Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Deux entiers a et b sont congrus modulo n si a−b est un multiple de n, ou de façon équivalente s'ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.
On note a≡b(mod n) ; par exemple 7≡10(mod 3) car les deux ont pour reste 1.
On peut additionner, soustraire, multiplier et élever à une puissance des congruences de même module, mais on ne simplifie pas librement par un facteur.
Pour un reste ou un chiffre des unités, on remplace chaque nombre par un petit représentant et on cherche une puissance congrue à 1.
L'essentiel à retenir
Propriétés et règles de calcul
Démonstration · Preuve pour le produit
On écrit a=b+kn et c=d+ln avec k et l entiers. Alors
ac=bd+bln+dkn+kln2=bd+n(bl+dk+kln).
Donc ac−bd est un multiple de n : ac≡bd(mod n). La preuve pour la somme est encore plus directe, et celle des puissances se déduit du produit par récurrence.
Méthodes de calcul
Pièges à éviter
À quoi servent les congruences
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
17=3×5+2, le reste est 2, donc 17≡2. Le choix 3 est tentant parce que 3 est le quotient, mais c'est le reste qui compte. Les choix 1 et 0 ne correspondent pas à 17−1=16 ni à 17−0=17, qui ne sont pas multiples de 5.
On multiplie les congruences : ab≡4×7=28≡1(mod 9) puisque 28=3×9+1. Répondre 28 oublie la réduction : un reste est strictement inférieur à 9. Répondre 11 revient à additionner au lieu de multiplier, et ce serait de toute façon 2 modulo 9.
C'est faux. Modulo 6, 3×2≡6×2 (les deux valent 0) mais 3≡6. On ne simplifie par c que sous des conditions précises, vues avec le théorème de Gauss. L'idée que « diviser par c est toujours permis » vient de l'égalité ordinaire, où elle est valable pour c=0, mais les congruences obéissent à d'autres règles.
23=8≡1(mod 7), donc 29≡1 et 210≡2. Le piège serait de réduire l'exposant (10≡3 modulo 7) et de conclure 23=8≡1 : on réduit la base, pas l'exposant. Contrôle : 1024=7×146+2.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser « même reste » ou « différence multiple de n » ?
Les deux énoncés sont équivalents 3. Pour calculer un reste, utilise le reste. Pour démontrer une congruence ou une divisibilité, écris a−b=kn : on manipule alors des égalités d'entiers, ce qui est plus sûr.
Que faire si l'exposant est très grand ?
Cherche d'abord une puissance de la base congrue à 1 modulo n (ou à −1), puis découpe l'exposant : akp+r=(ap)k×ar≡ar. Le plus souvent, on dresse un petit tableau des premières puissances pour repérer la période.
Quelle est la différence entre « = » et « ≡ » ?
Le signe = dit que deux nombres sont identiques. Le signe ≡ dit qu'ils ont le même reste pour un module donné : 9≡21(mod 12) est vrai, alors que 9=213. Il faut toujours préciser le module, sinon l'écriture n'a pas de sens.