Dérivation et convexité : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa courbe reste en dessous de ses cordes ; elle est concave quand c'est l'inverse.
Pour une fonction dérivable : convexe ⟺f′croissante.
Pour une fonction deux fois dérivable : convexe ⟺f′′⩾0 ; concave ⟺f′′⩽0.
Carré et exponentielle sont convexes ; racine carrée et logarithme sont concaves ; sinus et cosinus ne sont ni l'un ni l'autre sur R.
Le signe de f′′ se lit sur un intervalle : il se détermine par un tableau de signes.
L'essentiel à retenir : définition de la convexité
La convexité décrit la façon dont une courbe se courbe. Là où le sens de variation dit si f monte ou descend, la convexité dit si la pente elle-même augmente ou diminue 2. Cette fiche rassemble ce qu'il faut savoir pour appliquer le cours dans un exercice.
Convexité et dérivées : les deux critères
Vérifierf est deux fois dérivable sur l'intervalle
DériverCalculer f' puis f''
Signe de f''Résoudre ou faire un tableau de signes
Concluref'' ≥ 0 : convexe ; f'' ≤ 0 : concave
Étudier la convexité en quatre étapes
Les fonctions de référence
Pièges et réflexes
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Une dérivée seconde positive signifie que f′ est croissante, ce qui équivaut à la convexité de f. Le piège « croissante » confond le signe de f′′ avec celui de f′ : f′′⩾0 ne dit rien sur le sens de variation de f.
La fonction logarithme est concave (comme la racine carrée). Carré et exponentielle sont convexes. Le cosinus n'est ni convexe ni concave sur R, car sa dérivée seconde change de signe.
Faux. La convexité porte sur la croissance de f′, pas de f. La racine carrée est croissante mais concave, car sa dérivée est décroissante.
On a f′′(x)=6x−6, positive pour x⩾1. Donc f est convexe sur [1;+∞[. Prendre x=0, annulation de f′, est une erreur : on étudie le signe de f′′, pas les zéros de f′.
Les questions qu'on se pose
À quoi sert la convexité ?
Elle décrit la façon dont une courbe se courbe et permet de comparer une courbe à ses cordes ou à ses tangentes. Elle intervient aussi hors des mathématiques pures : en finance, la convexité est un indicateur du risque de taux d'une obligation 3.
Comment savoir si je dois utiliser f' ou f'' ?
Si la fonction est deux fois dérivable, étudie le signe de f′′ : c'est le plus rapide. Si tu ne connais que f′, regarde son sens de variation : f′ croissante donne convexe 2.
Une fonction peut-elle être à la fois convexe et concave ?
Sur un intervalle, seulement si f′′=0 partout, c'est-à-dire pour une fonction affine. Une fonction comme x3 change de nature en 0 : concave avant, convexe après.