Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Intégrale et aire : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour une fonction positive et continue sur $[a\,;b]$ , l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ ².
L'aire s'exprime en unités d'aire : si l'intégrale vaut $I$ , l'aire vaut $I$ fois l'aire de l'unité du repère ³.
Quand la figure est simple (rectangle, triangle, trapèze), on calcule l'aire par la géométrie ; sinon on passe par une primitive ³.
On peut aussi encadrer l'aire par des rectangles (somme inférieure, somme supérieure) ou l'estimer par des méthodes numériques ²³.
Avant de calculer : vérifier le signe de $f$ , les bornes, et l'unité demandée.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus direct au plus réfléchi. Les premiers te demandent de reconnaître une figure simple sous une courbe, les suivants de calculer avec une primitive, les derniers d'encadrer ou d'estimer une aire. Pour chacun, cherche d'abord seul(e) sur papier, ouvre un indice seulement si tu bloques, puis compare ta rédaction à la correction. L'important n'est pas d'obtenir le bon nombre par chance : c'est de savoir pourquoi la méthode choisie s'applique.

Les exercices

Exercice 1 Un rectangle sous une droite horizontale

★☆☆Environ 5 min

On considère la fonction constante $f(x)=2$ sur l'intervalle $[1\,;4]$ .

Représente la surface délimitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=4$ . Quelle est sa nature ?
En déduire la valeur de $\int_1^4 f(x)\,dx$ .

Indice 1

La courbe de $f$ est une droite horizontale : la surface a quatre côtés et quatre angles droits.

Indice 2

Aire d'un rectangle = longueur × largeur ; ici la largeur est $4-1$ et la hauteur est $f(x)=2$ .

Voir la correction pas à pas

La fonction $f$ est constante, donc continue, et elle vaut 2 : elle est positive sur $[1\,;4]$ . L'intégrale est donc une aire ².
La surface est limitée par $y=0$ en bas, $y=2$ en haut, $x=1$ à gauche et $x=4$ à droite : c'est un rectangle.
Sa base mesure $4-1=3$ et sa hauteur $2$ .
Son aire vaut $3\times 2 = 6$ unités d'aire, donc $\int_1^4 2\,dx = 6$ .

Pour une fonction constante $k>0$ , $\int_a^b k\,dx = k\,(b-a)$ : c'est l'aire d'un rectangle. Retiens ce cas, il sert de brique de base pour les fonctions en escalier.

Exercice 2 Convertir une intégrale en cm²

★☆☆Environ 5 min

Le plan est muni d'un repère orthonormé dont l'unité graphique est 2 cm sur chaque axe. On reprend la fonction $f(x)=2$ sur $[1\,;4]$ .

Calcule en cm² l'aire de la surface délimitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=4$ .

Indice 1

Commence par déterminer l'aire en unités d'aire.

Indice 2

Une unité d'aire est l'aire d'un carré de côté 2 cm.

Voir la correction pas à pas

L'intégrale $\int_1^4 2\,dx$ vaut 6, donc l'aire est de 6 unités d'aire.
Une unité d'aire correspond à un carré de côté 2 cm, soit $2\times 2=4$ cm².
L'aire est $6\times 4 = 24$ cm².

L'aire vaut $I$ fois l'aire de l'unité du repère ³. Attention : on multiplie par $2\times 2$ et non par $2$ , car une aire se mesure en unités de longueur au carré.

Exercice 3 Un triangle sous la droite d'équation y = x

★☆☆Environ 8 min

Soit $f(x)=x$ sur $[0\,;4]$ .

Justifie que $\int_0^4 x\,dx$ est l'aire d'un domaine.
Reconnais la figure et calcule cette aire.
Vérifie le résultat avec la primitive $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$ .

Indice 1

Fais un petit schéma : la droite $y=x$ passe par l'origine et par le point $(4\,;4)$ .

Indice 2

Le domaine est limité par l'axe des abscisses, la droite $y=x$ et la droite $x=4$ .

Voir la correction pas à pas

La fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;4]$ : l'intégrale est l'aire du domaine sous la droite ².
Le domaine est un triangle rectangle de sommets $(0\,;0)$ , $(4\,;0)$ et $(4\,;4)$ , avec deux côtés de l'angle droit de longueur 4.
Aire $=\dfrac{4\times 4}{2}=8$ u.a.
Contrôle : $F(4)-F(0)=\dfrac{16}{2}-0=8$ . Les deux méthodes concordent.

Quand deux méthodes différentes (géométrie et primitive) donnent le même nombre, tu peux être confiant(e). Prends l'habitude de t'en servir comme vérification dès que la figure est simple.

Exercice 4 Un trapèze sous une droite affine

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=2x+1$ sur $[0\,;3]$ .

Calcule $f(0)$ et $f(3)$ , puis reconnais la figure formée par le domaine sous la courbe.
Calcule son aire par la géométrie.
Retrouve le résultat avec la primitive $F(x)=x^2+x$ .

Indice 1

Le domaine a deux côtés verticaux de longueurs $f(0)$ et $f(3)$ : ce sont les deux bases d'un trapèze.

Indice 2

Aire d'un trapèze = (petite base + grande base) × hauteur ÷ 2, la hauteur étant ici la largeur de l'intervalle.

Voir la correction pas à pas

$f(0)=1$ et $f(3)=7$ ; la fonction est positive et continue sur $[0\,;3]$ .
Le domaine est un trapèze rectangle de bases 1 et 7 et de hauteur $3-0=3$ .
Aire $=\dfrac{(1+7)\times 3}{2}=12$ u.a.
Avec la primitive : $F(3)-F(0)=(9+3)-0=12$ . On vérifie que $F'(x)=2x+1=f(x)$ , donc $F$ est bien une primitive de $f$ .

Les trapèzes apparaissent aussi quand on approche une aire sous une courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes ³. Ici la courbe est une droite, l'approximation est donc exacte.

Exercice 5 L'aire sous la parabole y = x² avec une primitive

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$ .

Explique pourquoi la géométrie élémentaire ne suffit pas ici.
Détermine une primitive $F$ de $f$ .
Calcule l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$ .

Indice 1

Cherche une fonction dont la dérivée est $x^2$ : pense à $x^3$ et ajuste le coefficient.

Indice 2

L'aire vaut $F(3)-F(0)$ .

Voir la correction pas à pas

La courbe est une parabole : le bord supérieur du domaine n'est pas un segment, ce n'est donc ni un triangle ni un trapèze. Certains calculs d'aires nécessitent le recours à des intégrales, calculées parfois à partir de primitives ³.
La dérivée de $x^3$ est $3x^2$ ; on prend donc $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ et on contrôle : $F'(x)=x^2$ .
$F(3)=\dfrac{27}{3}=9$ et $F(0)=0$ .
L'aire vaut $F(3)-F(0)=9$ u.a.

La fonction carré est positive et continue, l'intégrale est bien l'aire cherchée ². La vérification par dérivation de $F$ ne prend que quelques secondes et évite la plupart des erreurs de coefficient.

Exercice 6 Une aire avec une constante dans la fonction

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=3x^2+2$ sur $[1\,;2]$ .

Vérifie que $f$ est positive sur $[1\,;2]$ .
Donne une primitive de $f$ .
Calcule l'aire du domaine situé sous la courbe, au-dessus de l'axe des abscisses, entre $x=1$ et $x=2$ .
Donne un ordre de grandeur pour contrôler ton résultat.

Indice 1

Une somme de termes positifs est positive.

Indice 2

Pour contrôler, compare avec un rectangle de largeur 1 et de hauteur $f(1)$ , puis de hauteur $f(2)$ .

Voir la correction pas à pas

Pour tout réel $x$ , $3x^2\geq 0$ donc $f(x)\geq 2>0$ : $f$ est positive, et continue car polynomiale.
Une primitive est $F(x)=x^3+2x$ : on vérifie $F'(x)=3x^2+2$ .
$F(2)=8+4=12$ et $F(1)=1+2=3$ .
Aire $=F(2)-F(1)=12-3=9$ u.a.
Contrôle : $f(1)=5$ et $f(2)=14$ . L'aire est comprise entre $1\times 5=5$ et $1\times 14=14$ , et $9$ s'y trouve bien.

Un encadrement grossier par deux rectangles suffit à détecter une erreur de signe ou de calcul. C'est une habitude utile le jour du bac, où le résultat doit être plausible avant d'être rédigé.

Exercice 7 Encadrer une aire par des rectangles

★★★Environ 15 min

Soit $f(x)=x^2$ sur $[0\,;2]$ . On découpe l'intervalle en 4 sous-intervalles de même largeur $0{,}5$ .

Sur chaque sous-intervalle, $f$ est croissante. Construis la somme inférieure $s$ : on prend des rectangles de largeur $0{,}5$ dont la hauteur est la plus petite valeur de $f$ sur le sous-intervalle. Calcule $s$ .
Construis de même la somme supérieure $S$ (hauteur = plus grande valeur) et calcule-la.
Calcule l'intégrale exacte avec une primitive et vérifie qu'elle est comprise entre $s$ et $S$ .

Indice 1

Les sous-intervalles sont $[0\,;0{,}5]$ , $[0{,}5\,;1]$ , $[1\,;1{,}5]$ et $[1{,}5\,;2]$ .

Indice 2

Comme $f$ est croissante, la plus petite valeur est à gauche de chaque sous-intervalle, la plus grande à droite.

Voir la correction pas à pas

Valeurs à gauche : $f(0)=0$ , $f(0{,}5)=0{,}25$ , $f(1)=1$ , $f(1{,}5)=2{,}25$ . Somme des hauteurs : $3{,}5$ .
$s=0{,}5\times 3{,}5=1{,}75$ .
Valeurs à droite : $f(0{,}5)=0{,}25$ , $f(1)=1$ , $f(1{,}5)=2{,}25$ , $f(2)=4$ . Somme des hauteurs : $7{,}5$ .
$S=0{,}5\times 7{,}5=3{,}75$ .
Intégrale exacte : $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ , donc $F(2)-F(0)=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67$ .
On a bien $1{,}75\leq \dfrac{8}{3}\leq 3{,}75$ .

L'aire sous la courbe est majorée par la somme supérieure et minorée par la somme inférieure, calculable comme somme d'aires de rectangles ². L'encadrement est large avec 4 rectangles ; plus on en prend, plus il se resserre, puisque la différence entre la fonction et son approximation tend vers 0 ².

Exercice 8 Estimer une aire au hasard

★★★Environ 10 min

Une surface carrée $S$ de côté 4 contient une surface $L$ d'aire inconnue. On envoie au hasard 1 000 points dans $S$ ; 375 d'entre eux tombent dans $L$ .

Calcule l'aire de $S$ .
Estime l'aire de $L$ .
Que se passe-t-il pour la précision de l'estimation si on envoie 100 000 points au lieu de 1 000 ?

Indice 1

Le rapport des aires de $L$ et $S$ est proche du rapport du nombre de points dans $L$ au nombre total de points.

Indice 2

Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée est stable.

Voir la correction pas à pas

L'aire de $S$ vaut $4\times 4=16$ unités d'aire.
La fréquence de points dans $L$ est $\dfrac{375}{1000}=0{,}375$ .
Le rapport des aires est probablement proche de cette fréquence : $\text{aire}(L)\approx 0{,}375\times 16=6$ u.a.
Avec 100 000 points, la marge d'erreur est statistiquement plus faible : elle diminue quand le nombre de points augmente.

C'est le principe de la méthode de Monte-Carlo : on envoie des points au hasard dans une surface d'aire connue et on compte ceux qui tombent dans la surface d'aire inconnue ; la marge d'erreur est d'autant plus faible que le nombre de points est grand ³. Le résultat reste une estimation, jamais une valeur exacte.

Les questions qu'on se pose

Une intégrale est-elle toujours une aire ?

Non. Elle est une aire quand la fonction est positive et continue sur le segment : c'est la situation décrite dans la définition ². Si la fonction change de signe, le nombre obtenu est une différence entre des aires et peut être négatif ; une aire, elle, est toujours positive. Avant d'écrire « aire = intégrale », vérifie donc le signe de $f$ .

Faut-il toujours donner l'unité d'aire dans la réponse ?

Oui, c'est une habitude à prendre. Dans un repère orthonormé, l'aire vaut $I$ unités d'aire si l'intégrale vaut $I$ ³. Si l'énoncé précise la longueur de l'unité (par exemple 2 cm), convertis : une u.a. vaut alors $2\times 2=4$ cm². Oublier cette conversion est une erreur de barème courante.

Quand utiliser la géométrie et quand utiliser une primitive ?

Si le domaine sous la courbe est un rectangle, un triangle ou un trapèze, la géométrie est plus rapide et sert de contrôle. Dès que le bord est une vraie courbe (parabole, exponentielle…), les découpages géométriques ne suffisent plus et on recourt à l'intégrale, souvent calculée avec une primitive ³. Au bac, on attend en général la méthode par primitive ; la géométrie sert à vérifier la vraisemblance du résultat.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Aire (géométrie), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Intégrale et aire : exercices corrigés de Terminale

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Un rectangle sous une droite horizontale

Exercice 2 Convertir une intégrale en cm²

Exercice 3 Un triangle sous la droite d'équation y = x

Exercice 4 Un trapèze sous une droite affine

Exercice 5 L'aire sous la parabole y = x² avec une primitive

Exercice 6 Une aire avec une constante dans la fonction

Exercice 7 Encadrer une aire par des rectangles

Exercice 8 Estimer une aire au hasard

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur