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Applications à la cryptographie : cours de Terminale expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Chiffrer, c'est transformer un message en suite d'entiers, puis appliquer une opération modulaire inversible ; déchiffrer, c'est appliquer l'opération réciproque.
Chiffrement affine : $y \equiv ax+b \pmod{26}$ , réversible si et seulement si $\operatorname{PGCD}(a,26)=1$ ; l'inverse de $a$ se trouve avec l'algorithme d'Euclide étendu (Bézout).
RSA : $n=pq$ , $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ , $e$ premier avec $\varphi(n)$ , $d$ inverse de $e$ modulo $\varphi(n)$ . Clé publique $(n,e)$ , clé privée $d$ .
Chiffrer : $c \equiv m^e \pmod n$ ; déchiffrer : $m \equiv c^d \pmod n$ . La preuve repose sur le petit théorème de Fermat appliqué modulo $p$ puis modulo $q$ .
Pour calculer à la main, on réduit modulo $n$ à chaque étape (puissances successives), jamais on ne calcule $m^e$ en entier.

Chiffrer et déchiffrer : l'enjeu et le vocabulaire

Tu envoies un message, une carte bancaire transmet un code, un site web échange un mot de passe : dans chaque cas, quelqu'un d'autre pourrait lire le message en chemin. La cryptographie répond à ce problème. Le mot vient du grec kruptos, qui veut dire « caché » ³. On la présente comme l'art et la science d'étudier des systèmes de chiffrement, que ce soit pour les éprouver ou pour les briser ².

Ce chapitre est la suite directe de ton cours d'arithmétique. Les ressources d'accompagnement du programme rappellent que l'arithmétique des entiers débouche sur des applications spectaculaires en cryptographie ou en codage ¹. Tu vas le vérifier : chaque notion vue avant sert ici. Le théorème de Bézout te donne des inverses modulaires, le théorème de Gauss justifie une divisibilité par un produit, la décomposition en facteurs premiers sert à construire des clés et le petit théorème de Fermat explique pourquoi le déchiffrement fonctionne.

L'idée de chiffrer avec de l'arithmétique n'est pas récente. Une méthode arithmétique de cryptographie était déjà utilisée au Maghreb à la fin du XVIe siècle ². Les chiffres de César et de Vigenère font partie des méthodes classiques que présente un panorama historique de la cryptographie ³. Du côté des outils mathématiques, l'algorithme d'Euclide étendu, dont tu vas te servir sans arrêt, est attribué à Bachet (1612) puis à Bézout (1766) ¹.

Transformer les lettres en entiers : le chiffrement par décalage

Pour calculer sur un texte, il faut d'abord le transformer en nombres. Une manière classique consiste à associer à chacune des 26 lettres de l'alphabet un entier ³. Nous choisissons la convention suivante.

$A=0,\ B=1,\ C=2,\ \dots,\ H=7,\ \dots,\ M=12,\ \dots,\ T=19,\ \dots,\ Z=25.$

Les calculs se font ensuite modulo 26, c'est-à-dire dans l'ensemble des restes de la division euclidienne par 26. Les cours d'arithmétique étudient cette structure sous le nom $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , ici avec $n=26$ ⁴. Pour toi, cela revient à utiliser les congruences que tu connais.

Une première amélioration consiste à autoriser n'importe quelle permutation des lettres, et non plus seulement un décalage ⁴. Mais ces permutations n'ont pas toutes une formule arithmétique simple. Entre les deux, il existe une famille de chiffrements qui multiplient avant de décaler : c'est le chiffrement affine, objet de la section suivante.

Le chiffrement affine et l'inverse modulaire

Démonstration · Pourquoi cette condition est nécessaire et suffisante

Cas $\operatorname{PGCD}(a,26)=1$ . D'après le théorème de Bézout, il existe $u$ et $v$ entiers tels que $au+26v=1$ . Donc $au\equiv 1 \pmod{26}$ . Si $y\equiv ax+b$ , alors $y-b\equiv ax$ , puis $u(y-b)\equiv uax\equiv x \pmod{26}$ . Le rang $x$ se retrouve à partir de $y$ : deux lettres différentes ne peuvent donner la même lettre chiffrée.

Cas $\delta=\operatorname{PGCD}(a,26)>1$ . Posons $x'=x+\dfrac{26}{\delta}$ . Comme $\delta$ divise $a$ , le nombre $a\cdot\dfrac{26}{\delta}=\dfrac{a}{\delta}\cdot 26$ est un multiple de 26. Donc $ax'\equiv ax \pmod{26}$ alors que $x'\not\equiv x \pmod{26}$ (car $0<\frac{26}{\delta}<26$ ). Deux lettres distinctes ont la même image : on ne peut plus déchiffrer sans ambiguïté.

Clé secrète, clé publique : deux familles de systèmes

Dans les chiffrements précédents, la même information sert à chiffrer et à déchiffrer : si tu connais $(a,b)$ , tu sais faire les deux. On parle de cryptographie symétrique, où la connaissance de la clé permet les deux opérations ⁴. Les algorithmes symétriques modernes cités à titre d'exemple sont Triple DES et AES ⁶.

Ce modèle pose un problème pratique. Il faut que les deux interlocuteurs possèdent la clé secrète à l'avance, et qu'elle ne soit connue que d'eux ⁶. Comment se mettre d'accord sur une clé avec quelqu'un que l'on n'a jamais rencontré, alors que toutes les communications peuvent être lues ?

Les systèmes asymétriques répondent à cette difficulté. RSA en est l'exemple le plus connu : c'est un algorithme de chiffrement asymétrique ⁶. Dans le cas de RSA, que tu construis dans la suite du cours, la clé qui sert à chiffrer est publique : n'importe qui peut la lire et s'en servir pour t'écrire. La clé qui sert à déchiffrer reste privée, et toi seul la connais. Il n'y a plus de secret à transmettre.

Deux familles de chiffrement
Critère	Symétrique	Asymétrique
Clé	La même clé secrète pour chiffrer et déchiffrer	Une clé publique pour chiffrer, une clé privée pour déchiffrer
Exemples	AES, Triple DES (et le chiffre affine du cours)	RSA
Contrainte	Les deux interlocuteurs doivent déjà partager la clé	Il faut garder la clé privée secrète

Deux familles de chiffrement · Les exemples AES, Triple DES et RSA sont ceux cités dans les sources.

RSA : construire une paire de clés

RSA est un chiffrement asymétrique ⁶ dont tout le fonctionnement repose sur les notions d'arithmétique que tu connais. Pour l'étudier, on suit le point de vue de Alice, qui veut recevoir des messages secrets. Elle fabrique deux clés. Un correspondant, Bob, utilisera la clé publique pour lui écrire.

Choisir p et qDeux nombres premiers distincts, gardés secrets
Calculer n et φ(n)n = pq et φ(n) = (p−1)(q−1)
Choisir ePremier avec φ(n), donc inversible modulo φ(n)
Trouver dd est l'inverse de e modulo φ(n) (Bézout)
Publier (n, e)d reste la clé privée, avec p et q

Fabriquer une paire de clés RSA · Les étapes sont suivies par Alice, qui reçoit les messages.

ExempleUn exemple avec p = 5 et q = 11

$n=5\times 11=55$ .
$\varphi(n)=(5-1)(11-1)=4\times 10=40$ .
On choisit $e=7$ : comme 7 est premier et ne divise pas 40, $\operatorname{PGCD}(7,40)=1$ .
On cherche $d$ tel que $7d\equiv 1 \pmod{40}$ . Euclide : $40=5\times 7+5$ , $7=1\times 5+2$ , $5=2\times 2+1$ , d'où $1=5-2\times 2=5-2(7-5)=3\times 5-2\times 7=3(40-5\times 7)-2\times 7=3\times 40-17\times 7$ . Donc $7\times(-17)\equiv 1$ , et $-17\equiv 23 \pmod{40}$ . On prend $d=23$ .
Contrôle : $7\times 23=161=4\times 40+1$ .

Clé publique : $(55, 7)$ . Clé privée : $d=23$ .

RSA : chiffrer, déchiffrer et démontrer que ça marche

Démonstration · Démonstration avec Bézout, Fermat et Gauss

Comme $ed\equiv 1 \pmod{\varphi(n)}$ , il existe un entier $k\ge 0$ tel que $ed=1+k\varphi(n)=1+k(p-1)(q-1)$ .

Modulo $p$ .

Si $p$ divise $m$ , alors $m\equiv 0$ et $m^{ed}\equiv 0\equiv m \pmod p$ .
Sinon, le petit théorème de Fermat donne $m^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ . Alors $m^{ed}=m\cdot m^{k(p-1)(q-1)}=m\cdot\left(m^{p-1}\right)^{k(q-1)}\equiv m\cdot 1=m \pmod p.$

Dans les deux cas, $p$ divise $m^{ed}-m$ .

Modulo $q$ . Le même raisonnement, en échangeant les rôles de $p$ et $q$ , montre que $q$ divise $m^{ed}-m$ .

Conclusion. Le nombre $N=m^{ed}-m$ est divisible par $p$ . Écrivons $N=pN'$ . Comme $q$ divise $pN'$ et que $q$ est premier avec $p$ (deux nombres premiers distincts), le théorème de Gauss donne que $q$ divise $N'$ . Donc $pq=n$ divise $N$ , c'est-à-dire $m^{ed}\equiv m \pmod n$ . Les congruences simultanées modulo $p$ et modulo $q$ se regroupent ainsi en une congruence modulo $n$ , ce que l'on retrouve aussi avec le lemme chinois, présent dans le programme ¹.

Calculer à la main : méthode, raccourcis et erreurs

ExempleUn second jeu de clés : p = 7 et q = 13

On a $n=91$ et $\varphi(n)=6\times 12=72$ . On prend $e=5$ , premier avec 72. Pour trouver $d$ : $72=14\times 5+2$ , $5=2\times 2+1$ , d'où $1=5-2\times 2=5-2(72-14\times 5)=29\times 5-2\times 72$ . Donc $d=29$ , car $5\times 29=145=2\times 72+1$ .

Chiffrons $m=10$ : $10^2=100\equiv 9$ , $10^4\equiv 81$ , $10^5=10^4\times 10\equiv 810=8\times 91+82$ . Donc $c=82$ .

Déchiffrons $c=82$ par le raccourci. Modulo 7 : $82\equiv 5$ et $5^6\equiv 1$ , donc $5^{29}\equiv 5^{5}$ ; or $5^2=25\equiv 4$ , $5^4\equiv 16\equiv 2$ , $5^5\equiv 10\equiv 3$ . Modulo 13 : $82\equiv 4$ et $4^{12}\equiv 1$ , donc $4^{29}\equiv 4^{5}=1024=78\times 13+10$ , soit 10. Le message vérifie $m\equiv 3 \pmod 7$ et $m\equiv 10 \pmod{13}$ ; l'entier 10 convient, et c'est le seul entre 0 et 90. On retrouve $m=10$ .

Aller plus loin : ce que dit le reste du programme et du monde

Cette section est une ouverture : rien de ce qui suit n'est à savoir faire au bac, mais cela donne un sens à ton travail.

Exercices corrigés

Exercice 1 Chiffrer une lettre avec un chiffrement affine

★☆☆Environ 8 min

On utilise le chiffrement affine $y \equiv 5x+8 \pmod{26}$ avec la convention $A=0, B=1,\dots,Z=25$ .

Vérifier que la clé $(5,8)$ est utilisable.
Chiffrer la lettre D. Donner le rang de la lettre chiffrée.

Indice 1

Une clé $(a,b)$ est utilisable si $\operatorname{PGCD}(a,26)=1$ .

Indice 2

D a pour rang 3.

Voir la correction pas à pas

Calcul du PGCD : $26=5\times 5+1$ , donc $\operatorname{PGCD}(5,26)=1$ . La clé est utilisable : le déchiffrement est possible.
Codage de la lettre : D a pour rang $x=3$ .
Application de la formule : $5\times 3+8=23$ . Comme $23\le 25$ , aucune réduction n'est nécessaire.
Le rang 23 correspond à la lettre X. La lettre D est chiffrée en X.

Le rang de la lettre chiffrée est 23, soit la lettre X. Retiens la vérification systématique du PGCD avant de chiffrer.

Exercice 2 Calculer une clé privée RSA

★★☆Environ 12 min

Alice choisit $p=7$ et $q=13$ , puis $e=5$ .

Calculer $n$ et $\varphi(n)$ .
Justifier que $e$ convient.
Déterminer la clé privée $d$ , avec $0<d<\varphi(n)$ .

Indice 1

$\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ .

Indice 2

Utilise l'algorithme d'Euclide sur 72 et 5, puis remonte les divisions.

Voir la correction pas à pas

Calcul de $n$ : $n=7\times 13=91$ .
Calcul de $\varphi(n)$ : $\varphi(n)=(7-1)(13-1)=6\times 12=72$ .
Vérification de $e$ : $72=14\times 5+2$ , $5=2\times 2+1$ . Le dernier reste non nul est 1, donc $\operatorname{PGCD}(5,72)=1$ et $e=5$ convient.
Remontée des divisions : $1=5-2\times 2=5-2(72-14\times 5)=29\times 5-2\times 72$ .
On lit $5\times 29\equiv 1 \pmod{72}$ , donc $d=29$ . Contrôle : $5\times 29=145=2\times 72+1$ .

La clé privée est $d=29$ et la clé publique est $(91,5)$ . L'inverse se cherche modulo $\varphi(n)=72$ , pas modulo 91.

Exercice 3 Déchiffrer un message RSA avec Fermat

★★★Environ 20 min

Avec la clé publique $(91,5)$ et la clé privée $d=29$ de l'exercice précédent, Bob a envoyé le message chiffré $c=82$ .

Calculer le reste de $c^{29}$ dans la division par 7.
Calculer le reste de $c^{29}$ dans la division par 13.
En déduire le message $m$ , avec $0\le m<91$ .

Indice 1

Utilise le petit théorème de Fermat pour réduire l'exposant : $a^{6}\equiv 1 \pmod 7$ et $a^{12}\equiv 1 \pmod{13}$ si $a$ n'est pas divisible.

Indice 2

Pour la dernière question, cherche un entier entre 0 et 90 qui a les deux restes trouvés.

Voir la correction pas à pas

Réduction de la base : $82=11\times 7+5$ donc $82\equiv 5 \pmod 7$ ; $82=6\times 13+4$ donc $82\equiv 4 \pmod{13}$ .
Modulo 7 : 7 ne divise pas 5, donc $5^6\equiv 1$ . Comme $29=4\times 6+5$ , $5^{29}\equiv 5^5$ . Or $5^2\equiv 4$ , $5^4\equiv 16\equiv 2$ , $5^5\equiv 2\times 5=10\equiv 3$ . Le reste est 3.
Modulo 13 : $4^{12}\equiv 1$ . Comme $29=2\times 12+5$ , $4^{29}\equiv 4^5=1024$ . Or $1024=78\times 13+10$ . Le reste est 10.
Recherche de $m$ : on veut $m\equiv 3 \pmod 7$ et $m\equiv 10 \pmod{13}$ . Les entiers $10, 23, 36, 49, 62, 75, 88$ sont congrus à 10 modulo 13 ; parmi eux, seul 10 donne le reste 3 dans la division par 7 ( $10=7+3$ ).
Unicité : un entier entre 0 et 90 est déterminé par ses restes modulo 7 et 13 (car $7\times 13=91$ ). Le message est $m=10$ .
Contrôle : chiffrer $10$ avec $e=5$ donne $10^5=100000\equiv 82 \pmod{91}$ , ce qui est bien $c$ .

Le message envoyé par Bob est $m=10$ . Fermat réduit les exposants, et le fait que 7 et 13 soient premiers entre eux permet de recoller les deux informations.

Les questions qu'on se pose

À quoi sert vraiment l'arithmétique modulaire en cryptographie ?

Elle fournit des opérations que l'on peut inverser (grâce aux inverses modulaires et à Bézout) et qui restent dans un ensemble fini de nombres. Les ressources du programme présentent d'ailleurs la cryptographie comme une application importante de l'arithmétique des entiers ¹. Chiffrer revient à appliquer une opération bien choisie, et déchiffrer à appliquer l'opération réciproque.

Comment savoir si une clé affine (a, b) est valable ?

Il suffit de vérifier que $\operatorname{PGCD}(a,26)=1$ avec l'algorithme d'Euclide. Si c'est le cas, $a$ a un inverse modulo 26 et on peut déchiffrer. Le nombre $b$ n'a aucune condition : n'importe quel entier convient, et on le prend entre 0 et 25.

Pourquoi calcule-t-on modulo n pour chiffrer, mais modulo φ(n) pour trouver d ?

Le message vit dans les restes modulo $n$ : on veut un nombre $c$ compris entre 0 et $n-1$ . Mais la preuve utilise l'égalité $ed=1+k\varphi(n)$ , qui vient de la congruence $ed\equiv 1 \pmod{\varphi(n)}$ . C'est pourquoi $d$ est l'inverse de $e$ modulo $\varphi(n)$ et non modulo $n$ .

Dans un exercice, que faire si l'énoncé donne n mais pas p ni q ?

Il faut factoriser $n$ : cherche un diviseur premier en testant les petits nombres premiers jusqu'à $\sqrt{n}$ . Pour un exemple scolaire comme $n=91$ , on trouve vite $91=7\times 13$ . Cette étape suffit à calculer $\varphi(n)$ puis $d$ . C'est aussi pour cette raison que, dans les vrais systèmes, on choisit des nombres premiers énormes.

Est-ce que RSA tombe à l'examen avec de grands nombres ?

Les sujets utilisent de petits nombres, que l'on peut manipuler à la main avec des puissances successives réduites. On te demande surtout de calculer un inverse modulaire, de chiffrer ou de déchiffrer en réduisant à chaque étape, et de justifier avec Fermat ou Bézout. Entraîne-toi donc aux calculs de puissances modulaires sans calculatrice et à la rédaction de la preuve.

Sources

Ressources d'accompagnement - Arithmétique et applications à la cryptographie, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Tests de primalité, RSA, logarithme discret, Diffie-Hellman, CNRS - Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme. Consulté le 6 novembre 2026.
Du chiffrement de César à la mathématique de la carte bancaire, IREM Université Grenoble Alpes. Consulté le 6 novembre 2026.
Arithmétique des entiers - Deux exemples d'applications, Institut Fourier - Université Grenoble Alpes. Consulté le 6 novembre 2026.
Cryptographie sur les courbes elliptiques, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Cryptographie quantique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Chiffrer et déchiffrer : l'enjeu et le vocabulaire

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Exercice 1 Chiffrer une lettre avec un chiffrement affine

Exercice 2 Calculer une clé privée RSA

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