Les congruences : cours de Terminale Maths expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Deux entiers sont congrus modulo n si leur différence est divisible par n, ou si leurs restes dans la division euclidienne par n sont égaux 3.
On note a≡b[n] ; cela équivaut à : il existe un entier k tel que a−b=kn.
La congruence est compatible avec la somme, la différence, le produit et les puissances : on peut remplacer chaque nombre par un congru plus petit avant de calculer.
Piège : on ne simplifie pas librement. ka≡kb[n] n'entraîne pas a≡b[n] en général.
Méthode type : chercher une puissance congrue à 1, puis réduire l'exposant par la division euclidienne.
Introduction : pourquoi s'intéresser aux restes ?
Quand tu lis l'heure sur une horloge à 12 heures, tu fais déjà des calculs avec des restes. Quand le cadran atteint 12, il recommence à zéro : on travaille alors « modulo 12 » 3. Par exemple, 9 heures et 21 heures s'affichent de la même façon : on dit que 9 et 21 sont congrus modulo 12, comme 33 et 45 3.
Dans ce cours, tu vas transformer cette intuition en outil de calcul. Tu sais déjà qu'une division euclidienne donne un quotient et un reste. Les congruences utilisent uniquement le reste et permettent de manipuler des entiers énormes en les remplaçant par de tout petits nombres.
Cette notion a une histoire. Elle est bien plus ancienne que Galois : Euler (1707-1783) en avait parfaitement compris l'intérêt et la manipulait avec aisance 1. Elle a été présentée de façon systématique par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801, où il considère la somme et le produit d'entiers directement au niveau des congruences 3. Aujourd'hui, elle sert en théorie des nombres, en algèbre et en cryptographie 3.
Définition d'une congruence
Démonstration · Pourquoi « même reste » équivaut à « différence multiple de $n$ »
Écrivons les divisions euclidiennes a=nq+r et b=nq′+r′ avec 0≤r,r′<n.
Si r=r′, alors a−b=n(q−q′) : la différence est un multiple de n.
Réciproquement, supposons a−b=kn. Alors r−r′=(a−b)−n(q−q′)=n(k−q+q′) est un multiple de n. Or r et r′ sont compris entre 0 et n−1, donc −n<r−r′<n. Le seul multiple de n dans cet intervalle est 0, donc r=r′.
Lire une congruence : les restes et les « colonnes »
Fixons n=5. Rangeons les entiers relatifs dans un tableau à cinq colonnes, selon leur reste dans la division par 5. Tous les nombres d'une même colonne sont congrus entre eux modulo 5. Cette idée de regrouper les nombres par colonnes est précisément ce qui rend les congruences utiles pour étudier des équations en nombres entiers 1.
Les entiers rangés par reste modulo 5
Reste 0
Reste 1
Reste 2
Reste 3
Reste 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Les entiers rangés par reste modulo 5 · Les nombres d'une même colonne sont congrus entre eux modulo 5.
Les propriétés de la congruence
Démonstration · Transitivité
Si a−b=kn et b−c=k′n, alors en additionnant, a−c=(k+k′)n. Donc a≡c[n]. La réflexivité vient de a−a=0=0×n et la symétrie de b−a=−(a−b)=(−k)n.
Grâce à ces trois propriétés, une congruence se manipule presque comme une égalité : tu peux enchaîner a≡b≡c pour conclure a≡c.
Calculer avec les congruences : somme et produit
Le point fort de l'approche de Gauss est que l'on peut additionner et multiplier directement les congruences, sans repasser par les nombres de départ 3. C'est ce qui permet de travailler avec des restes plutôt qu'avec de grands nombres.
Démonstration · Somme et produit
On écrit a=b+kn et c=d+k′n avec k,k′ entiers.
Somme : a+c=b+d+(k+k′)n, donc a+c≡b+d[n].
Produit :
ac=(b+kn)(d+k′n)=bd+n(bk′+dk+kk′n).
La quantité entre parenthèses est un entier, donc ac−bd est un multiple de n : ac≡bd[n].
Puissance : on applique le produit de façon répétée (par récurrence sur p) avec c=a et d=b.
Puissances et périodicité des restes
Calculer le reste de 3100 dans la division par 7 en développant 3100 serait absurde. Les congruences donnent un chemin court : les restes successifs des puissances se répètent, et on exploite cette répétition.
Résoudre des congruences
Une congruence peut contenir une inconnue, comme 3x≡4[7]. Résoudre, c'est trouver tous les entiers x qui la vérifient. Avec la compatibilité, si x est solution alors tout entier congru à x modulo n l'est aussi : il suffit donc de tester les n restes possibles.
Applications : critères de divisibilité et équations en nombres entiers
Les congruences servent à démontrer des critères de divisibilité et à étudier des équations dont on ne cherche que les solutions entières. De telles équations s'appellent diophantiennes, d'après Diophante, mathématicien grec d'Alexandrie au 2e siècle de notre ère 1. Regrouper les nombres par colonnes, c'est-à-dire par restes, peut être très utile pour les résoudre 1.
Démonstration · Preuve du critère par 9
Comme 10≡1[9], on a 10k≡1[9] pour tout entier naturel k. Si N=ap10p+⋯+a110+a0 avec ai chiffres, alors
N≡ap+⋯+a1+a0[9].
Un entier et la somme de ses chiffres ont donc le même reste modulo 9. En particulier, l'un est divisible par 9 si et seulement si l'autre l'est. Le même raisonnement fonctionne modulo 3.
Erreurs fréquentes et bilan
Exercices corrigés
Exercice 1 Un reste dans la division par 7
★☆☆Environ 5 min
Détermine le reste de la division euclidienne de 2026 par 7, puis le reste de 2026×15 par 7 en utilisant les congruences.
Indice 1
Commence par écrire 2026=7q+r. Essaie q=289.
Indice 2
Réduis aussi 15 modulo 7 avant de multiplier.
Voir la correction pas à pas
On a 7×289=2023 et 2026−2023=3, donc 2026≡3[7] : le reste est 3.
On réduit 15 : 15=2×7+1, donc 15≡1[7].
Par compatibilité avec le produit : 2026×15≡3×1=3[7].
Le reste cherché est donc 3. Contrôle : 2026×15=30390=7×4341+3.
Réduire chaque facteur avant de multiplier évite de manipuler de gros nombres. Le résultat final est 3.
Exercice 2 Reste d'une grande puissance
★★☆Environ 10 min
Détermine le reste de la division euclidienne de 3100 par 7. Pour cela, calcule les premières puissances de 3 modulo 7 et repère une période.
Indice 1
Calcule 31,32,… modulo 7 jusqu'à tomber sur 1.
Indice 2
Écris l'exposant 100 sous la forme 6q+r.
Voir la correction pas à pas
31≡3, 32=9≡2, 33≡6, 34≡18≡4, 35≡12≡5, 36≡15≡1[7].
On a donc 36≡1[7] : la période est 6.
Division euclidienne de l'exposant : 100=6×16+4.
Alors 3100=(36)16×34≡116×34[7].
Or 34=81=7×11+4, donc 3100≡4[7].
Le reste est 4. La méthode se généralise : trouver la période, puis réduire l'exposant.
Exercice 3 Dernier chiffre d'une puissance
★★☆Environ 10 min
Quel est le dernier chiffre de l'écriture décimale de 72026 ?
Indice 1
Le dernier chiffre d'un entier est son reste modulo 10.
Indice 2
Cherche la plus petite puissance de 7 congrue à 1 modulo 10.
Voir la correction pas à pas
On travaille modulo 10 : 71≡7, 72=49≡9, 73≡63≡3, 74≡21≡1[10].
La période est donc 4.
On a 2026=4×506+2.
Ainsi 72026=(74)506×72≡1×49≡9[10].
Le dernier chiffre de 72026 est 9.
Exercice 4 Résoudre une congruence et prouver une impossibilité
★★★Environ 15 min
1. Trouve le plus petit entier naturel x tel que 3x≡4[7].
2. Démontre que l'équation x2−4y=3 n'admet aucune solution entière (x;y).
Indice 1
Pour la question 1, fais un tableau des valeurs de 3x modulo 7 pour x de 0 à 6.
Indice 2
Pour la question 2, réduis l'équation modulo 4 et liste les carrés possibles.
Voir la correction pas à pas
Question 1 : on calcule 3xmod7 pour x=0,1,…,6 : on obtient 0,3,6,2,5,1,4.
Seule la valeur x=6 donne le reste 4. Le plus petit entier naturel solution est donc 6 (les solutions sont 6+7k).
Question 2 : si (x;y) était solution, on aurait x2=3+4y, donc x2≡3[4].
Tout entier x est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4, donc x2 est congru à 0, 1, 4≡0 ou 9≡1 modulo 4.
Un carré n'est donc jamais congru à 3 modulo 4 : contradiction. L'équation n'a aucune solution entière.
Tester tous les restes possibles est une méthode complète : elle donne les solutions ou prouve qu'il n'y en a pas. Réponse de la question 1 : 6.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
23−7=16=4×4, donc 23≡7[4] (les deux ont pour reste 3). Pour (23;5), la différence vaut 18, qui n'est pas un multiple de 4 : l'erreur tentante est de n'avoir regardé que la parité. De même 14−9=5 et −3−3=−6 ne sont pas des multiples de 4.
Vrai : 4−(−1)=5 est un multiple de 5. Le reste de −1 dans la division par 5 est 4 (car −1=5×(−1)+4). Croire que c'est faux vient de l'idée que −1 n'a « pas de reste », alors que la définition vaut pour les entiers relatifs.
100=7×14+2 avec 0≤2<7, donc le reste est 2. Attention à ne pas répondre 14, qui est le quotient.
12−2=10, 27−2=25 et −3−2=−5 sont des multiples de 5. En revanche 14−2=12 n'en est pas un : 14 est congru à 4. Le piège est de croire que −3 est exclu parce qu'il est négatif.
La somme est compatible avec la congruence : (a+c)−(b+d)=(a−b)+(c−d) est un multiple de n. La division n'est pas compatible (exemple : 6≡24[9] mais 1≡4[9]). Les exposants ne se transmettent pas non plus, et a−c≡d−b est en général faux.
Vrai : toute différence d'entiers est un multiple de 13. On pourrait penser que le module 1 n'a aucun sens, mais il est simplement trivial : il n'y a qu'une seule classe.
210=1024=11×93+1, donc 210≡1[11]. Alors 215=210×25≡32≡10[11]. Le piège est de réduire l'exposant 15 modulo 11 au lieu d'utiliser la période.
Avec x=1 et y=4, on a 6x=6 et 6y=24, qui sont congrus modulo 9 (différence 18), mais 1≡4[9]. Il est donc faux de simplifier toujours par 6. Ce n'est pas non plus « jamais » : pour x=y la congruence est évidemment vraie.
Les questions qu'on se pose
À quoi servent les congruences concrètement ?
Elles permettent de remplacer de très grands nombres par de petits restes. Elles servent à trouver un dernier chiffre, à démontrer des critères de divisibilité, à montrer qu'une équation n'a pas de solution entière et à étudier les équations diophantiennes 1. Elles sont aussi utilisées en théorie des nombres, en algèbre générale et en cryptographie 3.
Quelle est la différence entre « = » et « ≡ » ?
Le signe = dit que deux nombres sont identiques. Le signe ≡ dit que deux entiers ont le même reste dans la division par un module donné 3. Ainsi 7≡10[3] est vrai alors que 7=10.
Comment savoir quel module choisir pour une équation ?
Choisis un module pour lequel les restes possibles sont peu nombreux et font apparaître une contradiction. Les modules 3, 4, 5, 7, 8 et 9 reviennent souvent. Pour un carré, par exemple, le module 4 ou 8 est très efficace. Si un premier module ne conclut pas, essaie-en un autre.
Peut-on diviser les deux membres d'une congruence ?
Pas librement. Par exemple, 6≡24[9] mais 1≡4[9]. Pour simplifier, il faudra des outils vus plus tard dans le chapitre : le PGCD, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. En attendant, on résout en testant les restes.
Un reste peut-il être négatif ?
Non : le reste d'une division euclidienne est compris entre 0 et n−1. En revanche, tu peux utiliser un représentant négatif dans un calcul, par exemple 9≡−1[10], car la congruence ne l'interdit pas. Au moment de donner le reste final, ramène-le entre 0 et n−1.