Les fonctions puissances : cours de Terminale (option)

Tu connais déjà la fonction carré $x \mapsto x^2$, la fonction cube $x \mapsto x^3$ et la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ ³. Ce sont trois exemples d'une même famille : les fonctions puissances. Dans ce cours, on les regarde ensemble au lieu de les traiter une par une. L'intérêt est simple : au lieu de retenir des dizaines de cas, tu retiens deux ou trois règles qui dépendent du signe de l'exposant et de sa parité.

Ces fonctions ne sont pas seulement un exercice de style. Les fonctions puissances à exposant entier servent de base à la construction des fonctions polynomiales ⁴, et celles à exposant réel servent à modéliser des relations en physique, en biologie ou en économie ⁴. Quand tu étudieras une fonction du type $x^3 - 5x^2 + 2$ ou $x^2 + \frac{16}{x}$, tu t'appuieras sur ce que tu vas voir ici.

Ce que tu dois déjà savoir : dériver une fonction et lire le signe de la dérivée pour en déduire les variations, utiliser la convexité, connaître les fonctions $\ln$ et $\exp$ (qui sont réciproques l'une de l'autre ³). On s'en servira surtout pour la dérivation et la convexité.

Ce que tu sauras faire à la fin : reconnaître une fonction puissance, donner son ensemble de définition, décrire ses variations et ses limites, utiliser sa parité pour tracer sa courbe, la dériver, et résoudre des problèmes simples de comparaison et d'optimisation.

Pour comprendre pourquoi, pense à $x^2$ : si tu prends $x$ plus grand (et positif), son carré est plus grand. Il en va de même pour $x^3$, $x^{10}$, etc. Mathématiquement, on le prouve avec la dérivée (voir plus bas). Cette propriété donne un outil de comparaison très pratique : pour $a$ et $b$ positifs, $a < b$ équivaut à $a^n < b^n$.

À quoi ça sert ? La parité permet de limiter l'étude d'une fonction aux réels positifs : l'autre moitié se déduit par symétrie ⁵. Si tu connais la courbe de $x^3$ pour $x \geq 0$, tu obtiens la partie $x \leq 0$ en faisant une symétrie centrale de centre $O$. Si tu connais la courbe de $x^4$ pour $x \geq 0$, tu la complètes par une symétrie d'axe $(Oy)$.

Attention au vocabulaire : la plupart des fonctions ne possèdent aucune de ces deux symétries, même lorsque leur ensemble de définition est centré sur $0$ ⁵. Par exemple $x \mapsto x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire.

Pour $n \geq 1$, la fonction $x \mapsto x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$. Le cas $n = 1$ est la fonction inverse. C'est la seule fonction puissance dont la représentation graphique est une hyperbole ⁴.

Prenons $x \mapsto \frac{1}{x^2}$. Quand $x$ devient très grand, $x^2$ devient immense et son inverse se rapproche de $0$ : c'est l'asymptote $y = 0$. Quand $x$ se rapproche de $0$ avec $x>0$, $x^2$ devient minuscule, son inverse explose vers $+\infty$ : c'est l'asymptote $x = 0$. L'exposant $-2$ étant pair, la fonction est paire : la partie gauche de la courbe est le symétrique de la partie droite par rapport à l'axe $(Oy)$, d'où la croissance sur les négatifs.

Pour $x \mapsto \frac{1}{x}$, l'exposant $-1$ est impair : la fonction est impaire, la courbe est symétrique par rapport à $O$, et la fonction est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ comme sur $]0\,;+\infty[$.

Les fonctions puissances à exposant entier positif sont les briques des fonctions polynomiales ⁴. Une fonction polynomiale est nulle ou s'écrit comme une somme de termes $a_k x^k$ avec $k$ entier, les nombres réels $a_0, a_1, \dots, a_d$ étant appelés coefficients de la fonction ².

Par exemple $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4$ est une somme de fonctions puissances multipliées par des coefficients ($2$, $-5$ et $4$ pour le terme constant). Pour la dériver, on dérive terme à terme : $P'(x) = 6x^2 - 10x$.

La parité se lit alors terme par terme : une somme de puissances d'exposants tous pairs (en comptant le terme constant comme exposant $0$) est paire ; une somme de puissances d'exposants tous impairs est impaire ; dès qu'on mélange pairs et impairs avec des coefficients non nuls, la fonction n'est en général ni paire ni impaire ⁵.