Fonctions puissances : exercices corrigés de Terminale

Calcul de $f(2)$ : $2^5=2\times2\times2\times2\times2=32$.

Pour tout réel $x$, $f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)$. L'ensemble de définition $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$, donc $f$ est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, comme celle de toute fonction puissance d'exposant impair.⁵

Comme $f$ est impaire, $f(-2)=-f(2)=-32$. Contrôle direct : $(-2)^5=-32$.

Une fonction puissance est dérivable sur $\mathbb{R}$.⁴ Avec $n=4$ : $f'(x)=4x^{3}$.

On remplace : $f'(3)=4\times3^3=4\times27=108$.

Le facteur $4$ est positif, donc $f'(x)$ a le signe de $x^3$, c'est-à-dire celui de $x$. Ainsi $f'(x)<0$ pour $x<0$ et $f'(x)>0$ pour $x>0$.

Conclusion : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$. Cela correspond à une puissance d'exposant pair : décroissante sur les réels négatifs, croissante sur les réels positifs.⁴

Pour un exposant impair, la fonction puissance est strictement croissante sur les réels négatifs, et elle l'est aussi sur les réels positifs.⁴ Comme $g(0)=0$, elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Une fonction strictement croissante est injective : deux valeurs de $x$ distinctes donnent deux images distinctes. L'équation $g(x)=125$ a donc au plus une solution. Comme $g$ prend des valeurs aussi grandes que l'on veut vers $+\infty$ et est continue, elle atteint $125$ : il y a exactement une solution.

Essais : $4^3=64$ (trop petit), $5^3=125$. La solution est $x=5$.

$f(2)=2^3=8$. Comme $f'(x)=3x^2$, on a $f'(2)=3\times4=12$.

Équation de la tangente en $a=2$ : $y=8+12(x-2)$.

On développe : $y=8+12x-24=12x-16$.

L'ordonnée à l'origine est le terme constant : $-16$. Vérification : pour $x=2$, $12\times2-16=8=f(2)$, donc $T$ passe bien par le point $(2\,;8)$.

Le domaine $\mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à $0$. Pour tout $x\neq0$, $h(-x)=\dfrac{1}{(-x)^2}=\dfrac{1}{x^2}=h(x)$ : $h$ est paire, de courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.⁵

$h\left(\tfrac12\right)=\dfrac{1}{(1/2)^2}=\dfrac{1}{1/4}=4$ et $h(2)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$.

Par parité, $h\left(-\tfrac12\right)=h\left(\tfrac12\right)=4$. Donc $h\left(-\tfrac12\right)+h(2)=4+0{,}25=4{,}25$.

Les puissances d'exposant entier négatif sont strictement décroissantes sur les réels positifs, tendent vers $0$ en $+\infty$ et vers $+\infty$ en $0$ par valeurs positives ; la courbe possède deux asymptotes d'équations $x=0$ et $y=0$.⁴ Ici $h$ est donc strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$, avec ces deux asymptotes.

Pour tout réel $x$, $f(-x)=(-x)^3-12(-x)=-x^3+12x=-(x^3-12x)=-f(x)$. Le domaine $\mathbb{R}$ est symétrique : $f$ est impaire. On peut donc limiter l'étude aux réels positifs, puis conclure par symétrie par rapport à l'origine.⁵

$f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Sur $[0\,;+\infty[$, le facteur $x+2$ est positif, donc $f'(x)$ a le signe de $x-2$ : négative sur $[0\,;2[$, nulle en $2$, positive sur $]2\,;+\infty[$.

Tableau : $f(0)=0$ ; $f$ décroît de $f(0)=0$ jusqu'à $f(2)$, puis croît vers $+\infty$. On calcule $f(2)=2^3-12\times2=8-24=-16$.

Sur $[0\,;+\infty[$, le minimum vaut $f(2)=-16$, atteint en $x=2$. Par imparité, $f(-2)=-f(2)=16$ : sur $]-\infty\,;0]$, $f$ atteint un maximum local de $16$ en $x=-2$, la courbe étant symétrique de la première par rapport à l'origine.