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La loi binomiale : cours de Terminale (maths complémentaires)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un schéma de Bernoulli répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p, échec de probabilité 1 − p).
Si X compte les succès, X suit la loi binomiale ℬ(n ; p) et $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour k de 0 à n.
Le coefficient $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins de l'arbre à k succès ; il se lit dans le triangle de Pascal et vérifie $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .
Espérance $E(X)=np$ et variance $V(X)=np(1-p)$ .
Pour « au moins un succès », passe par l'événement contraire : $P(X\geq 1)=1-(1-p)^n$ .

Introduction : compter des succès

Tu lances une pièce dix fois et tu te demandes : quelle est la probabilité d'obtenir exactement cinq fois pile ? Un tireur tente quatre tirs avec une chance donnée de réussir chacun : quelle est la probabilité qu'il en réussisse trois ? Un laboratoire teste vingt pièces produites par une machine : combien de défauts peut-on raisonnablement attendre ?

Ces trois questions ont la même structure. On répète une même expérience, chaque fois avec deux issues possibles, et on s'intéresse au nombre de succès. La loi binomiale est l'outil qui modélise exactement cette situation : elle décrit le nombre de succès obtenus lors de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes. ²

Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître la situation, à construire la loi pas à pas à partir d'un arbre, à calculer des probabilités avec la formule, puis à utiliser l'espérance, la variance et la recherche d'un seuil ou d'un intervalle. Aucune notion antérieure n'est nécessaire à part le calcul de probabilités élémentaire et les arbres pondérés.

Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli

On associe à une telle épreuve une variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 sinon. ² Cette écriture est très pratique : en additionnant plusieurs de ces variables, on compte les succès. Nous nous en servirons pour l'espérance et la variance.

Deux issuesDéfinis le succès et sa probabilité p.
Répétition fixéeDonne le nombre n d'épreuves.
IndépendanceÉpreuves identiques et indépendantes.
ConclusionX suit la loi binomiale B(n ; p).

Reconnaître une loi binomiale · Les quatre vérifications à écrire avant de conclure.

Les chemins de l'arbre et les coefficients binomiaux

Prenons un schéma de Bernoulli avec $n=3$ et un succès de probabilité $p$ . L'arbre comporte $2^3=8$ chemins, chacun étant une suite de trois résultats. Chaque chemin a une probabilité obtenue en multipliant les probabilités rencontrées, puisque les épreuves sont indépendantes.

Par exemple, le chemin $S\,\overline{S}\,S$ (succès, échec, succès) a pour probabilité $p\times(1-p)\times p=p^2(1-p)$ . Le chemin $S\,S\,\overline{S}$ a la même probabilité $p^2(1-p)$ : seul l'ordre change, pas le nombre de succès. Il y a donc trois chemins à exactement deux succès, tous de probabilité $p^2(1-p)$ .

Pour obtenir la probabilité d'avoir exactement $k$ succès, il suffit donc de multiplier la probabilité d'un chemin à $k$ succès par le nombre de tels chemins. C'est le rôle des coefficients binomiaux.

Le triangle de Pascal permet de calculer ces coefficients sans calculatrice. ¹ Chaque nombre est la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui dans la ligne précédente. Par exemple, dans la ligne $n=5$ , le nombre 10 vient de $4+6$ de la ligne $n=4$ .

Triangle de Pascal jusqu'à n = 6
n	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

Triangle de Pascal jusqu'à n = 6 · Chaque case est la somme des deux cases au-dessus d'elle.

La loi binomiale : définition et formule

Démonstration · Pourquoi cette formule

Un chemin de l'arbre comportant exactement $k$ succès comporte aussi $n-k$ échecs. Sa probabilité est le produit de $k$ facteurs égaux à $p$ et de $n-k$ facteurs égaux à $1-p$ , soit $p^k(1-p)^{n-k}$ , quel que soit l'ordre des résultats.

Le nombre de chemins à $k$ succès est $\binom{n}{k}$ par définition du coefficient binomial. ¹ Ces chemins correspondent à des événements deux à deux incompatibles : on additionne leurs probabilités, ce qui revient à multiplier $p^k(1-p)^{n-k}$ par $\binom{n}{k}$ .

Calculer des probabilités avec la loi binomiale

Espérance et variance

Une variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 sinon est une variable de Bernoulli ; la somme de $n$ telles variables, indépendantes, compte les succès et suit la loi binomiale. ² Cette idée donne la moyenne et la dispersion de $X$ sans calcul lourd.

Pour une seule épreuve, la variable $Y$ vaut 1 avec la probabilité $p$ et 0 avec la probabilité $1-p$ . Son espérance est $E(Y)=1\times p+0\times(1-p)=p$ . Sa variance est $V(Y)=p(1-p)^2+(1-p)p^2=p(1-p)$ .

Démonstration · Pourquoi ces formules

Écrivons $X=Y_1+Y_2+\dots+Y_n$ , où chaque $Y_i$ vaut 1 si la $i$ -ème épreuve est un succès et 0 sinon. ² Par linéarité de l'espérance, $E(X)=E(Y_1)+\dots+E(Y_n)=np$ .

Les $Y_i$ étant indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances (propriété du cours sur les variables indépendantes). Donc $V(X)=n\times p(1-p)$ .

Seuils, intervalles et lien avec les tests

Le programme demande de savoir, pour une variable $X$ suivant une loi binomiale, déterminer un intervalle $I$ pour lequel la probabilité $P(X\in I)$ est supérieure ou égale à $1-\alpha$ , où $\alpha$ est un petit risque donné. ¹ On cherche donc un intervalle de valeurs « raisonnablement attendues », en laissant de côté les valeurs trop rares.

ExempleExemple : intervalle pour 10 lancers

Soit $X$ qui suit $\mathcal{B}\left(10\,;\tfrac12\right)$ . Les coefficients utiles sont $\binom{10}{0}=1$ , $\binom{10}{1}=10$ et $\binom{10}{2}=45$ . Chaque valeur $k$ a une probabilité $\dfrac{\binom{10}{k}}{1024}$ .

Les valeurs 0, 1 et 2 ont pour probabilités totales $\dfrac{1+10+45}{1024}=\dfrac{56}{1024}$ . Par symétrie, les valeurs 8, 9 et 10 pèsent autant. On en déduit

$P(3\leq X\leq7)=1-\dfrac{112}{1024}\approx0{,}891.$

L'intervalle $[3\,;7]$ convient donc pour $\alpha=0{,}11$ : le nombre de « pile » sort de $[3\,;7]$ environ une fois sur neuf.

Cadre de validité et prolongements

La loi binomiale ne s'applique que si les deux conditions du schéma de Bernoulli sont réunies : probabilité de succès constante et indépendance des épreuves. Elle modélise des situations simples de succès ou d'échec, comme un jeu de pile ou face. ²

Exercices corrigés

Exercice 1 Quatre tirs de précision

★☆☆Environ 8 min

Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}6$ , indépendamment des autres. Il tire 4 fois. On note $X$ le nombre de tirs réussis.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
Calcule la probabilité qu'il réussisse exactement 3 tirs.

Indice 1

Cherche le succès, sa probabilité et le nombre de répétitions.

Indice 2

Le coefficient $\binom43$ se lit dans la ligne $n=4$ du triangle de Pascal.

Voir la correction pas à pas

On répète 4 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (tir réussi ou raté) avec $p=0{,}6$ . Donc $X$ suit $\mathcal{B}(4\,;0{,}6)$ .
On applique la formule avec $k=3$ : $P(X=3)=\binom43\times0{,}6^3\times0{,}4^{1}$ .
On lit $\binom43=4$ dans le triangle de Pascal.
On calcule : $4\times0{,}216\times0{,}4=0{,}3456$ .

La probabilité de réussir exactement 3 tirs vaut $0{,}3456$ , soit environ 34,6 %.

Exercice 2 Au moins une pièce défectueuse

★★☆Environ 10 min

Dans une usine, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}2$ , indépendamment des autres. On contrôle 10 pièces. Quelle est la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse ? Donne la valeur exacte décimale.

Indice 1

Quel est l'événement contraire de « au moins une pièce défectueuse » ?

Indice 2

$P(X=0)=(1-p)^n$ .

Voir la correction pas à pas

On note $X$ le nombre de pièces défectueuses ; $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}2)$ (10 contrôles identiques et indépendants).
L'événement contraire de $(X\geq1)$ est $(X=0)$ : aucune pièce n'est défectueuse.
Pour cet événement : $P(X=0)=\binom{10}{0}\times0{,}2^0\times0{,}8^{10}=0{,}8^{10}$ .
On calcule : $0{,}8^{10}=0{,}1073741824$ , donc $P(X\geq1)=1-0{,}1073741824=0{,}8926258176$ .

Il y a environ 89,3 % de chances de trouver au moins une pièce défectueuse parmi les 10.

Exercice 3 Combien de personnes contacter ?

★★★Environ 15 min

Un service de relation client joint une personne par appel ; chaque personne répond avec la probabilité $0{,}1$ , indépendamment des autres. Quel est le plus petit nombre d'appels $n$ pour que la probabilité d'obtenir au moins une réponse soit supérieure ou égale à $0{,}95$ ?

Indice 1

Écris $P(X\geq1)=1-0{,}9^n$ puis traduis l'inégalité demandée.

Indice 2

Teste des valeurs de $n$ à la calculatrice, ou utilise le logarithme.

Voir la correction pas à pas

Soit $X$ le nombre de réponses sur $n$ appels : $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}1)$ .
On veut $P(X\geq1)=1-0{,}9^n\geq0{,}95$ .
Cela revient à $0{,}9^n\leq0{,}05$ .
On teste : $0{,}9^{28}\approx0{,}0523>0{,}05$ et $0{,}9^{29}\approx0{,}0471\leq0{,}05$ .
Comme $0{,}9^n$ décroît quand $n$ augmente, le plus petit entier qui convient est $n=29$ .

Il faut au minimum 29 appels pour avoir au moins 95 % de chances d'obtenir une réponse.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser la loi binomiale ?

Cherche trois éléments : une épreuve à deux issues (succès ou échec), répétée un nombre fixé de fois $n$ , avec la même probabilité $p$ à chaque fois et des répétitions indépendantes. Si l'énoncé demande de compter les succès, c'est le signe de la loi binomiale. ²

Quelle est la différence entre P(X = k) et P(X ≤ k) ?

$P(X=k)$ est la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès. $P(X\leq k)$ est la probabilité d'en obtenir au plus $k$ : c'est la somme $P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=k)$ . Les calculatrices proposent des fonctions différentes pour les deux.

Pourquoi utilise-t-on l'événement contraire pour « au moins un » ?

Parce que l'événement contraire ne contient qu'une seule valeur, $X=0$ . Au lieu d'additionner $n$ probabilités, tu calcules $1-(1-p)^n$ . C'est plus court et moins risqué.

Que faire quand n est trop grand pour faire le calcul à la main ?

Utilise la calculatrice ou un tableur, qui calculent les coefficients et les probabilités. Le calcul à la main devient en effet vite fastidieux quand $n$ grandit. ² Au bac, on attend surtout que tu poses correctement le modèle ( $X\sim\mathcal{B}(n\,;p)$ ) avant de calculer.

L'espérance d'une loi binomiale est-elle forcément un nombre entier ?

Non. $E(X)=np$ peut être décimal, par exemple $E(X)=1{,}5$ pour $n=3$ et $p=0{,}5$ . C'est une moyenne, pas une valeur que $X$ doit prendre.

Sources

Ressources en mathématiques pour la classe de terminale générale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Loi binomiale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Loi binomiale négative, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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