de coefficient directeur 6).

On conclut : $f''\geq 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ². Elle est même strictement convexe, puisque $f'$ est strictement croissante ².

$f'(x)=3x^2-12x$.

$f''(x)=6x-12=6(x-2)$.

$f''(x)\geq 0 \iff x\geq 2$.

Sur $[2\,;+\infty[$, $f''\geq 0$, donc $f$ est convexe sur cet intervalle ². Sur $]-\infty\,;2]$, $f''\leq 0$ : la dérivée $f'$ y est décroissante, $f$ n'y est pas convexe (sauf à se limiter à un point).

Donc $a=2$.

Avec $u(x)=2x$, $f'(x)=2e^{2x}$.

On redérive : $f''(x)=2\times 2e^{2x}=4e^{2x}$.

Pour tout réel $x$, $e^{2x}>0$ donc $f''(x)>0$.

Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ², en accord avec le fait que la fonction exponentielle est convexe ².

Enfin $f''(0)=4e^{0}=4$.

$f'(x)=1\times e^{x}+x\,e^{x}=(x+1)e^{x}$.

$f''(x)=1\times e^{x}+(x+1)e^{x}=(x+2)e^{x}$.

Comme $e^{x}>0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x+2$.

$f''(x)<0$ pour $x<-2$, $f''(-2)=0$ et $f''(x)>0$ pour $x>-2$.

Donc $c=-2$ : $f$ est convexe sur $[-2\,;+\infty[$ ². Sur $]-\infty\,;-2]$, $f''\leq 0$ : $f'$ y est décroissante, donc $f$ n'y est pas convexe.

$f'(x)=4x^3-12x^2$.

$f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$.

Tableau de signes : $f''(x)>0$ si $x<0$, $f''(0)=0$, $f''(x)<0$ si $0<x<2$, $f''(2)=0$, $f''(x)>0$ si $x>2$.

Sur $]-\infty\,;0]$ et sur $[2\,;+\infty[$, $f''\geq 0$ : $f$ est convexe sur chacun de ces intervalles ².

Sur $[0\,;2]$, $f''\leq 0$ et $f''$ est strictement négative à l'intérieur : $f'$ est décroissante, donc $f$ n'est pas convexe sur $[0\,;2]$ ².

Enfin $f''(1)=12\times 1\times(1-2)=-12$.

$f_a'(x)=3x^2+2ax+1$.

$f_a''(x)=6x+2a$.

$f_a''(1)=6+2a=0$ donne $a=-3$.

Avec $a=-3$, $f_a''(x)=6x-6=6(x-1)$, positif pour $x\geq 1$.

Donc $f_{-3}$ est convexe sur $[1\,;+\infty[$ ².

$f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.

$f''(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.

Pour tout $x>0$, $\dfrac{1}{x^2}>0$ donc $f''(x)>2>0$.

Par conséquent $f'$ est strictement croissante et $f$ est strictement convexe sur $]0\,;+\infty[$ ².

$f''\!\left(\tfrac12\right)=2+\dfrac{1}{(1/2)^2}=2+4=6$.

Pour $-\ln x$ : sa dérivée seconde vaut $\dfrac{1}{x^2}>0$, elle est donc déjà convexe par elle-même, ce qui est cohérent avec le fait que le logarithme est concave ² et que son opposé a une dérivée seconde de signe contraire.

Pour $f(x)=e^{x}$, $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ : la tangente en 0 a pour équation $y=1+x$.

L'inégalité de convexité appliquée avec le point de tangence $0$ donne, pour tout réel $x$, $e^{x}\geq e^{0}+e^{0}(x-0)$, c'est-à-dire $e^{x}\geq 1+x$ ¹.

En remplaçant $x$ par $-x$ (valable pour tout réel), on obtient $e^{-x}\geq 1-x$.

Si $x>1$, le membre de droite $1-x$ est négatif, et $e^{-x}$ est strictement positif : l'inégalité est vraie sans difficulté, elle devient simplement peu précise.

Une fonction dérivable est convexe sur $I$ si et seulement si $g'$ est croissante sur $I$ ².

$g'$ est croissante sur $]-\infty\,;1]$ et sur $[4\,;+\infty[$ : $g$ est convexe sur chacun de ces deux intervalles.

Sur $[1\,;4]$, $g'$ est décroissante, donc $g''\leq 0$ sur cet intervalle (équivalence entre monotonie et signe de la dérivée) ⁴.

$g$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$, car $g'$ n'y est pas croissante : elle décroît entre 1 et 4 ².