Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un schéma de Bernoulli répète n fois la même épreuve à deux issues (succès ou échec), de façon indépendante.
Le nombre de succès X suit la loi binomialeB(n,p), où p est la probabilité de succès à chaque épreuve.
P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k ; le coefficient (kn) compte les façons d'obtenir k succès.
Avant d'utiliser la loi : vérifier épreuves identiques, indépendantes et deux issues seulement.
Piège classique : ne pas confondre loi binomiale (nombre de succès sur n épreuves fixées) et loi binomiale négative (attente d'un nombre fixé de succès).
L'essentiel à retenir
Reconnaître et utiliser la loi binomiale
Pièges et à quoi ça sert
La loi binomiale modélise des situations de succès ou d'échec répétées, comme un jeu de pile ou face 2. Elle sert aussi dans les tests statistiques, qui permettent de décider à partir de données issues de l'aléa 2. Elle a été étudiée dès les débuts de l'histoire des probabilités 1.
Questions flash
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Il y a 10 lancers identiques et indépendants, et la probabilité du succès « obtenir 6 » vaut 61 : on a B(10;61). Inverser n et p est faux : n est un nombre d'épreuves, p une probabilité entre 0 et 1, donc p=6 est impossible.
P(X=1)=(14)×0,5×0,53=4×0,0625=0,25. Oublier le coefficient (14)=4 donnerait 0,0625, qui est la probabilité d'un seul ordre précis.
C'est exactement la définition du coefficient binomial dans un schéma de Bernoulli de taille n. Il ne représente pas une probabilité (il peut dépasser 1) : c'est un dénombrement.
Un schéma de Bernoulli demande des épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. Si la probabilité de succès changeait à chaque épreuve, les épreuves ne seraient plus identiques et la loi ne serait pas binomiale.
Ici le nombre d'épreuves n'est pas fixé : c'est le nombre de succès qui l'est. On est dans le cadre d'une attente d'un nombre de succès, qui relève de la loi binomiale négative 3, pas de la loi binomiale.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un énoncé relève de la loi binomiale ?
Cherche un nombre fixé de répétitions d'une même expérience, indépendantes, avec deux issues. Si on compte le nombre de succès parmi ces n essais, c'est une loi binomiale B(n,p)12. Si le nombre d'essais n'est pas fixé d'avance, méfie-toi.
Que représentent exactement n et p ?
n est le nombre d'épreuves réalisées et p la probabilité de succès à chaque épreuve 2. Le paramètre n est un entier naturel, p un réel compris entre 0 et 1.
Comment calculer « au moins un succès » ?
Passe par l'événement contraire : P(X⩾1)=1−P(X=0)=1−(1−p)n. C'est plus court que d'additionner toutes les probabilités de k=1 à n.