Valeur moyenne d'une fonction : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La valeur moyenne d'une fonction f continue sur [a;b] est μ=b−a1∫abf(x)dx.
Elle prolonge la moyenne arithmétique d'une liste de nombres au cas d'une fonction.
Si m≤f≤M sur [a;b], alors m≤μ≤M.
Pour une fonction continue, μ est atteinte : il existe c dans [a;b] tel que f(c)=μ.
Méthode : primitive, calcul de l'intégrale, puis division par b−a (sans oublier cette division).
De la moyenne d'une liste à la moyenne d'une fonction
Une moyenne résume une liste de nombres en un seul nombre, situé entre les valeurs extrêmes de la liste 2. La moyenne arithmétique est la somme des termes divisée par leur nombre 2. Cette idée se prolonge aux fonctions intégrables : on parle alors de valeur moyenne d'une fonction 2. Tu as déjà tout ce qu'il faut : l'intégrale comme aire, ses propriétés, et le calcul avec des primitives.
Calculer une valeur moyenne
Encadrement et valeur atteinte
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L'intégrale vaut 333=9 ; on divise par la longueur 3, ce qui donne 3. Répondre 9 revient à oublier la division par b−a et à donner l'aire.
La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la longueur b−a de l'intervalle. La moyenne des extrémités ne donne pas la bonne valeur en général (elle est garantie seulement pour une fonction affine), l'intégrale seule est une aire, et a+b n'est pas une longueur.
Vrai : en intégrant l'encadrement puis en divisant par b−a>0, on obtient 2≤μ≤51. Penser qu'elle peut dépasser le maximum serait oublier que la division par la longueur ramène l'aire à une hauteur.
Une primitive est x2+x ; l'intégrale vaut 12−2=10, et 10/2=5. Répondre 10 oublierait la division.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi divise-t-on par $b-a$ ?
Parce qu'une moyenne ramène une quantité totale à une valeur par unité de longueur, comme la moyenne arithmétique divise la somme par le nombre de termes 2. L'intégrale mesure un total (une aire) ; en la divisant par la largeur de l'intervalle, tu obtiens la hauteur moyenne.
La valeur moyenne est-elle toujours atteinte par la fonction ?
Oui si f est continue sur [a;b] : la moyenne est comprise entre le minimum et le maximum, et le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'elle est atteinte 1. Il peut y avoir plusieurs réels c qui conviennent.
Peut-on avoir une valeur moyenne négative ?
Oui, si la fonction est globalement négative sur l'intervalle : l'intégrale est alors négative et b−a est positif. La valeur moyenne reste de toute façon comprise entre le minimum et le maximum de f1.