Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Dérivation et convexité : cours de Terminale (option)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa courbe reste sous toutes ses cordes ; elle est concave quand elle reste au-dessus. ⁴
Si $f$ est dérivable, elle est convexe sur $I$ exactement quand $f'$ est croissante sur $I$ ; si $f$ est deux fois dérivable, c'est équivalent à $f''\geq 0$ sur $I$ . ²
Une fonction convexe et dérivable a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. ¹
Méthode : dériver deux fois, étudier le signe de $f''$ , conclure sur chaque intervalle ; un changement de signe de $f''$ donne un point d'inflexion.
Références à connaître : carré et exponentielle sont convexes ; racine carrée et logarithme sont concaves. ²

Pourquoi parler de convexité ?

Tu sais déjà que le signe de la dérivée $f'$ donne le sens de variation de $f$ : si $f'>0$ , la fonction monte ; si $f'<0$ , elle descend. Mais deux fonctions peuvent monter toutes les deux sur un intervalle et avoir des courbes très différentes : l'une se redresse de plus en plus vite, l'autre s'aplatit peu à peu. La convexité décrit précisément cette différence de courbure. La convexité d'une fonction renseigne en effet sur la façon dont son sens de variation lui-même évolue. ²

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

reconnaître une fonction convexe ou concave sur un graphique ;
relier la convexité au comportement de $f'$ puis au signe de $f''$ ;
placer une courbe par rapport à ses tangentes ;
repérer un point d'inflexion ;
rédiger une étude de convexité complète, comme on l'attend au bac.

Cette notion sert aussi hors des mathématiques pures. En finance, par exemple, un indicateur appelé convexité mesure le risque de taux d'un placement comme une obligation, et son nom vient du fait que son signe renseigne sur la convexité locale d'une fonction de prix. ³ Tu n'as pas à connaître cela pour le bac, mais cela montre que la forme d'une courbe a des conséquences très concrètes.

Fonction convexe, fonction concave : l'idée de la corde

Prends deux points $A$ et $B$ sur la courbe d'une fonction, et trace le segment $[AB]$ , qu'on appelle une corde. Si, pour tous les choix de $A$ et $B$ , la courbe passe sous ce segment entre $A$ et $B$ , la fonction est convexe. C'est l'image géométrique de la définition que donne la littérature mathématique, où la convexité s'exprime avec les points $A$ et $B$ de la courbe. ⁴

Une courbe convexe sous ses cordes · Entre A et B, la courbe de la fonction carré passe sous la corde [AB] : elle est convexe.

ExempleLa fonction carré est convexe (vérification par la définition)

Soit $f(x)=x^2$ . Pour $x$ , $y$ réels et $t\in[0\,;1]$ , calculons l'écart entre la corde et la courbe :

$t x^2+(1-t)y^2-\big(tx+(1-t)y\big)^2.$

En développant le carré : $(tx+(1-t)y)^2=t^2x^2+2t(1-t)xy+(1-t)^2y^2$ . Comme $t-t^2=t(1-t)$ et $(1-t)-(1-t)^2=t(1-t)$ , il reste

$t(1-t)x^2-2t(1-t)xy+t(1-t)y^2=t(1-t)(x-y)^2.$

Or $t\geq 0$ , $1-t\geq 0$ et $(x-y)^2\geq 0$ : l'écart est positif, donc la corde est au-dessus de la courbe. La fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$ , ce qui est bien un résultat classique. ²

Convexité et dérivée première : la dérivée croît

La définition par les cordes est difficile à vérifier directement dès que la fonction se complique. Heureusement, quand $f$ est dérivable, on dispose d'un critère bien plus pratique, qui ramène la convexité à une question de monotonie de $f'$ . L'idée est la suivante : sur une courbe convexe, quand on avance vers la droite, la pente de la tangente ne peut que grandir.

Convexité et dérivée seconde : le signe de f''

Quand $f$ est dérivable deux fois, on peut appliquer à $f'$ le lien habituel entre monotonie et signe de la dérivée : $f'$ est croissante exactement quand sa dérivée, c'est-à-dire $f''$ , est positive ou nulle. On obtient le critère le plus utilisé au lycée.

Démonstration · Pourquoi le signe de f'' suffit

Supposons $f$ deux fois dérivable sur $I$ . D'après la caractérisation précédente, $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$ . Or $f'$ est une fonction dérivable, de dérivée $f''$ . Le lien entre monotonie et signe de la dérivée dit qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle exactement quand sa dérivée y est positive ou nulle. ⁴ Appliqué à $f'$ , cela donne : $f'$ croissante $\iff$ $f''\geq 0$ sur $I$ . Donc $f$ convexe $\iff$ $f''\geq 0$ sur $I$ . Le cas concave est identique en changeant tous les signes, puisque $f$ concave signifie $-f$ convexe, et que $(-f)''=-f''$ .

Dériver deux foisCalculer f' puis f'' sur l'ensemble de définition.
Signe de f''Résoudre f''(x) = 0 et dresser le tableau de signes.
ConclureConvexe là où f'' ≥ 0, concave là où f'' ≤ 0.
InflexionUn changement de signe de f'' donne un point d'inflexion.

Étudier la convexité en quatre étapes

Courbe et tangentes : la courbe au-dessus de ses tangentes

Il existe une troisième lecture de la convexité, très utile pour démontrer des inégalités. Pour une fonction dérivable convexe, la courbe ne traverse jamais ses tangentes : elle reste au-dessus d'elles. Ce résultat se retrouve dans la théorie générale : une fonction différentiable convexe vérifie $f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)$ , en dimension un, pour tous points $x$ et $y$ . ¹

Démonstration · Une inégalité classique avec l'exponentielle

Montrons que $e^x\geq x+1$ pour tout réel $x$ . La tangente à la courbe de l'exponentielle en $0$ a pour équation $y=e^0+e^0(x-0)=1+x$ . L'exponentielle étant convexe sur $\mathbb{R}$ , ² sa courbe est au-dessus de cette tangente : $e^x\geq 1+x$ .

On peut aussi le retrouver sans la convexité. Posons $h(x)=e^x-x-1$ . Alors $h'(x)=e^x-1$ , qui est négative pour $x\leq 0$ et positive pour $x\geq 0$ . Donc $h$ est minimale en $0$ et $h(0)=0$ : on a $h(x)\geq 0$ partout. Les deux raisonnements donnent le même résultat.

Point d'inflexion

La fonction cube et son point d'inflexion · La courbe change de concavité à l'origine, où la dérivée seconde 6x change de signe.

Étudier une fonction complète et résoudre des problèmes

Dans un problème de bac, la convexité arrive rarement seule. On te demande souvent de combiner variations, convexité, tangente et parfois un paramètre. Voici comment organiser ton travail.

ExempleExemple rédigé : fonction avec exponentielle

Soit $f(x)=(x-1)e^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Dérivées. On dérive un produit : $f'(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=xe^x$ . Puis $f''(x)=1\cdot e^x+xe^x=(x+1)e^x$ .

Signe de $f''$ . Comme $e^x>0$ , le signe de $f''(x)$ est celui de $x+1$ : négatif pour $x<-1$ , positif pour $x>-1$ .

Conclusion. $f$ est concave sur $]-\infty\,;-1]$ et convexe sur $[-1\,;+\infty[$ . La dérivée seconde change de signe en $-1$ : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $-1$ , d'ordonnée $f(-1)=-2e^{-1}$ .

Lien avec les variations. $f'(x)=xe^x$ est négative pour $x<0$ et positive pour $x>0$ : $f$ décroît puis croît, avec un minimum en $0$ valant $f(0)=-1$ . On remarque que ce minimum se situe dans la zone convexe, ce qui est cohérent : une courbe en forme de « cuvette » est convexe.

Convexité

Cordes
- Courbe dessous
- Concave : dessus
Dérivée f'
- f' croissante
- f dérivable
Dérivée f''
- f'' ≥ 0
- f deux fois dér.
Tangentes
- Courbe dessus
- Inégalités
Inflexion
- f'' change de signe
- Tangente traversée

Convexité : les liens à connaître

Ce que la convexité apporte ensuite

La convexité est un outil que tu retrouveras dans les chapitres suivants du programme. Avec la fonction exponentielle, tu utiliseras sa convexité pour encadrer des valeurs. Avec le logarithme, tu t'appuieras sur sa concavité pour majorer des expressions, comme dans l'exemple $\ln x\leq x-1$ . Avec les fonctions puissances, tu compareras les croissances selon l'exposant en étudiant le signe de $f''$ .

Plus largement, la convexité est au cœur de l'optimisation : une fonction convexe n'a pas de minimum local « piège » distinct de son minimum global, ce qui facilite la recherche d'un optimum. La théorie des fonctions convexes est d'ailleurs motivée en grande partie par l'optimisation. ⁴

Exercices corrigés

Exercice 1 Étudier la convexité d'un polynôme

★☆☆Environ 10 min

Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''$ .
En déduire les intervalles où $f$ est convexe et concave. La courbe a-t-elle un point d'inflexion ? Donner son abscisse.

Indice 1

Dérive deux fois terme par terme.

Indice 2

Résous $f''(x)=0$ puis regarde le signe de $6x-6$ .

Voir la correction pas à pas

On dérive : $f'(x)=3x^2-6x$ .
On dérive à nouveau : $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ .
Signe de $f''$ : $f''(x)\geq 0 \iff x\geq 1$ .
$f$ est donc concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$ .
$f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe : il y a un point d'inflexion d'abscisse $1$ , de coordonnées $(1\,;0)$ car $f(1)=1-3+2=0$ .

La fonction est concave puis convexe, avec un point d'inflexion d'abscisse $1$ .

Exercice 2 Valeur de la dérivée seconde

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=x^4-2x^3$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calculer $f''(x)$ et la factoriser.
Étudier la convexité de $f$ .
Calculer $f''(2)$ .

Indice 1

$f'(x)=4x^3-6x^2$ .

Indice 2

Factorise $f''(x)$ par $12x$ : tu obtiens un produit dont le signe se lit facilement.

Voir la correction pas à pas

$f'(x)=4x^3-6x^2$ .
$f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1)$ .
Tableau de signes : $f''\geq 0$ pour $x\leq 0$ ou $x\geq 1$ , et $f''\leq 0$ sur $[0\,;1]$ .
$f$ est convexe sur $]-\infty\,;0]$ et sur $[1\,;+\infty[$ , concave sur $[0\,;1]$ ; il y a deux points d'inflexion, d'abscisses $0$ et $1$ .
Valeur demandée : $f''(2)=12\times 2\times(2-1)=24$ .

Ici, $f''$ change de signe deux fois, donc la courbe a deux points d'inflexion. On a $f''(2)=24$ .

Exercice 3 Majorer ln 2 grâce à la concavité

★★☆Environ 12 min

On considère la fonction $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Montrer que $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ .
En déduire que $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$ , puis un majorant de $\ln 2$ .

Indice 1

Dérive $\ln$ deux fois, la deuxième dérivée est $-1/x^2$ .

Indice 2

Utilise la formule $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ avec $a=1$ .

Voir la correction pas à pas

$\ln'(x)=\dfrac1x$ et $\ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ , qui est strictement négatif sur $]0\,;+\infty[$ : $\ln$ est concave.
En $a=1$ : $\ln 1=0$ et $\ln'(1)=1$ , donc la tangente est $y=0+1\times(x-1)=x-1$ .
Une fonction concave a sa courbe sous ses tangentes : $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$ .
Avec $x=2$ : $\ln 2\leq 2-1=1$ .

On obtient $\ln 2\leq 1$ . Ce majorant n'est pas très précis, mais il est obtenu sans calculatrice, à partir d'une simple tangente.

Exercice 4 Trouver un paramètre

★★★Environ 12 min

Soit $m$ un réel et $f_m(x)=x^3-mx^2+5x$ définie sur $\mathbb{R}$ . On veut que la courbe de $f_m$ ait un point d'inflexion d'abscisse $2$ .

Calculer $f_m''(x)$ .
Déterminer la valeur de $m$ .
Vérifier que $f_m''$ change bien de signe en $2$ .

Indice 1

Un point d'inflexion d'abscisse $2$ impose $f_m''(2)=0$ .

Indice 2

Écris l'équation en $m$ et résous-la.

Voir la correction pas à pas

$f_m'(x)=3x^2-2mx+5$ et $f_m''(x)=6x-2m$ .
Condition : $f_m''(2)=0$ soit $12-2m=0$ , donc $m=6$ .
Avec $m=6$ : $f_m''(x)=6x-12=6(x-2)$ , négatif pour $x<2$ et positif pour $x>2$ .
Le changement de signe est vérifié : l'abscisse $2$ est bien celle d'un point d'inflexion.

La valeur cherchée est $m=6$ . La vérification du changement de signe est indispensable : l'annulation de $f''$ seule ne suffit pas.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre le sens de variation et la convexité ?

Le sens de variation de $f$ se lit sur le signe de $f'$ : $f$ monte ou descend. La convexité se lit sur les variations de $f'$ , donc sur le signe de $f''$ : elle décrit la façon dont la courbe se courbe. Une fonction peut monter tout en étant concave (la racine carrée) ou monter en étant convexe (l'exponentielle). ²

Comment savoir si je dois utiliser f' ou f'' ?

Pose-toi la question posée. Pour « variations », « extremum », « maximum » : $f'$ . Pour « convexe », « concave », « point d'inflexion », « position par rapport à la tangente » : $f''$ (ou les variations de $f'$ si $f''$ est dure à calculer). ²

Un point d'inflexion est-il toujours un point où f'' s'annule ?

Pour une fonction deux fois dérivable, oui : il faut que $f''$ s'annule et change de signe. La réciproque est fausse, car l'annulation seule ne suffit pas. L'exemple de $x^4$ en $0$ le montre : $f''$ s'annule mais ne change pas de signe, donc il n'y a pas d'inflexion.

À quoi sert la convexité concrètement ?

Elle permet de démontrer des inégalités avec des tangentes, comme $e^x\geq x+1$ ou $\ln x\leq x-1$ . Elle sert aussi en optimisation, où elle constitue la principale motivation de l'étude des fonctions convexes. ⁴ Elle intervient enfin en finance, pour mesurer un risque de taux. ³

Est-ce que la convexité tombe au bac ?

Elle fait partie du programme de Terminale et apparaît couramment dans les problèmes de fonctions : étude de $f''$ , intervalles de convexité, point d'inflexion, position de la courbe par rapport à une tangente. Maîtrise surtout la méthode en quatre temps : dériver deux fois, étudier le signe de $f''$ , conclure sur chaque intervalle, repérer les changements de signe.

Sources

Leçons d'agrégation – Convexité, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Convexité des fonctions, Université Côte d'Azur. Consulté le 6 novembre 2026.
Convexité (finance), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction convexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi parler de convexité ?

Fonction convexe, fonction concave : l'idée de la corde

Convexité et dérivée première : la dérivée croît

Convexité et dérivée seconde : le signe de f''

Courbe et tangentes : la courbe au-dessus de ses tangentes

Point d'inflexion

Étudier une fonction complète et résoudre des problèmes

Ce que la convexité apporte ensuite

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Exercice 1 Étudier la convexité d'un polynôme

Exercice 2 Valeur de la dérivée seconde

Exercice 3 Majorer ln 2 grâce à la concavité

Exercice 4 Trouver un paramètre

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