Valeur moyenne d'une fonction : exercices corrigés de Terminale

On repère $a=0$, $b=3$ donc $b-a=3$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=x^2+x$.

On calcule $\int_0^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(0)=12-0=12$.

On divise par la longueur : $\mu=\dfrac{12}{3}=4$.

Comparaison : $\dfrac{f(0)+f(3)}{2}=\dfrac{1+7}{2}=4$. Pour une fonction affine, la valeur moyenne est la moyenne des valeurs aux deux extrémités.

Longueur de l'intervalle : $3-0=3$.

Primitive : $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.

Intégrale : $\int_0^3x^2\,dx=\dfrac{27}{3}-0=9$.

Valeur moyenne : $\mu=\dfrac{9}{3}=3$.

Moyenne des extrémités : $\dfrac{0+9}{2}=4{,}5\neq 3$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,3]$ vaut $\mu=3$ (exercice précédent).

Comme $f$ est continue, l'existence de $c$ est assurée ¹ : on cherche $c\in[0\,;\,3]$ tel que $c^2=3$.

L'équation $c^2=3$ a deux solutions, $-\sqrt3$ et $\sqrt3$.

Seule $\sqrt3\approx1{,}7321$ appartient à $[0\,;\,3]$ ; on rejette $-\sqrt3<0$.

Intervalle $[0\,;\,8]$, longueur $8$.

Primitive : $G(t)=-\dfrac{t^3}{6}+2t^2+10t$.

$G(8)=-\dfrac{512}{6}+128+80=-\dfrac{256}{3}+208=\dfrac{368}{3}$ et $G(0)=0$.

Température moyenne : $\mu=\dfrac{1}{8}\times\dfrac{368}{3}=\dfrac{46}{3}\approx15{,}33$.

Contrôle : $T(0)=10$, $T(4)=18$ (maximum, en $t=4$), $T(8)=10$. La valeur $15{,}33$ est entre $10$ et $18$, ce qui est cohérent ¹.

Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{a}{2}x^2+2x$.

$\int_0^4(ax+2)\,dx=F(4)-F(0)=8a+8$.

La valeur moyenne vaut $\mu=\dfrac{8a+8}{4}=2a+2$.

On résout $2a+2=5$, d'où $a=\dfrac32=1{,}5$.

Vérification : $f(x)=1{,}5x+2$ donne $f(0)=2$ et $f(4)=8$, de moyenne $5$ : la fonction étant affine, c'est cohérent.

$f$ est décroissante : son maximum est $f(1)=1$, son minimum $f(\mathrm e)=\dfrac1{\mathrm e}\approx0{,}368$.

Longueur de l'intervalle : $\mathrm e-1\approx1{,}718$.

$\int_1^{\mathrm e}\dfrac1x\,dx=\ln\mathrm e-\ln1=1$.

Valeur moyenne : $\mu=\dfrac{1}{\mathrm e-1}\approx0{,}582$.

Encadrement : $0{,}368\le0{,}582\le1$, ce qui est bien le comportement attendu pour une valeur moyenne ¹.

Longueur de l'intervalle : $1-0=1$, donc la valeur moyenne est égale à l'intégrale.

On intègre par parties : $\int_0^1x\,\mathrm e^{x}\,dx=\left[x\,\mathrm e^{x}\right]_0^1-\int_0^1\mathrm e^{x}\,dx$.

Le crochet vaut $1\times\mathrm e-0=\mathrm e$.

Le second terme vaut $\int_0^1\mathrm e^{x}\,dx=\mathrm e-1$.

Résultat : $\mathrm e-(\mathrm e-1)=1$.

Contrôle : sur $[0\,;\,1]$, $f(0)=0$ et $f(1)=\mathrm e\approx2{,}718$ ($f$ est croissante), et $1$ est bien entre les deux ¹.

Valeur moyenne de $g$ : $\dfrac13\int_0^3x\,dx=\dfrac13\times\dfrac92=1{,}5$.

Moyenne du carré : $\dfrac13\int_0^3x^2\,dx=\dfrac13\times9=3$.

Valeur efficace : $G=\sqrt3\approx1{,}732$.

Comparaison : $G\approx1{,}732\ge1{,}5=|\mu|$.