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Intégrale et aire : fiche de révision de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$ , l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ .
Cette aire s'exprime en unités d'aire (u.a.) : une u.a. est l'aire du rectangle construit sur les unités des deux axes, et il faut la convertir pour obtenir des cm².
Pour calculer une intégrale, on cherche une primitive de $f$ ; on peut aussi approcher l'aire par des rectangles ou des trapèzes.
Si $f$ change de signe, l'intégrale n'est plus une aire simple : on vérifie toujours le signe de $f$ avant de parler d'aire.

L'intégrale comme aire

L'unité d'aire

Comment calculer la valeur

Certains calculs d'aire demandent de passer par des intégrales, qui se calculent parfois à partir de primitives d'une fonction ³. Cela repose sur le théorème fondamental de l'analyse : l'approche « aire sous une courbe » et l'approche « primitivation » donnent, sous certaines conditions, le même résultat ². En Terminale, pour $f$ continue, tu cherches donc une primitive $F$ de $f$ et tu calcules $F(b)-F(a)$ .

Approcher une aire par des rectangles

On peut évaluer l'aire sous la courbe en l'approchant par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes ³. Dans la construction de Riemann, on utilise des fonctions en escalier, dont l'aire est la somme des aires de rectangles ². Une somme d'aires de rectangles placés sous la courbe donne une valeur inférieure à l'intégrale : on l'appelle somme inférieure ².

Pièges classiques

Questions flash

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Pour quelle fonction $f$ peut-on affirmer que $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ ?
Une fonction continue et positive sur $[a\,;b]$ Une fonction quelconque sur $[a\,;b]$ Une fonction croissante uniquementUne fonction continue et négative sur $[a\,;b]$
Le repère a pour unités $2$ cm sur l'axe des abscisses et $3$ cm sur l'axe des ordonnées. Une intégrale vaut $4$ . Quelle est l'aire du domaine en cm² ?
Ta réponse cm²
Une somme d'aires de rectangles placés sous la courbe d'une fonction positive donne une valeur supérieure à l'intégrale.
VraiFaux
Que vaut $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$ ?
Ta réponse u.a.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'intégrale n'est-elle pas toujours égale à l'aire ?

L'égalité vaut pour une fonction continue et positive ². Quand $f$ devient négative, la partie sous l'axe des abscisses est comptée avec un signe moins dans l'intégrale. Dans ce cas, on découpe l'intervalle selon le signe de $f$ pour obtenir l'aire géométrique.

À quoi sert une intégrale en dehors des aires ?

Les intégrales servent dans de nombreuses disciplines scientifiques, par exemple en physique pour mesurer des grandeurs comme une longueur de courbe, une aire, un volume ou un flux, ou encore en probabilités ². Le calcul d'une valeur moyenne d'une fonction en est une autre application ³.

Faut-il toujours chercher une primitive ?

Non. Si la figure est simple (triangle, rectangle, trapèze), un calcul d'aire géométrique suffit. Quand aucune primitive n'est accessible, on approche l'aire par des rectangles ou des trapèzes ³.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Aire (géométrie), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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