Congruences : exercices corrigés de Terminale Maths expertes

On cherche un multiple de $7$ proche de $2025$. Comme $7\times 289 = 2023$, on a $2025 = 7\times 289 + 2$.

Le reste est donc $2$, et il vérifie bien $0 \le 2 \le 6$.

On vérifie avec la définition : $2025-2=2023=7\times 289$ est divisible par $7$.

Conclusion : $2025 \equiv 2 \ [7]$.

Dire que $x \equiv 5 \ [8]$ signifie que $x-5$ est un multiple de $8$, soit $x = 5+8k$ avec $k$ entier.

On veut $5+8k > 100$, donc $8k > 95$, donc $k > 11{,}875$.

Le plus petit entier $k$ convenable est $12$, d'où $x = 5+96 = 101$.

Vérification : $101 = 8\times 12 + 5$, donc le reste dans la division par $8$ est bien $5$.

On réduit chaque nombre modulo $6$ : $17 = 12+5$ donc $17 \equiv 5 \ [6]$ ; $23 = 18+5$ donc $23 \equiv 5 \ [6]$ ; $100 = 96+4$ donc $100 \equiv 4 \ [6]$.

Par compatibilité avec le produit : $17\times 23 \equiv 5\times 5 = 25 \ [6]$, et $25 = 24+1$ donc $17\times 23 \equiv 1 \ [6]$.

Par compatibilité avec la somme : $17\times 23 + 100 \equiv 1+4 = 5 \ [6]$.

Vérification directe : $17\times 23 + 100 = 391+100 = 491 = 6\times 81 + 5$. Le reste est bien $5$.

Calcul des puissances de $3$ modulo $7$ : $3^1 \equiv 3$ ; $3^2 = 9 \equiv 2$ ; $3^3 \equiv 2\times 3 = 6$ ; $3^4 \equiv 6\times 3 = 18 \equiv 4$ ; $3^5 \equiv 4\times 3 = 12 \equiv 5$ ; $3^6 \equiv 5\times 3 = 15 \equiv 1$.

On a trouvé $3^6 \equiv 1 \ [7]$.

Division de l'exposant : $100 = 6\times 16 + 4$.

Donc $3^{100} = (3^6)^{16}\times 3^4 \equiv 1^{16}\times 3^4 \equiv 3^4 \ [7]$.

Or $3^4 \equiv 4 \ [7]$ (calculé plus haut, ou $81 = 77+4$). Le reste est donc $4$.

Seul le reste de $x$ modulo $8$ compte : on teste $x = 0, 1, \dots, 7$.

Valeurs de $5x$ modulo $8$ : $x=0 \to 0$ ; $x=1 \to 5$ ; $x=2 \to 10 \equiv 2$ ; $x=3 \to 15 \equiv 7$ ; $x=4 \to 20 \equiv 4$ ; $x=5 \to 25 \equiv 1$ ; $x=6 \to 30 \equiv 6$ ; $x=7 \to 35 \equiv 3$.

Seul $x=7$ donne $3$. Vérification : $35-3=32=8\times 4$.

Les solutions sont tous les entiers congrus à $7$ modulo $8$ : $x = 7+8k$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

Autre méthode : $5\times 5 = 25 \equiv 1 \ [8]$, donc en multipliant par $5$ on obtient $x \equiv 15 \equiv 7 \ [8]$.

Le chiffre des unités de $N$ est le reste de $N$ modulo $10$ : on cherche $7^{2026}$ modulo $10$.

Puissances de $7$ modulo $10$ : $7^1 \equiv 7$ ; $7^2 = 49 \equiv 9$ ; $7^3 \equiv 9\times 7 = 63 \equiv 3$ ; $7^4 \equiv 3\times 7 = 21 \equiv 1$.

On a $7^4 \equiv 1 \ [10]$ et $2026 = 4\times 506 + 2$.

Donc $7^{2026} = (7^4)^{506}\times 7^2 \equiv 1\times 49 \equiv 9 \ [10]$.

Le chiffre des unités est $9$.

Tout entier $x$ est congru à $0$, $1$, $2$ ou $3$ modulo $4$. Leurs carrés valent $0$, $1$, $4 \equiv 0$, $9 \equiv 1$. Donc $x^2 \equiv 0$ ou $1 \ [4]$.

Il en va de même pour $y^2$. Les sommes possibles sont $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$ et $1+1=2$. Ainsi $x^2+y^2 \equiv 0$, $1$ ou $2 \ [4]$ : jamais $3$.

On calcule $4003 = 4\times 1000 + 3$, donc $4003 \equiv 3 \ [4]$.

Si l'équation avait une solution, on aurait $x^2+y^2 \equiv 3 \ [4]$, ce qui est impossible d'après la question précédente.

Conclusion : l'équation $x^2+y^2=4003$ n'a aucune solution entière.