Loi binomiale : exercices corrigés, Terminale maths complémentaires

Cas a) : chaque lancer a deux issues utiles (6 ou pas 6), avec $p=\frac16$. Il y a 10 lancers fixés à l'avance, et les lancers sont indépendants. $X$ compte les succès : $X\sim\mathcal{B}(10,\frac16)$.

Cas b) : sans remise, la probabilité d'obtenir un cœur au deuxième tirage dépend du premier tirage. Les épreuves ne sont pas indépendantes : ce n'est pas une loi binomiale.

Cas c) : le nombre de répétitions n'est pas fixé à l'avance, il dépend du premier 6. La condition « $n$ fixé » manque : ce n'est pas une loi binomiale.

Justifie le modèle : 5 épreuves identiques et indépendantes, deux issues, succès = pile avec $p=\frac12$. Donc $X\sim\mathcal{B}(5,\frac12)$.²

Applique la formule : $P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^3$.

Calcule : $\binom52=10$ et $\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}$, donc $P(X=2)=\frac{10}{32}=\frac5{16}=0{,}3125$.

Le nombre cherché est $\binom63$, c'est-à-dire le nombre de façons d'obtenir 3 succès dans un schéma de Bernoulli de taille 6.¹

Construis les lignes du triangle : $n=4$ : 1, 4, 6, 4, 1 ; $n=5$ : 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Pour $n=6$, le terme du milieu est la somme de deux termes voisins de la ligne 5 : $\binom63=\binom52+\binom53=10+10=20$.

Contrôle avec la symétrie : la ligne 6 est 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, et elle se lit pareillement dans les deux sens.¹

Modèle : 4 lancers indépendants, succès avec $p=\frac16$. Donc $X\sim\mathcal{B}(4,\frac16)$.

Formule : $P(X=1)=\binom41\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^3$.

Calcule : $\binom41=4$ et $\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}$, d'où $P(X=1)=4\times\frac16\times\frac{125}{216}=\frac{500}{1296}$.

Donne une valeur approchée : $P(X=1)\approx0{,}3858$.

Modèle : 8 pièces indépendantes, succès = « pièce défectueuse » avec $p=0{,}1$. Donc $X\sim\mathcal{B}(8;0{,}1)$.

L'événement contraire de $X\geq1$ est $X=0$. Donc $P(X\geq1)=1-P(X=0)$.

Calcule : $P(X=0)=\binom80(0{,}1)^0(0{,}9)^8=0{,}9^8\approx0{,}4305$.

Conclus : $P(X\geq1)=1-0{,}9^8\approx0{,}5695$.

Écris : $P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$.

$P(X=0)=0{,}7^6=0{,}117649$.

$P(X=1)=6\times0{,}3\times0{,}7^5=1{,}8\times0{,}16807=0{,}302526$.

$P(X=2)=15\times0{,}3^2\times0{,}7^4=1{,}35\times0{,}2401=0{,}324135$.

Additionne : $P(X\leq2)=0{,}117649+0{,}302526+0{,}324135=0{,}74431$.

Modèle : 20 épreuves indépendantes, succès = « vient à vélo » avec $p=0{,}35$. Donc $X\sim\mathcal{B}(20;0{,}35)$.

$X$ est la somme de 20 variables de Bernoulli de moyenne $0{,}35$ chacune.²

La moyenne de la somme est la somme des moyennes : $E(X)=20\times0{,}35=7$.

Modèle : $X\sim\mathcal{B}(n;0{,}2)$.

Écris : $P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^n$.

La condition devient $1-0{,}8^n\geq0{,}99$, soit $0{,}8^n\leq0{,}01$.

Applique $\ln$ (croissante) : $n\ln(0{,}8)\leq\ln(0{,}01)$. Comme $\ln(0{,}8)<0$, l'inégalité change de sens : $n\geq\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}\approx20{,}6$.

Vérifie : $0{,}8^{20}\approx0{,}0115>0{,}01$, donc $n=20$ ne suffit pas ; $0{,}8^{21}\approx0{,}0092\leq0{,}01$, donc $n=21$ convient.

Passe par l'événement contraire : $P(3\leq X\leq7)=1-P(X\leq2)-P(X\geq8)$.

Comme $p=0{,}5$, chaque probabilité vaut $\binom{10}{k}/2^{10}$, et la symétrie $\binom{10}{k}=\binom{10}{10-k}$ donne $P(X\geq8)=P(X\leq2)$.¹

Calcule : $P(X\leq2)=\frac{1+10+45}{1024}=\frac{56}{1024}$.

Donc $P(3\leq X\leq7)=1-\frac{112}{1024}=\frac{912}{1024}=0{,}890625$.

Compare : $0{,}890625\geq0{,}85=1-\alpha$. L'intervalle $[3\,;\,7]$ convient.