Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

La valeur moyenne d'une fonction : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur $[a;b]$ est $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : c'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ qui a la même aire que la région sous la courbe.
Elle se situe toujours entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[a;b]$ , et elle est même atteinte : il existe $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=\mu$ .
Pour la calculer : trouver une primitive, calculer l'intégrale, puis diviser par la longueur $b-a$ (l'oubli de cette division est l'erreur la plus fréquente).
Pour une fonction affine, la valeur moyenne est la valeur au milieu de l'intervalle ; en général, ce n'est pas la moyenne de $f(a)$ et $f(b)$ .

De la moyenne de nombres à la moyenne d'une fonction

Tu connais depuis longtemps la moyenne arithmétique : on additionne des valeurs, puis on divise par leur nombre. En mathématiques, cette moyenne résume une liste de valeurs numériques en un seul nombre, et ce nombre reste toujours situé entre la plus petite et la plus grande valeur de la liste.² Quand certaines valeurs se répètent, on peut regrouper les calculs à l'aide des effectifs : chaque valeur est alors multipliée par le nombre de fois où elle apparaît, et la somme obtenue est divisée par l'effectif total.²

Mais comment résumer par un seul nombre une grandeur qui varie de façon continue ? Pense à la température d'une salle entre 8 h et 18 h, à la vitesse d'une voiture pendant un trajet, à la puissance consommée par un appareil au cours d'une journée. Il y a une infinité de valeurs, impossible de les additionner une par une. La notion de moyenne s'étend justement aux fonctions intégrables : c'est la valeur moyenne d'une fonction.² Ce cours construit cette notion à partir de l'intégrale, que tu maîtrises déjà (lien entre intégrale et aire, propriétés de l'intégrale, intégration par parties).

L'idée de départ. Découpons l'intervalle $[a;b]$ en $n$ parties de même longueur. On relève la valeur de $f$ en un point de chaque partie, puis on calcule la moyenne arithmétique de ces $n$ valeurs. Plus $n$ est grand, plus cette moyenne décrit fidèlement le comportement de $f$ sur tout l'intervalle. Cette démarche ressemble beaucoup à celle qui fournit une valeur approchée d'une intégrale en partageant l'intervalle en $n$ parties.¹ La moyenne de ces $n$ valeurs est, au facteur $\frac{1}{b-a}$ près, une somme de ce type. À la limite, on obtient une intégrale divisée par la longueur de l'intervalle. C'est exactement la définition qui suit.

Définition de la valeur moyenne

La division par $b-a$ joue le même rôle que la division par le nombre de termes dans une moyenne arithmétique : elle ramène une quantité « cumulée » (l'intégrale) à une valeur « par unité de longueur ». Si l'on multiplie la valeur moyenne par la longueur de l'intervalle, on retrouve l'intégrale :

$\int_a^b f(x)\,dx=\mu\,(b-a).$

Cette égalité est la clé de toutes les interprétations qui suivent.

Valeur moyenne de x² sur [0 ; 3] · La valeur moyenne vaut 3 ; la courbe rencontre la droite y = 3 en x = √3 ≈ 1,73.

Sur la figure, la fonction carré est étudiée sur $[0;3]$ . L'aire sous la courbe vaut $\int_0^3 x^2\,dx=9$ , la longueur de l'intervalle est $3$ , donc la valeur moyenne est $\mu=3$ . La droite horizontale $y=3$ coupe la courbe au point d'abscisse $\sqrt3\approx1{,}73$ : la fonction « passe » par sa valeur moyenne en ce point. Nous verrons que ce n'est pas un hasard.

Calculer une valeur moyenne : méthode et exemples

Vérifierf continue sur [a ; b], avec a < b
PrimitiveTrouver F telle que F' = f
IntégraleCalculer F(b) − F(a)
DiviserDiviser par b − a pour obtenir μ

Calculer une valeur moyenne

Propriétés de la valeur moyenne

Démonstration · Preuve de l'encadrement

Par hypothèse, $m\le f(x)\le M$ sur $[a;b]$ . La positivité de l'intégrale (sur un intervalle dont les bornes sont dans l'ordre croissant) permet d'intégrer cette double inégalité :

$\int_a^b m\,dx\le\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b M\,dx.$

Or $\int_a^b m\,dx=m(b-a)$ et $\int_a^b M\,dx=M(b-a)$ . On obtient donc $m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)$ . Comme $b-a>0$ , on peut diviser les trois membres par $b-a$ sans changer le sens des inégalités : $m\le\mu\le M$ .¹

Démonstration · Preuve de la relation de Chasles

On a $\int_a^c f=(c-a)\mu_1$ et $\int_c^b f=(b-c)\mu_2$ . La relation de Chasles pour les intégrales donne $\int_a^b f=(c-a)\mu_1+(b-c)\mu_2$ . En divisant par $b-a$ , on obtient la formule annoncée.

Le théorème de la moyenne

Une question naturelle se pose : la valeur moyenne est-elle une valeur que la fonction prend réellement ? Pour une liste de nombres, ce n'est pas toujours le cas : la moyenne de $1$ et de $2$ vaut $1{,}5$ , qui n'est pas dans la liste. Pour une fonction continue sur un segment, c'est au contraire toujours vrai.

Démonstration · Preuve du théorème de la moyenne

Une fonction continue sur un segment $[a;b]$ admet un minimum $m$ et un maximum $M$ , atteints en des points de ce segment. D'après l'encadrement démontré plus haut, $m\le\mu\le M$ .¹ La valeur $\mu$ est donc située entre deux valeurs prises par $f$ . Comme $f$ est continue, le théorème des valeurs intermédiaires assure que $f$ prend toutes les valeurs comprises entre $m$ et $M$ : la valeur $\mu$ est donc atteinte, c'est-à-dire qu'il existe $c$ dans $[a;b]$ tel que $f(c)=\mu$ .¹

Exploiter la valeur moyenne dans les problèmes

RemarqueUn prolongement vers la physique : la valeur efficace

En physique, pour un courant ou une tension qui varie, on utilise parfois non pas la valeur moyenne de la grandeur, mais sa valeur efficace : on élève la grandeur au carré, on calcule la moyenne de ce carré sur une période, puis on prend la racine carrée du résultat.³ En électricité, elle correspond à la valeur d'un courant ou d'une tension constants qui provoqueraient le même échauffement dans une résistance.³ Elle n'est jamais plus petite que la valeur absolue de la valeur moyenne.³

Calcul avec nos outils : pour $u(t)=U\sin t$ , la moyenne de $u^2$ sur $[0;\pi]$ vaut $\dfrac{U^2}{\pi}\displaystyle\int_0^\pi\sin^2t\,dt$ . En linéarisant, $\sin^2t=\dfrac{1-\cos2t}{2}$ , donc $\displaystyle\int_0^\pi\sin^2t\,dt=\dfrac{\pi}{2}$ et la moyenne de $u^2$ est $\dfrac{U^2}{2}$ . La valeur efficace vaut donc $\dfrac{U}{\sqrt2}$ , alors que la valeur moyenne de $u$ sur $[0;\pi]$ est $\dfrac{2U}{\pi}\approx0{,}64\,U$ . On vérifie que $\dfrac{U}{\sqrt2}\approx0{,}71\,U\ge0{,}64\,U$ .

Erreurs fréquentes et réflexes pour le bac

Exercices corrigés

Exercice 1 Valeur moyenne d'une fonction polynôme

★☆☆Environ 8 min

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x$ .

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[1;3]$ .
Vérifier que ce résultat est compris entre $f(1)$ et $f(3)$ .

Indice 1

Une primitive de $3x^2-2x$ est $x^3-x^2$ .

Indice 2

N'oublie pas de diviser par la longueur de l'intervalle.

Voir la correction pas à pas

La fonction $f$ est un polynôme, donc continue sur $[1;3]$ . Une primitive est $F(x)=x^3-x^2$ .
On calcule $F(3)=27-9=18$ et $F(1)=1-1=0$ .
Donc $\int_1^3f(x)\,dx=18-0=18$ .
La longueur de l'intervalle est $3-1=2$ , donc $\mu=\dfrac{18}{2}=9$ .
Vérification : $f(1)=3-2=1$ et $f(3)=27-6=21$ . On a bien $1\le9\le21$ .

La valeur moyenne de $f$ sur $[1;3]$ est $9$ . Elle est comprise entre les valeurs prises aux extrémités, ce qui est cohérent puisque $f$ est croissante sur cet intervalle.

Exercice 2 Valeur moyenne avec une intégration par parties

★★☆Environ 12 min

Soit $g(x)=x\,\mathrm{e}^x$ définie sur $\mathbb{R}$ .

À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^1x\,\mathrm{e}^x\,dx$ .
En déduire la valeur moyenne de $g$ sur $[0;1]$ .
Justifier qu'il existe $c\in[0;1]$ tel que $g(c)$ soit égal à cette valeur moyenne.

Indice 1

Pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$ .

Indice 2

Pour la question 3, pense à la continuité de $g$ et au théorème de la moyenne.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$ . Alors $u'(x)=1$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues.
L'intégration par parties donne $\int_0^1x\,\mathrm{e}^x\,dx=\left[x\,\mathrm{e}^x\right]_0^1-\int_0^1\mathrm{e}^x\,dx$ .
On calcule $\left[x\,\mathrm{e}^x\right]_0^1=\mathrm{e}-0=\mathrm{e}$ et $\int_0^1\mathrm{e}^x\,dx=\mathrm{e}-1$ . Donc l'intégrale vaut $\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)=1$ .
La longueur de l'intervalle est $1-0=1$ , donc la valeur moyenne est $\mu=1$ .
La fonction $g$ est continue sur $[0;1]$ comme produit de fonctions continues. D'après le théorème de la moyenne, il existe $c\in[0;1]$ tel que $g(c)=\mu=1$ .

La valeur moyenne de $g$ sur $[0;1]$ est $1$ . Comme $g(0)=0$ et $g(1)=\mathrm{e}$ , la valeur $1$ est bien comprise entre ces deux valeurs, et le théorème des valeurs intermédiaires confirme qu'elle est atteinte (au point où $c\,\mathrm{e}^c=1$ , soit $c\approx0{,}567$ ).

Exercice 3 Déterminer une borne à partir de la valeur moyenne

★★☆Environ 10 min

Soit $a>0$ . La valeur moyenne de la fonction carré $x\mapsto x^2$ sur l'intervalle $[0;a]$ est égale à $12$ .

Exprimer cette valeur moyenne en fonction de $a$ .
En déduire la valeur de $a$ .

Indice 1

Calcule d'abord $\int_0^ax^2\,dx$ en fonction de $a$ .

Indice 2

Tu obtiens une équation du type $a^2=\text{nombre}$ : garde la solution positive.

Voir la correction pas à pas

Une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ , donc $\int_0^ax^2\,dx=\dfrac{a^3}{3}$ .
La longueur de l'intervalle est $a-0=a$ , donc $\mu=\dfrac1a\cdot\dfrac{a^3}{3}=\dfrac{a^2}{3}$ (c'est licite car $a>0$ ).
On résout $\dfrac{a^2}{3}=12$ , ce qui donne $a^2=36$ .
Les solutions sont $6$ et $-6$ ; comme $a>0$ , on retient $a=6$ .

On obtient $a=6$ . Vérification : $\int_0^6x^2\,dx=72$ , et $\dfrac{72}{6}=12$ .

Exercice 4 Température moyenne dans un local

★★★Environ 15 min

La température $T$ (en °C) d'un local, $t$ heures après minuit, est modélisée sur $[0;6]$ par $T(t)=-t^2+8t$ .

Calculer la température moyenne du local entre 0 h et 6 h.
Déterminer les valeurs de $t$ de $[0;6]$ pour lesquelles la température est égale à cette température moyenne.
Vérifier que la température moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de $T$ sur $[0;6]$ .

Indice 1

Une primitive de $-t^2+8t$ est $-\dfrac{t^3}{3}+4t^2$ .

Indice 2

Pour la question 2, résous $-t^2+8t=\mu$ et garde les solutions qui sont dans $[0;6]$ .

Indice 3

Pour la question 3, étudie les variations de $T$ : c'est une parabole.

Voir la correction pas à pas

Une primitive de $T$ est $F(t)=-\dfrac{t^3}{3}+4t^2$ . On calcule $F(6)=-72+144=72$ et $F(0)=0$ .
L'intégrale vaut $72$ . La longueur de l'intervalle est $6$ , donc $\mu=\dfrac{72}{6}=12$ °C.
On résout $-t^2+8t=12$ , soit $t^2-8t+12=0$ . Le discriminant vaut $64-48=16$ , donc les solutions sont $t=\dfrac{8-4}{2}=2$ et $t=\dfrac{8+4}{2}=6$ .
Les deux solutions appartiennent à $[0;6]$ : la température est égale à $12$ °C à 2 h et à 6 h.
$T$ est une parabole tournée vers le bas dont le sommet est en $t=4$ ; le maximum vaut $T(4)=16$ . Le minimum sur $[0;6]$ est $T(0)=0$ (car $T(6)=12>0$ ). On a bien $0\le12\le16$ .

La température moyenne est de $12$ °C. Elle est atteinte deux fois sur la période, à 2 h et à 6 h : le théorème de la moyenne garantit l'existence d'un instant, il n'en garantit pas l'unicité.

Les questions qu'on se pose

À quoi sert la valeur moyenne d'une fonction ?

Elle résume en un seul nombre le comportement d'une grandeur qui varie de façon continue : température moyenne sur une journée, vitesse moyenne sur un trajet, puissance moyenne consommée. Elle prolonge la moyenne arithmétique d'une liste de valeurs à une infinité de valeurs, la notion de moyenne s'étendant aux fonctions intégrables.² Elle sert aussi de raccourci : connaître $\mu$ permet de retrouver l'intégrale par $\int_a^bf=\mu\,(b-a)$ .

Comment savoir si je dois diviser par $b-a$ ou non ?

Si l'énoncé demande l'intégrale, l'aire ou une quantité cumulée, tu ne divises pas. S'il demande une valeur moyenne, une température moyenne, une vitesse moyenne, tu divises par $b-a$ . Test rapide : une valeur moyenne ne sort jamais de l'intervalle délimité par le minimum et le maximum de la fonction.¹ Si ton résultat en sort, tu as probablement oublié la division.

La valeur moyenne peut-elle être négative ou nulle ?

Oui. Si $f$ prend des valeurs négatives, l'intégrale est une aire algébrique et peut être négative ou nulle. Exemples : la valeur moyenne de $\cos$ sur $[0;\pi]$ est $0$ , et celle d'une fonction impaire sur $[-a;a]$ est toujours nulle. En revanche, une fonction positive a une valeur moyenne positive.

Quelle est la différence entre la valeur moyenne et le réel $c$ du théorème de la moyenne ?

La valeur moyenne $\mu$ est un nombre (une ordonnée), défini par l'intégrale. Le réel $c$ est un point de l'intervalle (une abscisse) où la fonction prend précisément cette valeur : $f(c)=\mu$ . Le théorème des valeurs intermédiaires garantit son existence pour une fonction continue.¹ Pour le trouver, on résout l'équation $f(x)=\mu$ et on garde les solutions qui sont dans $[a;b]$ .

Que faire si la fonction n'est pas continue ?

Au programme de Terminale, on se limite aux fonctions continues, pour lesquelles l'intégrale et le théorème de la moyenne sont garantis. Pour une fonction continue par morceaux, on peut quand même calculer la valeur moyenne en découpant l'intégrale avec la relation de Chasles, mais la valeur moyenne n'est alors plus forcément atteinte par la fonction.

La valeur moyenne et la valeur efficace sont-elles la même chose ?

Non. Pour obtenir la valeur efficace, on met la grandeur au carré, on en fait la moyenne, puis on prend la racine carrée du résultat,³ alors que la valeur moyenne est la moyenne de la grandeur elle-même. La valeur efficace n'est jamais inférieure à la valeur absolue de la valeur moyenne.³ Pour une tension sinusoïdale, la valeur moyenne sur une période complète est nulle alors que la valeur efficace ne l'est pas : c'est pourquoi on utilise la valeur efficace pour parler de l'énergie transportée.

Sources

Cours d'analyse - Intégration et valeur moyenne, Université Toulouse III. Consulté le 6 novembre 2026.
Moyenne, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Valeur efficace, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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