Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Deux entiers sont congrus modulo n quand n divise leur différence, ou quand ils ont le même reste dans la division euclidienne par n 3.
On note a≡b(modn) et on lit « a est congru à b modulo n » 3.
Les congruences se somment et se multiplient : on peut remplacer chaque nombre par un congru avant de calculer 3.
Attention : on ne divise pas librement dans une congruence, et le reste d'une division euclidienne est toujours positif.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur les congruences entre entiers relatifs : savoir dire si deux nombres sont congrus, trouver un reste, utiliser les propriétés de calcul et éviter les erreurs classiques. Tu as besoin de la division euclidienne et de la divisibilité, vues avant ce chapitre. Les notions qui suivent, comme le PGCD, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss, s'appuient sur ce que tu vérifies ici.
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le reste de 7 dans la division par 3 est 1 (7=2×3+1). Le reste de 10 est aussi 1, donc 7 et 10 sont congrus modulo 32. Les entiers 9 et 12 sont des multiples de 3 (reste 0) : on les choisit parfois parce qu'ils sont proches de 7, mais ils n'ont pas le même reste. Quant à 11, son reste est 2.
La différence 8−5=3 est divisible par 3, et les deux restes valent 23. Tu pourrais croire que deux nombres différents ne peuvent pas être congrus : c'est faux, ils doivent seulement avoir le même reste.
Deux entiers sont congrus modulo n si leur différence est divisible par n3. La condition a−b=n est trop forte : elle exclut par exemple a−b=2n, qui donne aussi une congruence. La somme a+b ne joue aucun rôle ici.
On a 100=14×7+2, donc le reste est 2 et 100≡2(mod7). L'erreur tentante est de donner 14, qui est le quotient et non le reste.
On a 21−9=12, et 9 et 21 sont congrus modulo 123. Modulo 8, la différence 12 n'est pas un multiple de 8 (les restes sont 1 et 5). Modulo 5 ou 7, 12 n'est pas non plus un multiple.
La différence 4−(−2)=6 est divisible par 6. Avec les restes : −2=(−1)×6+4, donc le reste de −2 est 4. On pourrait croire qu'un nombre négatif ne peut pas être congru à un positif ; les congruences s'appliquent aux entiers relatifs 2.
On a 23=8≡1(mod7). Comme les congruences se multiplient 3, 29=(23)3≡1, puis 210=29×2≡2(mod7). Calculer 1024=146×7+2 donne le même résultat. L'erreur à éviter est de croire que 210 a le même reste que 10.
17−2=15 et 23−3=20 sont des multiples de 5 : ces deux congruences sont vraies. En revanche 31−2=29 n'est pas un multiple de 5 (restes 1 et 2), et 8−(−3)=11 non plus. Il faut tester chaque ligne séparément.
Modulo 1, deux entiers quelconques sont équivalents 3 : tout entier est divisible par 1, donc 1 divise toujours a−b. L'idée que la congruence se réduit à l'égalité correspond au cas du module 0, et non du module 13.
Gauss présente la congruence dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801, en considérant la somme et le produit directement au niveau des congruences 3. Euler maniait déjà les congruences avant cela 1, mais la présentation de 1801 est celle de Gauss.
Le symbole utilisé est ≡3, et on lit « a est congru à b modulo n ». Le signe = exprimerait l'égalité des nombres, ce qui est plus fort ; ≈ exprime une valeur approchée.
Les entiers congrus à 3 modulo 8 sont de la forme 3+8k : …,43,51,59,… Seul 51 est dans l'intervalle. L'erreur tentante est de prendre 59, qui est bien congru à 3 mais dépasse 58.
La somme et le produit passent directement aux congruences 3. La division ne passe pas : on a 6≡2(mod4), donc avec c=d=2 on obtiendrait 3≡1(mod4), ce qui est faux. Et a−c=b−d est une égalité, bien plus forte qu'une congruence.
La différence 45−9=36=3×12 est divisible par 12. On retrouve la liste 9,21,33,45,… de nombres considérés comme égaux modulo 123. Il suffit d'ajouter 12 à chaque pas.
Le mot signifie qu'on ne cherche que les solutions entières 1. Les congruences sont utiles pour ces équations, car elles regroupent les nombres par restes 1. Chercher des solutions réelles est le cadre des équations habituelles, pas celui-ci.
On écrit −7=(−2)×5+3 avec 0≤3<5, donc le reste est 3 et −7≡3(mod5). La valeur −2 est tentante car −7=(−1)×5−2, mais un reste de division euclidienne ne peut pas être négatif. La réponse 2 vient de l'oubli du signe.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir rapidement si deux nombres sont congrus modulo n ?
Calcule leur différence et regarde si elle est un multiple de n3. Si les nombres sont grands, remplace-les d'abord par leurs restes dans la division par n : deux nombres sont congrus exactement quand ces restes sont égaux 3.
Pourquoi ne peut-on pas toujours diviser dans une congruence ?
La somme et le produit passent aux congruences 3, mais la division, non. Par exemple 6≡2(mod4), et en divisant les deux côtés par 2 on obtiendrait 3≡1(mod4), ce qui est faux. Le PGCD et le théorème de Gauss, qui viennent ensuite, donnent les conditions pour simplifier.