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Intégrale et aire : cours de Terminale spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour une fonction $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ , l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ .²
Cette aire s'exprime en unités d'aire (u.a.), l'aire du carré construit sur les vecteurs de base du repère orthonormé.³
On approche l'aire par des rectangles (somme inférieure, somme supérieure) ; plus ils sont fins, meilleur est l'encadrement.²
Les deux visions (aire sous la courbe et primitives) coïncident : on calcule souvent une intégrale à partir d'une primitive de $f$ .²³
Méthode : vérifier le signe de $f$ , trouver une primitive $F$ , calculer $F(b)-F(a)$ , puis conclure avec l'unité.

Pourquoi parler d'intégrale ?

Depuis le collège, tu sais calculer l'aire d'un rectangle, d'un triangle ou d'un disque. Mais que faire quand une des frontières du domaine est une courbe quelconque, comme celle d'une fonction du second degré ou d'une exponentielle ? Les découpages et recollements de la géométrie ne suffisent plus. Dans certains cas, l'analyse vient au secours de la géométrie : certains calculs d'aires demandent le recours aux intégrales, notion d'« aire sous la courbe ».³

Le mot « intégrale » désigne donc d'abord un nombre qui mesure une aire. Ce chapitre construit cette idée pas à pas : on part de rectangles que l'on sait mesurer, on les utilise pour encadrer l'aire cherchée, puis on découvre le lien avec les primitives, qui rend le calcul efficace.

Tu auras besoin de savoir lire une représentation graphique, de calculer l'image d'un nombre par une fonction et de connaître les primitives des fonctions usuelles vues avec la dérivation. Nous n'utiliserons rien de plus.

Définition : l'intégrale d'une fonction positive

Courbe de x² sur [0 ; 2] · Le domaine sous la courbe, entre x = 0 et x = 2, a pour aire l'intégrale de x² sur [0 ; 2].

L'unité d'aire

Une aire sans unité n'a pas de sens concret. Dans un repère orthonormé, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du carré construit sur les vecteurs de base du repère. L'aire du domaine vaut alors exactement le nombre $I=\int_a^b f(x)\,dx$ , exprimé en u.a.³

Approcher l'aire par des rectangles

Comment mesurer une aire délimitée par une courbe ? On cherche à la comparer à des aires que l'on sait calculer. La théorie de Riemann définit l'aire en approchant $f$ par des fonctions dont on connaît l'intégrale, en général des rectangles d'aire « longueur × largeur » ; la différence entre $f$ et ces fonctions doit tendre vers 0 quand leur nombre augmente.²

Les fonctions utilisées sont des fonctions en escalier : elles sont constantes sur des intervalles, donc le domaine sous la courbe est une réunion de rectangles et son aire est la somme des aires de ces rectangles.²

ExempleEncadrer $\int_0^2 x^2\,dx$ avec 4 rectangles

Découpons $[0\,;\,2]$ en 4 intervalles de largeur $0{,}5$ : $[0\,;\,0{,}5]$ , $[0{,}5\,;\,1]$ , $[1\,;\,1{,}5]$ , $[1{,}5\,;\,2]$ . La fonction $x\mapsto x^2$ est croissante, donc sur chaque intervalle sa plus petite valeur est à gauche et sa plus grande à droite.

Somme inférieure (hauteurs prises à gauche) : $0{,}5\times\left(0^2+0{,}5^2+1^2+1{,}5^2\right)=0{,}5\times 3{,}5=1{,}75.$

Somme supérieure (hauteurs prises à droite) : $0{,}5\times\left(0{,}5^2+1^2+1{,}5^2+2^2\right)=0{,}5\times 7{,}5=3{,}75.$

Donc $1{,}75\le\int_0^2 x^2\,dx\le 3{,}75$ . L'encadrement est large ; avec davantage de rectangles il se resserre.

Le lien avec les primitives

Compter des rectangles est long et seulement approché. Heureusement, il existe une deuxième manière de voir l'intégrale. Un résultat appelé théorème fondamental de l'analyse établit que, sous certaines conditions, mesurer l'aire sous une courbe et chercher une primitive reviennent au même.² Concrètement, certains calculs d'aires se font à partir des primitives d'une fonction.³

Méthode complète de calcul

Signef continue et positive sur [a ; b]
PrimitiveTrouver F telle que F' = f
CalculCalculer F(b) − F(a)
UnitéConclure en u.a., convertir si besoin

Calculer une aire sous une courbe

Quand la fonction change de signe, et pour aller plus loin

Ce cours définit l'intégrale comme une aire pour une fonction positive. Quand $f$ prend des valeurs négatives, les rectangles situés sous l'axe des abscisses comptent avec un signe moins : l'aire est « algébrique », les rectangles étant comptés avec un signe.² L'intégrale n'est alors plus l'aire géométrique, mais la différence entre l'aire des parties au-dessus de l'axe et celle des parties au-dessous.

Pour obtenir l'aire géométrique d'un domaine où $f$ change de signe, on découpe l'intervalle aux points où $f$ s'annule, on calcule une intégrale par morceau, puis on additionne les valeurs absolues.

Exercices corrigés

Exercice 1 Aire sous une droite

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x)=2x$ sur $[0\,;\,3]$ , dans un repère orthonormé. Calcule l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$ , d'abord par la géométrie puis avec une primitive.

Indice 1

Le domaine est un triangle rectangle : quelle est sa base, quelle est sa hauteur ?

Indice 2

Une primitive de $2x$ est $x^2$ .

Voir la correction pas à pas

$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,3]$ : l'aire est $\int_0^3 2x\,dx$ .
Par la géométrie : base $3$ , hauteur $f(3)=6$ , aire $\frac{3\times 6}{2}=9$ .
Par une primitive : $F(x)=x^2$ , donc $F(3)-F(0)=9-0=9$ .
Les deux méthodes concordent : l'aire vaut $9$ u.a.

Quand la figure est simple, la géométrie permet de contrôler le résultat obtenu avec une primitive.

Exercice 2 Aire sous une parabole

★★☆Environ 10 min

Calcule l'aire, en u.a., du domaine sous la courbe de $f(x)=3x^2$ sur $[1\,;\,2]$ dans un repère orthonormé.

Indice 1

Vérifie d'abord que $f$ est positive.

Indice 2

Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ .

Voir la correction pas à pas

$f(x)=3x^2\ge 0$ et $f$ est continue : l'aire est $\int_1^2 3x^2\,dx$ .
Une primitive est $F(x)=x^3$ .
$F(2)=8$ et $F(1)=1$ .
L'aire vaut $F(2)-F(1)=8-1=7$ u.a.

Écrire séparément $F(b)$ et $F(a)$ évite les erreurs de signe.

Exercice 3 Somme inférieure avec 4 rectangles

★★☆Environ 10 min

On découpe $[0\,;\,2]$ en 4 intervalles de même largeur. Pour $f(x)=x^2$ (croissante sur cet intervalle), calcule la somme inférieure obtenue avec des rectangles dont la hauteur est la valeur de $f$ à l'extrémité gauche de chaque intervalle.

Indice 1

La largeur de chaque rectangle est $\frac{2-0}{4}$ .

Indice 2

Les hauteurs sont $f(0)$ , $f(0{,}5)$ , $f(1)$ , $f(1{,}5)$ .

Voir la correction pas à pas

Largeur : $0{,}5$ .
Hauteurs : $0$ , $0{,}25$ , $1$ , $2{,}25$ .
Somme des hauteurs : $3{,}5$ .
Somme inférieure : $0{,}5\times 3{,}5=1{,}75$ u.a.

L'intégrale exacte vaut $\frac83\approx 2{,}67$ : la somme inférieure est bien en dessous.

Exercice 4 De l'intégrale aux cm²

★★★Environ 12 min

Dans un repère où l'unité vaut 2 cm sur l'axe des abscisses et 3 cm sur celui des ordonnées, on trace la courbe de $f(x)=2x$ sur $[0\,;\,3]$ . Calcule l'aire du domaine en cm².

Indice 1

Calcule d'abord l'intégrale en u.a.

Indice 2

Une u.a. vaut $2\times 3$ cm².

Voir la correction pas à pas

$\int_0^3 2x\,dx=\left[x^2\right]_0^3=9$ u.a.
Une unité d'aire correspond à un rectangle de 2 cm sur 3 cm, soit $6$ cm².
Aire en cm² : $9\times 6=54$ .
Le domaine a une aire de $54$ cm².

Le repère n'étant pas orthonormé, on multiplie par l'aire de la maille élémentaire.

Les questions qu'on se pose

À quoi sert une intégrale concrètement ?

Elle sert à mesurer des grandeurs : des aires bien sûr, mais aussi des volumes, des flux en physique ou des probabilités.² Dès qu'une grandeur se calcule en additionnant une infinité de petites contributions, une intégrale intervient.

Quelle différence entre intégrale et primitive ?

Une primitive est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ ; une intégrale est un nombre, une aire. Le théorème fondamental de l'analyse relie les deux : sous certaines conditions, l'aire sous la courbe se calcule avec la primitivation.²

Que faire si la fonction n'est pas positive ?

Les parties situées sous l'axe comptent négativement dans l'intégrale.² Pour une aire géométrique, on découpe l'intervalle aux points où $f$ s'annule, on calcule chaque morceau et on additionne les valeurs absolues.

Pourquoi ne met-on pas de constante dans $F(b)-F(a)$ ?

Si l'on ajoute une constante $k$ à la primitive, elle apparaît dans $F(b)$ et dans $F(a)$ et disparaît à la soustraction. On choisit donc la primitive la plus simple.

Est-ce que l'aire dépend du repère ?

Le nombre $\int_a^b f(x)\,dx$ est un nombre d'unités d'aire. Si le repère n'est pas orthonormé, l'aire réelle est ce nombre multiplié par l'aire de la maille élémentaire du repère.³

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Aire (géométrie), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Intégrale et aire : cours de Terminale spécialité maths

L'essentiel

Pourquoi parler d'intégrale ?

Définition : l'intégrale d'une fonction positive

L'unité d'aire

Approcher l'aire par des rectangles

Le lien avec les primitives

Méthode complète de calcul

Quand la fonction change de signe, et pour aller plus loin

Exercices corrigés

Exercice 1 Aire sous une droite

Exercice 2 Aire sous une parabole

Exercice 3 Somme inférieure avec 4 rectangles

Exercice 4 De l'intégrale aux cm²

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

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